APPUNTI DI GEOMETRIA SOLIDA

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1 APPUNTI DI GEOMETRIA SOLIDA Geometria piana: (planimetria) studio delle figure i cui punti stanno tutti su un piano Geometria solida: (stereometria) studio delle figure i cui punti non giacciono tutti su uno stesso piano (figure solide) Spazio: insieme costituito da infiniti elementi detti punti: è dotato di sottoinsiemi propri (rette e piani) Spazio piano e retta sono gli elementi primitivi della geometria. RETTE (assiomi) A1 ogni retta è un sottoinsieme proprio infinito dello spazio, individuato da una coppia di punti distinti A ogni retta è dotata di due versi, uno opposto all altro rispetto ai quali è aperta, densa e illimitata A ogni piano è sottoinsieme proprio infinito dello spazio individuato da tre punti non allineati. Se una retta ha due punti in comune con un piano essa è inclusa nel piano Conseguenze dei tre assiomi: C1 per una retta r e per un punto P non appartenente a r passa uno e un solo piano cui entrambi appartengono C Per due rette incidenti passa uno e un solo piano A4 (assioma di partizione del piano) Ogni retta r di un piano divide l insieme degli ulteriori suoi punti in due parti non vuote, tali che: Se i punti A e B appartengono a parti diverse il segmento AB taglia la retta r in un punto Se i punti C e D appartengono alla stessa parte, allora anche il segmento CD è incluso in questa RETTE (nello spazio) RETTE INCIDENTI: hanno un solo punto in comune (giacciono sullo stesso piano) RETTE PARALLELE : o sono coincidenti o giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune (individuano un piano) RETTE SGHEMBE : non giacciono sullo stesso piano (non hanno quindi alcun punto in comune e non esiste un piano che le contenga entrambe) SPAZIO (assiomi) A5 (assioma di partizione dello spazio): Ogni piano α dello spazio lo divide in due parti non vuote tali che: Se i punti A e B appartengono a parti opposte, allora il segmento AB taglia il piano α in un punto Se i punti C e D appartengono alla stessa parte, allora anche il segmento CD è tutto incluso in questa parte Definizione: si chiama semispazio la figura costituita da una di queste due parti e dal piano α che si dice bordo (o confine o frontiera) dei due semispazi PIANI (nello spazio) Nello spazio un piano è individuato da: Tre punti non allineati Due rette incidenti 1

2 Una retta e un punto che non appartiene alla retta Due rette parallele e distinte Teorema: se due piani distinti hanno in comune due punti A e B, allora hanno in comune tutta la retta AB e solo questa retta Definizione: si dicono incidenti (o secanti) due piani che hanno in comune una (sola) retta Teorema: due piani distinti aventi in comune un punto, sono incidenti lungo una retta che passa per quel punto Definizione due piani si dicono paralleli quando non hanno alcun punto in comune, oppure quando sono coincidenti. Proprietà P1 per un punto dello spazio si può condurre uno e un solo piano parallelo ad un piano dato P due piani paralleli ad un terzo piano sono paralleli tra loro P Se due piani sono paralleli ogni piano che taglia l uno taglia anche l altro e le due rette di intersezione sono parallele P4 (teorema di Talete nello spazio) Tre o più piani paralleli determinano su due trasversali qualunque due classi di segmenti direttamente proporzionali RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Caso 1: se una retta ha in comune due punti con un piano allora giace completamente sul piano Caso : se una retta ha in comune un solo punto con un piano si dice che è incidente al piano Caso : esistono rette che non hanno alcun punto in comune con un piano. Teorema: Una retta parallela ad una retta di un piano e passante per un punto esterno ad esso non ha alcun punto in comune con il piano. Definizione: una retta si dice parallela ad un piano se giace sul piano o non ha alcun punto in comune con il piano Proprietà: P1: date due rette parallele ogni piano passante per una di esse è parallelo all altra P: dati una retta e un piano paralleli che non si appartengono, ogni piano passante per la retta e incontrante il piano dato, taglia questo secondo una retta parallela alla data P: dati una retta s e un piano α paralleli la parallela ad s condotta da un punto P del piano α giace su questo P4: se due piani sono paralleli ogni retta parallela all uno è parallela anche all altro, mentre ogni retta che ne incontra uno incontra anche l altro P5: Se ad un piano, per un punto esterno, si conducono due parallele, il piano formato da queste due rette non ha punti in comune con il piano dato Teorema: se ad una retta r per un suo punto P si conducono due perpendicolari a e b, allora risulta perpendicolare ad r anche ogni altra retta che passi per P e giaccia sul piano

3 α individuato dalle rette a e b; Inoltre le infinite perpendicolari ad una retta r, in un suo punto P, giacciono tutte in uno stesso piano. Definizione: una retta r e un piano α aventi un punto P in comune si dicono tra loro perpendicolari quando la retta r è perpendicolare a tutte le rette del piano α passanti per P; il punto P si dice piede della perpendicolare sul piano. Osservazione: dal precedente teorema discende che una retta è perpendicolare ad un piano se lo incontra e se è perpendicolare a due rette del piano passanti per loro punto comune e viceversa Teorema delle tre perpendicolari: Se dal piede di una perpendicolare ad una piano α si conduce la perpendicolare a una qualsiasi retta r del piano α, quest ultima retta risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette. Dimostrazione: sia a la perpendicolare al piano α; Dal suo piede Q si conduca la retta c perpendicolare alla retta r di α. Si vuole dimostrare che la retta r è perpendicolare al piano β individuato da a e da c. Se la retta r passa per il punto Q il teorema è dimostrato perché il piano β contenendo le rette a e c entrambe perpendicolari in Q alla retta r, è perpendicolare a questa retta. Se invece r non passa per Q sia C il punto di intersezione di r con c e prendiamo su r due punti A e B da parti opposte di C e tali che C sia il punto medio del segmento AB; si congiungano tali punti con Q e con un altro punto P qualunque della retta a. Nel piano α la retta c è asse del segmento AB perciò QA e QB sono congruenti. Allora i triangoli rettangoli PQA e PQB sono congruenti avendo i cateti rispettivamente congruenti. Allora PA è congruente a PB e nel triangolo isoscele ABP la retta PC (del piano β), che è mediana della base, è anche altezza, quindi è perpendicolare alla retta AB. Dunque la retta r, essendo perpendicolare alle rette c e CP di β è perpendicolare a β. C.v.d. Teorema: Per ogni punto P dello spazio passa: Una e una sola perpendicolare ad un dato piano α Uno e un solo piano perpendicolare a una retta data Teorema: due rette perpendicolari ad uno stesso piano sono tra loro parallele.

4 DIEDRI E PIANI PERPENDICOLARI Definizione: Si chiama diedro ciascuna delle due parti in cui lo spazio è diviso da due semipiani aventi lo stesso bordo, inclusi i due semipiani. I due semipiani si chiamano facce del diedro, le due facce costituiscono il contorno (o la superficie) del diedro; la retta comune alle due facce si chiama costola (o spigolo) del diedro. Definizione: Si chiama sezione normale di un diedro l angolo che risulta dall intersezione del diedro con un piano perpendicolare allo spigolo. Proprietà: P1: due sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti P: diedri congruenti hanno sezioni normali congruenti e viceversa. Definizione: un diedro si dice retto, acuto, ottuso, se tale è la sua sezione normale; un diedro si dice piatto, giro, nullo, convesso, concavo se tale è la sua sezione normale. Definizione: due piani incidenti si dicono tra loro perpendicolari quando formano quattro diedri retti. Proprietà: P1: Se una retta r e un piano α sono perpendicolari, ogni piano passante per r è perpendicolare ad α. P: Se due piani α e β sono tra loro perpendicolari, la perpendicolare condotta da un punto P di β alla retta r (intersezione tra α e β), è perpendicolare al piano α e appartiene a β P: se due piani incidenti α e β sono perpendicolari al piano γ, allora anche la retta r di intersezione tra questi due piani è perpendicolare a γ P4: Se r è una retta non perpendicolare al piano α esiste uno ed un solo piano passante per r e perpendicolare ad α Definizione: nello spazio due punti A e A si dicono simmetrici rispetto ad un piano α, quando il segmento AA è perpendicolare al piano α e il suo punto medio O sta su α Definizione: due figure dello spazio si dicono simmetriche rispetto a un piano, quando i punti dell una sono i simmetrici dei punti dell altra Definizione: si chiama similitudine dello spazio ogni corrispondenza biunivoca fra i punti dello spazio che trasforma segmenti in segmenti proporzionali. POLIEDRI Definizione: dati un poligono convesso con n lati (n ) e un punto V esterno al suo piano, si chiama angoloide (o piramide indefinita) di vertice V la figura formata da tutte le semirette di origine V che passano per i diversi punti del dato poligono Se n = l angoloide si chiama triedro 4

5 Le semirette VA, VB, VC, si dicono spigoli dell angoloide, gli angoli AVB, BVC, si chiamano facce dell angoloide L insieme di tutte le facce si chiama contorno o superficie dell angoloide Un angoloide è una figura convessa e illimitata Proprietà: P1: in un angoloide ogni faccia è minore della somma delle altre. P: In un angoloide la somma di tutte le facce è minore di una angolo giro Teorema (delle sezioni piane): Le sezioni di un angoloide con due piani parallele non passanti per il vertice sono due poligono simili che hanno i perimetri proporzionali alle distanze dai piani dal vertice e le aree proporzionali ai quadrati delle stesse distanze. Definizione: dati un poligono convesso di un numero qualsiasi di lati (n) e una retta r incidente il suo piano, si chiama prisma indefinito la figura formata da tutte le rette parallele ad r che passano per i punti del dato poligono. Le rette che passano per i vertici del poligono si dicono spigoli del prisma indefinito e sono tutte parallele tra loro Se un piano taglia uno spigolo allora taglia anche tutti gli altri e il poligono che si ottiene si chiama sezione del prisma Teorema: Due sezioni parallele qualsiasi, in particolare due sezioni normali di un medesimo prisma indefinito sono congruenti. Definizione: si dice prisma finito (o semplicemente prisma) la parte di un prisma indefinito compresa tra due sezioni parallele Le sezioni parallele si dicono basi del prisma e sono congruenti I lati delle sezioni si dicono spigoli di base e i vertici di essi si dicono vertici del prisma I parallelogrammi secondo cui i piani delle due basi tagliano le facce del prisma indefinito si dicono facce laterali del prisma; gli spigoli comuni a due facce laterali si dicono spigoli laterali del prisma L insieme di tutte le facce laterali si dice superficie laterale del prisma; la superficie laterale e le due basi si dicono superficie totale del prisma La distanza tra i piani delle due basi si dice altezza Un prisma si dice triangolare, quadrangolare, pentagonale, ecc.. a seconda che le sue basi siano triangoli, quadrilateri, pentagoni, ecc Si dice diagonale del prisma un segmento congiungente due vertici non appartenenti ad una stessa faccia Un prisma si dice retto quando gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle due basi Un prisma retto si dice regolare quando le basi sono poligoni regolari; in questo caso le facce laterali sono tutte rettangoli congruenti. 5

6 Definizione: si chiama parallelepipedo un prisma le cui basi sono parallelogrammi; si dice retto quando gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi, obliquo in caso contrario. Definizione: si chiama parallelepipedo rettangolo un parallelepipedo retto le cui basi sono rettangoli Teorema: in un parallelepipedo rettangolo la misura della diagonale vale dove a, b, c sono le misure delle sue dimensioni. d = a + b + c Definizione: si dice cubo (o esaedro) un parallelepipedo rettangolo nel quale siano congruenti i tre spigoli che concorrono in uno stesso vertice. In tal caso d = l dove l è la lunghezza dello spigolo. AREA DELLA SUPERFICIE DI UN PRISMA RETTO Area laterale: A = ph (dove h è l altezza e p il perimetro di base) l Area totale: A = A + A (dove A b è l area di una base) t l b AREA DELLA SUPERFICIE DI UN PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO A = ab + ac + bc (dove a, b, c sono le dimensioni) Area totale: ( ) t AREA DELLA SUPERFICIE DI UN CUBO Area totale: A = 6l (dove l è la lunghezza dello spigolo) t VOLUME DI UN PRISMA V = Ab h VOLUME DI UN PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO V = a b c VOLUME DI UN CUBO V = l 6

7 Definizione: si chiama piramide la parte di angoloide situata in un semispazio che ne contenga il vertice e il cui bordo incontri tutti gli spigoli. Il poligono dato si dice base della piramide e il punto V si dice vertice della piramide; i vertici e i lati della base si dicono vertici e spigoli di base. I segmenti che congiungono il vertice della piramide con i vertici della base si dicono spigoli laterali della piramide I triangoli che hanno come base uno spigolo di base e come vertice il vertice della piramide si dicono facce laterali; la loro unione si dice superficie laterale della piramide; l insieme di tutte le facce della piramide (laterali + base) si dice superficie totale. Si chiama altezza della piramide la distanza del vertice dal piano della base. Una piramide si dice triangolare, quadrangolare, pentagonale, ecc.. se la sua base è rispettivamente un triangolo, un quadrilatero, un pentagono, ecc. Definizione: una piramide si dice retta quando nella sua base si può inscrivere una circonferenza il cui centro è il piede dell altezza della piramide. Proprietà: tutte le facce laterali di una piramide hanno altezze congruenti che prendono il nome di apotema della piramide. Definizione: una piramide si dice regolare se è retta e ha per base un poligono regolare. Proprietà: P1: in una piramide regolare gli spigoli laterali sono congruenti tra loro P: in una piramide regolare le facce laterali sono triangoli isosceli fra loro congruenti P: in una piramide regolare i diedri laterali sono congruenti tra loro; anche i diedri della base sono congruenti tra loro un piano parallelo al piano della base B di una piramide che non passa per il suo vertice ne incontra tutti gli spigoli laterali e divide la piramide in due parti: la parte che contiene il vertice è una nuova piramide di base B simile alla base B (teorema delle sezioni piane); la parte che contiene la base B prende il nome di tronco di piramide di basi B e B ; la distanza tra le due basi si chiama altezza del tronco di piramide osservazione: se la piramide da cui si ottiene il tronco è retta o regolare, tale sarà anche il tronco; se il tronco è regolare le sue facce laterali sono trapezi isosceli tutti congruenti e la loro altezza si dice apotema del tronco. AREA DELLA SUPERFICIE DI UNA PIRAMIDE RETTA p a Area laterale: Al = (dove a è l apotema e p il perimetro di base) Area totale: At = Al + Ab (dove A b è l area di base) AREA DELLA SUPERFICIE DI UN TRONCO DI PIRAMIDE REGOLARE p + p ' Area laterale: Al = a (dove a è l apotema e p e p i perimetri delle basi) Area totale: A = A + A + A (dove A b e A b sono le aree delle basi) t l b b' 7

8 VOLUME DI UNA PIRAMIDE 1 V = A h b 1 VOLUME DI UN TRONCO DI PIRAMIDE V = h( Ab + Ab ' + Ab Ab ' ) Dimostrazione: Consideriamo la piramide di base A b e altezza (h+x); a distanza x dal vertice si tracci il piano parallelo al piano di base ottenendo quindi la sezione A b e pertanto il tronco di piramide di basi A b e A b e altezza h. Determiniamo il volume del tronco come differenza tra il volume della piramide di altezza (h+x) e quella di altezza x: 1 1 V = Ab ( h + x) Ab ' x 1 1 da cui : V = Ab h + ( Ab Ab ' ) x (**) Per il teorema delle sezioni piane ( ) A : A x h : x h A A + ha algebrici si ottiene x = Ab Ab ' 1 1 V = Ab h + ( h Ab Ab ' + hab ' ) b b' b' b b' = + da cui con diversi passaggi che sostituito nella (**) fornisce Da cui raccogliendo 1 h a fattor comune si ottiene la formula data. Cvd. Relazione di Eulero: tra il numero delle facce (F) quello dei vertici (V) e quello degli spigoli di un poliedro qualunque sussiste la seguente relazione : F + V = S + Definizione: un poliedro si dice regolare se le sue facce sono poligoni regolari congruenti e i suoi diedri sono tutti congruenti Osservazione: esistono soltanto cinque tipi di poliedri regolari: TETRAEDRO REGOLARE: è una piramide regolare a base triangolare le cui facce sono quattro triangoli equilateri, ha 6 spigoli e 4 vertici. ESAEDRO REGOLARE o CUBO: ha per facce 6 quadrati 8 vertici e 1 spigoli OTTAEDRO REGOLARE: è l insieme di due piramidi quadrangolari regolari con la base coincidente; ha per facce 8 tringoli equilateri, ha 6 vertici e 1 spigoli ICOSAEDRO REGOLARE: ha per facce 0 triangoli equailteri, ha 1 vertici e 0 spigoli DODECAEDRO REGOLARE: ha per facce 1 pentagoni regolari, ha 0 vertici e 0 spigoli 8

9 SOLIDI DI ROTAZIONE Definizione: si chiama superficie cilindrica indefinita l insieme dei punti dello spazio equidistanti da una retta fissa detta asse; la comune distanza si dice raggio. Si chiama generatrice ciascuna delle rette parallele all asse che dista da questo come il raggio Un piano α perpendicolare all asse taglia la superficie cilindrica secondo una circonferenza di raggio r Un piano parallelo all asse può avere in comune con la superficie due generatrici (piano secante), oppure una generatrice (piano tangente) o nessuna (piano esterno) Si chiama cilindro indefinito la figura costituita da una superficie cilindrica e dai suoi punti interni L intersezione con un piano perpendicolare all asse di un cilindro indefinito è un cerchio di raggio r e si dice sezione normale Definizione: si chiama cilindro circolare retto finito (cilindro) la parte di un cilindro indefinito compresa tra due sezioni normali. Proprietà P1: il cilindro si ottiene anche come rotazione completa (angolo giro) di un rettangolo attorno a uno dei suoi lati P: le sezioni normali si dicono basi del cilindro P: la distanza dei piani delle due basi si dice altezza del cilindro P4: un prisma retto le cui basi siano inscritte nelle basi di un cilindro si dice inscritto nel cilindro P5: un prisma retto le cui basi siano circoscritte alle basi di un cilindro si dice circoscritto al cilindro P6: un cilindro si dice equilatero se la sua altezza è congruente al diametro della base (la sezione è un quadrato) AREA DELLA SUPERFICIE DI UN CILINDRO Area laterale: = π r h (dove r è il raggio di base e h è l altezza del cilindro) A l Area totale: A t = Al + π r ( π r è l area di base) VOLUME DI UN CILINDRO V = A h (dove A b è l area di base) b Definizione: si chiama superficie conica indefinita l insieme delle semirette dello spazio che, avendo la stessa origini V di una data semiretta a, formano con essa angoli congruenti ad un dato angolo acuto. Si chiama asse la semiretta a Si chiama vertice il punto V Si chiama generatrice ciascuna delle semirette di origine V Si chiama angolo di apertura ciascuno degli angoli (fra loro congruenti) che l asse forma con ciascuna generatrice 9

10 Si chiama cono indefinito la figura costituita da una superficie conica e dai suoi punti interni L intersezione con un piano perpendicolare all asse di un cono indefinito è un cerchio di raggio r e si dice sezione normale Un piano che passa per il vertice di una superficie conica contiene due generatrici, o una sola, o nessuna, a seconda che l angolo che essa forma con l asse sia minore, uguale o maggiore dell angolo di apertura (piano secante o tangente o esterno) Definizione: si chiama cono circolare retto finito (cono) la parte di un cono indefinito che giace rispetto al piano di una sezione normale dalla parte del vertice. Proprietà P1: il cono si ottiene anche come rotazione completa (angolo giro) di un triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti P: la sezione normale si dice base del cono P: la distanza del vertice dal piano della base si dice altezza del cono P4: i segmenti delle generatrici della superficie conica compresi tra il vertice e la base sono congruenti e si dicono apotemi del cono P5: una piramide il cui vertice sia il vertice di un cono e la cui base sia inscritta nella base di un cono si dice inscritta nel cono P6: una piramide il cui vertice sia il vertice di un cono e la cui base sia circoscritta alla base di un cono si dice circoscritta al cono P7: un cono si dice equilatero se il suo apotema è congruente al diametro della base (la sezione è un triangolo equilatero) P8: vale l analogo del teorema delle sezioni piane per la piramide Definizione: si chiama tronco di cono circolare retto (tronco di cono) la parte di cono compresa tra il piano di base e un piano ad esso parallelo secante il cono e non passante per il vertice Osservazione: i segmenti di generatrici comprese tra le due basi si chiamano apotemi del tronco Osservazione: un tronco di cono può essere generato dalla rotazione completa (angolo giro) di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi AREA DELLA SUPERFICIE DI UN CONO Area laterale: = π r a (dove r è il raggio di base e a è l apotema del cono) A l Area totale: A t = Al + π r ( π r è l area di base) AREA DELLA SUPERFICIE DI UN TRONCO DI CONO A l = π a r + r' (dove r ed r sono i raggi delle basi e a è l apotema del Area laterale: ( ) tronco di cono) Area totale: VOLUME DI UN CONO A = A + π t l V π r + r' ( = 1 A b h π r e π r' sono le aree delle basi) (dove A b è l area di base) 10

11 VOLUME DI UN TRONCO DI CONO 1 V = π h( r + r' + r r' ) Osservazione: la dimostrazione è analoga a quella già vista per il volume del tronco di piramide Definizione Si chiama superficie sferica l insieme dei punti dello spazio aventi una distanza prefissata r da un punto fisso O. Osservazione: La distanza r si chiama raggio della superficie sferica e il punto O ne è il centro Definizione: Si chiama sfera la figura formata da una superficie sferica e da tutti i punti ad essa interni La superficie sferica si ottiene come rotazione completa di una semicirconferenza attorno al suo diametro; la sfera si ottiene come rotazione completa di una semicerchio attorno al suo diametro La superficie sferica si dice contorno della sfera Il centro O e il raggio r della superficie sferica sono centro e raggio della sfera Si dice corda di una superficie sferica ogni segmento che abbia gli estremi sulla superficie stessa Si chiama diametro di una superficie sferica ogni corda passante per il centro Tutti i diametri di una superficie sferica sono congruenti Se un piano ha dal centro di una superficie sferica una distanza minore del raggio esso è secante la superficie sferica Se un piano ha dal centro di una superficie sferica una distanza uguale al raggio, esso tocca la superficie sferica in un solo punto ed è perpendicolare al raggio passante per quel punto (piano tangente) Se un piano ha dal centro di una superficie sferica una distanza maggiore del raggio esso è esterno alla superficie sferica Un piano secante la superficie sferica la divide in due parti ciascuna delle quali si chiama calotta sferica; il piano secante la sfera la divide in due parti che si chiamano segmento sferico a una base Se due piani paralleli secano una superficie sferica la parte di piano compresa tra essi si chiama zona sferica, mentre la parte di sfera compresa tra gli stessi due piani si chiama segmento sferico a due basi La parte di superficie sferica compresa tra due semipiani aventi per origine comune la retta di un diametro si dice fuso sferico, mentre la parte di sfera si dice spicchio sferico Si chiama settore sferico la parte di sfera delimitata da una calotta sferica e dal cono che ha vertice nel centro della sfera e base in comune con la calotta AREA DELLA SUPERFICIE SFERICA : A = 4πr Proprietà: P1: una superficie sferica è equivalente alla superficie laterale del cilindro ad essa circoscritto P: (teorema di Archimede) Il rapporto della superficie sferica e della superficie totale del cilindro ad essa circoscritto è come il rapporto dei corrispondenti volumi 11

12 AREA DI UNA ZONA SFERICA E DI UNA CALOTTA SFERICA : A = πrh (dove h è l altezza della calotta e r è il raggio della sfera cui appartiene) πr α AREA DEL FUSO SFERICO: A = 90 (dove α è l ampiezza del diedro del fuso) VOLUME DEL SEGMENTO SFERICO A UNA BASE: V = π h r (dove h è l altezza della calotta e r è il raggio della sfera cui appartiene) h πh (dove h è La distanza tra le due basi e r 1 e r sono i raggi dei cerchi sezione) πh VOLUME DEL SEGMENTO SFERICO A DUE BASI: V = ( r + r ) πr α VOLUME DELLO SPICCHIO SFERICO: V = 70 (dove α è l ampiezza del diedro dello spicchio) PRINCIPIO DI CAVALIERI: due solidi che si possono collocare in modo che siano equivalenti le loro sezioni ottenute con un qualsiasi piano parallelo ad una piano fisso sono equivalenti VOLUME DELLA SFERA: 4 V = π r Dimostrazione: Si considerino una semisfera di raggio r, un cono e un cilindro entrambi di raggio di base r e di altezza r, disposti come in figura sullo stesso piano α. Si conduca il piano β parallelo ad α a distanza r da quest ultimo: in tale modo i tre solidi risultano compresi nella parte di spazio tra i due piani. Si consideri ora un qualunque piano γ parallelo ai precedenti, che intersechi tutti e tre i solidi, e disti x dal piano α, con x < r. Esaminiamo le sezioni dei tre solidi: la sezione del cilindro (S) è ancora un cerchio di raggio r come la base, area S1 = π r ; la sezione del cono (S) è un cerchio di raggio di raggio x (per il teorema delle sezioni piane si ha la proporzione r : r = r : x, da cui r = x), area S = π x ; la sezione della semisfera (S1) è un cerchio di raggio r x (teorema di Pitagora), area S = π ( r x ). Ora si vede facilmente che Area S = Area S1 + Area S Ciò significa, data l arbitrarietà del piano γ, che per il principio di Cavalieri il cilindro è equivalente alla somma della semisfera e del cono, ovvero che Volume cilindro = Volume semisfera + Volume cono In formula 1 π r = Volume semisfera + πr da cui Volume semisfera = π r e finalmente Volume sfera = 4 r π Cvd 1