CORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015

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1 CORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015 Lezione del 3 NOVEMBRE 2015 GEOMETRIA CRITERI DI CONGRUENZA FRA TRIANGOLI IL SIMBOLO indica la congruenza PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l angolo tra essi compreso, allora sono congruenti. SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso, allora sono congruenti. TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti tutti e tre i lati, allora sono congruenti. CRITERI DI SIMILITUDINE FRA TRIANGOLI PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE: Due triangoli sono simili se hanno rispettivamente due angoli congruenti.

2 SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE: Due triangoli sono simili se: - due lati del primo triangolo sono proporzionali ad altri due lati del secondo, con lo stesso rapporto; - l angolo compreso tra i due lati del primo triangolo è congruente all angolo compreso tra i due lati dell altro triangolo. TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE: Due triangoli sono simili se hanno i tre lati rispettivamente proporzionali TEOREMA DI PITAGORA: Dato un triangolo rettangolo ABC come in figura, allora vale la relazione dove c è l ipotenusa del triangolo e b,a sono i cateti. Da questo teorema si possono ricavare le seguenti formule, che permettono di ricavare la misura di un lato a partire dagli altri due:

3 PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull ipotenusa e l ipotenusa stessa. Facendo riferimento alla figura a fianco, abbiamo quindi che Una formulazione analoga del teorema può essere data utilizzando il linguaggio delle proporzioni: ovvero, ogni cateto di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra l ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull ipotenusa. Con una formula, questa affermazione si scrive SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Facendo riferimento alla figuraa fianco, si ha quindi Con le proporzioni, il teorema può essere riformulato in questo modo: l altezza relativa all ipotenusa di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Esprimiamo questo concetto con una formula: ANGOLI FORMATI DA DUE RETTE PARALLELE TAGLIATE DA UNA TRASVERSALE Disegniamo due rette parallele a e b, e una terza retta r che le interseca entrambe. La retta r incontrando a e b forma otto angoli che abbiamo numerato come in figura. Osserviamo che le rette a e b dividono il piano in due semipiani ed una striscia interna fra le due rette. Chiameremo :

4 INTERNI gli angoli che si trovano dentro la striscia ESTERNNI quelli che si trovano fuori della striscia CONIUGATI gli angoli che si trovano dalla stessa parte rispetto a r. Questi angoli sono SUPPLEMENTARI tra loro ( la loro somma è 180 ) ALTERNI gli angoli che si trovano in parti opposte rispetto alla retta r. Questi angoli sono tra loro UGUALI. CORRISPONDENTI gli angoli che si trovano contemporaneamente sopra oppure sotto le rette a e b (Ovvero 1-5, 2-6, 3-7, 4-8). Questi angoli sono tra loro UGUALI. TRIANGOLI CON ANGOLI DI 30, 45 E 60 Un triangolo equilatero ha tre lati uguali e tre angoli interni uguali (ciascuno di 60 ). In un triangolo equilatero un altezza (cioè un segmento condotto da un vertice e perpendicolare al lato opposto) è anche mediana (interseca il lato opposto nel punto medio) e bisettrice (divide l angolo interno in due angoli uguali, di 30 ). Nella figura a lato la lunghezza del lato è AB=AC=CB=l; di conseguenza si ha Ciò permette di calcolare la lunghezza dell altezza CH Triangolo rettangolo con angoli di 30 e 60 Un triangolo rettangolo con un angolo di 30 e uno di 60 è la metà di un triangolo equilatero (figura a lato). Se indichiamo con l la lunghezza dell ipotenusa, valgono le seguenti proprietà: il cateto opposto all angolo di 30 è lungo il cateto opposto all angolo di 60 è lungo

5 Triangolo rettangolo isoscele Un triangolo rettangolo isoscele (cioè con i cateti uguali tra loro) è la metà di un quadrato (figura a lato) e ha due angoli di 45. Se indichiamo con l la lunghezza dei cateti, per il teorema di Pitagora l ipotenusa risulta: Nel triangolo rettangolo isoscele l ipotenusa è uguale a un cateto moltiplicato per 2. CERCHIO E CIRCONFERENZA Raggio r Diametro d = 2 r Circonferenza C = 2 л r Area A = л r² Pi greco л 3, 14 AREA CORONA CIRCOLARE A = л ( R r ) ²