Misura dei volumi dei solidi

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1 Geometria euclidea dello spazio Presentazione n. 8 Misura dei volumi dei solidi Prof. Daniele Ippolito Liceo Scientifico Amedeo di Savoia di Pistoia

2 Richiamo di geometria piana: misura delle aree Per misurare l area delle figure piane si parte dall area del rettangolo. h A = b h b

3 In geometria solida, per misurare il volume delle figure, si parte dalla misura del volume del prisma retto. h V = A b h A b

4 Prismi particolari: Volume di un parallelepipedo rettangolo: V = a b c a Volume di un cubo: V = a 3 Come calcolare il volume di un prisma obliquo?

5 Richiamo di geometria piana: equivalenza tra aree L estensione di una superficie è un concetto primitivo. Due superfici si dicono equiestese se hanno la stessa estensione. La relazione di equiestensione è una relazione di equivalenza, ossia gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Due figure piane equiestese si dicono pertanto equivalenti.

6 Un criterio necessario e sufficiente per verificare l equivalenza di due poligoni è la scomponibilità. Due poligoni si dicono equiscomponibili se, mediante una scomposizione, è possibile trasformare l uno nell altro. Ad esempio, parallelogrammi aventi stessa base e stessa altezza sono equivalenti, ossia hanno la stessa area. A = b h h b b

7 Equivalenza tra volumi Nello spazio, assumiamo anche l estensione di un solido come concetto primitivo. Anche la relazione di equiestensione tra due solidi è una relazione di equivalenza e quindi due solidi equiestesi si dicono equivalenti. Un primo criterio sufficiente (ma non necessario) per verificare l equivalenza tra due solidi è la scomponibilità.

8 Un secondo criterio sufficiente per l equivalenza tra volumi è il principio di Cavalieri: Se due solidi hanno la stessa altezza e se le loro sezioni, tagliate lungo piani perpendicolari all altezza, sono equivalenti, allora anche i solidi sono equivalenti.

9 h h Conseguenze: 1) Due prismi aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. Infatti, ogni sezione è congruente alle basi. A b A b Volume del prisma obliquo: V = A b h 2) Un prisma e un cilindro aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. Volume di un cilindro: V = πr 2 h

10 3) Una piramide e un cono aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. Consideriamo due solidi di questo tipo. Se li tagliamo con un piano α parallelo alle basi, otteniamo due sezioni S ed S che saranno in proporzione a B e B secondo lo stesso rapporto h /h. Quindi S ed S sono equivalenti e il discorso si può ripetere per ogni altra coppia di sezioni dei due solidi. 4) Due piramidi aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti.

11 Volume di una piramide La misura del volume di una piramide a base qualsiasi può essere ricondotta alla misura del volume di una piramide a base triangolare. Il poligono di base può essere diviso in triangoli e quindi la piramide originaria può essere scomposta in piramidi aventi base triangolare e la stessa altezza della piramide originaria.

12 Dimostreremo che una piramide è equivalente ad un terzo di un prisma avente stessa base e stessa altezza. Consideriamo un prisma a base triangolare. Tagliamo il prisma con un piano passante per A, C, E; otteniamo: 1) la piramide EABC a base triangolare; 1) la piramide EACFD a base quadrata.

13 Tagliamo poi la piramide a base quadrata con un piano passante per E,D,C; otteniamo: 1) la piramide EDFC; 2) la piramide EDCA. Le piramidi EABC e EDFC sono equivalenti perché hanno congruenti le basi ABC e DEF e le altezze BE e CF; le piramidi EDFC e EDCA sono equivalenti perché hanno congruenti le basi ACD e CDF ed in comune l altezza ED; per la proprietà transitiva, le tre piramidi sono equivalenti.

14 Il volume di una piramide è quindi uguale ad un terzo del volume di un prisma avente stessa base e stessa altezza. Il risultato si può generalizzare a piramidi a base qualunque. V = A b 3 h

15 Volume di un cono Per il principio di Cavalieri, un cono è equivalente ad una piramide che abbia stessa base e stessa altezza. Quindi il volume di un cono si calcola con una formula simile a quella adoperata per il volume di una piramide. V 2 r = π 3 h Si può anche dire che un cono è equivalente ad un terzo di un cilindro che abbia stessa base e stessa altezza.

16 Volume di un tronco di cono (o di piramide) Si considerano i due coni simili in figura e la proporzione: S : S' = (h + h') 2 : h' 2 Con un po' di passaggi si ricava: h' S' h S

17 Volume di una sfera Dato un cilindro equilatero, nel quale è possibile inscrivere una sfera, definiamo anticlessidra della sfera il solido che si ottiene sottraendo al cilindro i due coni che hanno vertice nel centro della sfera e per basi le basi del cilindro. Vogliamo dimostrare che una sfera è equivalente alla sua anticlessidra.

18 h h h r r α Consideriamo una sfera e la sua anticlessidra e un piano α tangente alla sfera, sul quale poggia l anticlessidra. Sfera e anticlessidra hanno la stessa altezza per costruzione. Tagliando i due solidi con un piano parallelo ad α, ad una distanza h dal centro della sfera otteniamo due sezioni. La sezione della sfera è un cerchio di raggio r e misura πr 2 = π(r 2 h 2 ). La sezione dell anticlessidra è una corona circolare di raggio esterno r ed interno h; essa misura πr 2 πh 2.

19 Ripetendo il ragionamento per ogni altra sezione dei due solidi, parallela ad α, per il principio di Cavalieri, sfera ed anticlessidra sono equivalenti. Abbiamo che: V anticl = V cil 2V con = πr 2 2r - 2/3 πr 2 r = = 2πr 3-2/3 πr 3 = 4/3 πr 3. Abbiamo ottenuto il volume di una sfera: h = 2r r V = 4 π r 3 3

20 La formula del volume della sfera ci permette anche di giustificare il risultato della misura della superficie sferica. Dividiamo la superficie sferica in tanti pezzi; consideriamo uno di essi e la piramide che ha vertice nel centro della sfera e per base il pezzo della superficie. S k Il volume della sfera è la somma dei volumi delle piramidi che hanno vertice nel centro e base sulla superficie sferica: V sf = V p1 + V p2 + + V pn = 1/3 S 1 r + 1/3 S 1 r + + 1/3 S n r = = 1/3 S sf r Si ottiene quindi: S sf = 3 V sf / r = 3 4/3 πr 3 / r = 4πr 2

21 Volume di un segmento sferico Un segmento sferico è equivalente alla parte di anticlessidra sezionata dallo stesso piano che determina il segmento. r r - h h Il volume della parte di anticlessidra si ottiene sottraendo al volume di un cilindro di altezza h e raggio r quello di un tronco di cono di altezza h, base maggiore πr 2 e base minore π(r-h) 2. Con alcuni passaggi, si ottiene:

22 Volumi di solidi simili Dati due solidi S e S', legati da una similitudine di rapporto k, tra i rispettivi volumi V e V' vale la relazione: V' = k 3 V k = 2 V' = 8 V