Problemi sui teoremi di Euclide e Pitagora

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1 Appunti di Matematica GEOMETRIA EUCLIDEA Problemi sui teoremi di Euclide e Pitagora Utilizzando le misure di segmenti e superfici si possono riscrivere i teoremi di Pitagora ed Euclide per il triangolo rettangolo: Teorema di Pitagora: 1 + c i c = 1 Teorema di Euclide: c p i 1 = 1 c = p i Teorema di Euclide: h = p1 p Inoltre dal teorema di Pitagora si ricavano delle relazioni importanti per dei triangoli rettangoli particolari. Triangolo rettangolo con angoli di Un triangolo rettangolo con angoli di è metà di un quadrato ed indicando con l il lato e con d la diagonale, applicando il teorema di Pitagora, abbiamo: d = l + l = l = l Triangolo rettangolo con angoli di 0 e 60 Un triangolo rettangolo con angoli di 0 e 60 è la metà di un triangolo equilatero e se indichiamo con l la lunghezza del lato e con h la lunghezza dell altezza, applicando il teorema di Pitagora, abbiamo: l l h = l = l =

2 Appunti di Matematica Problemi svolti 1) In un triangolo rettangolo un cateto è 1 dell altro e il perimetro è 60. Quali sono le lunghezze dei cateti? Considera il triangolo in figura. Se poniamo AB = abbiamo AC = ed applicando il teorema di Pitagora avremo: 1 CB = + 1 = + 1 = 1 1 Poiché il perimetro è 60 abbiamo che = 60 = = Quindi 1 AB = ; AC = = 10; BC = = ) Consideriamo un triangolo rettangolo di cui si conoscono le proiezioni dei cateti 16 sull ipotenusa AH =, HB =. Come risultano le lunghezze dei cateti? Nota: osserviamo che il triangolo è individuato poiché tracciando la semicirconferenza di centro il punto medio di AB e passante per A (o B) possiamo individuare il terzo vertice C intersecandola con la retta per H perpendicolare ad AB (vedi figura). Possiamo usare il 1 teorema di Euclide e, considerando che 16 AC = =, BC = AB = 16 0 = + =, abbiamo: 6

3 Appunti di Matematica ) Considera un trapezio isoscele ABCD avente gli angoli adiacenti alla base maggiore di e siano H e K i piedi delle altezze (vedi figura). Sapendo che DCKH è un quadrato di lato, determina perimetro e area del trapezio. Abbiamo AD = CB =, AB = 1 Quindi p = = A = = 0 ) Un triangolo rettangolo ABC retto in A ha l angolo B = 60 e la bisettrice dell angolo B misura 6. Come si determinano i lati del triangolo? Nel triangolo ABD si ha: 6 6 AD = =, AB = = Se poi consideriamo il triangolo ABC avremo che: BC 6 BC = AB = 6, AC = = = 9 7

4 Appunti di Matematica Problemi (teoremi di Euclide e Pitagora) 1) In un triangolo rettangolo un cateto è dell altro cateto e l area è 10. Calcola la lunghezza dei cateti e dell ipotenusa. [ 1 ; 0 ; ] 1 ) In un triangolo rettangolo l ipotenusa misura e l altezza relativa all ipotenusa. Determina la lunghezza dei cateti. [ ; ] ) In un triangolo rettangolo i cateti stanno tra loro come sta a. Sapendo che il perimetro è 6, determina la lunghezza dei cateti dell ipotenusa. [ ;, ) Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo isoscele sapendo che la sua area è a. ] [ ( + 1)a ] ) Calcola l area di un triangolo rettangolo isoscele sapendo che il suo perimetro è uguale a +. [ 1 ] 6) In un triangolo isoscele il perimetro misura 7 e l altezza relativa alla base. Determina la lunghezza dei lati obliqui e della base. [ 6 ; 0 ] 7) Considera un triangolo isoscele ABC di base AB = 6 e lato obliquo. Determina il raggio R della circonferenza circoscritta. [ R = ] 8 8) In un trapezio rettangolo ABCD con angoli retti in A e D, si ha che l angolo adiacente alla base maggiore B =. Sapendo che BC = e che l area risulta lunghezza delle basi e dell altezza del trapezio., determina la [ 7 ; ; ] 8

5 Appunti di Matematica 1 9) In un rombo le diagonali sono l una i dell altra ed il perimetro del rombo è 6. Determina la lunghezza del lato e dell altezza del rombo [, ] 1 10) Un trapezio isoscele ABCD di base AB è inscritto in una semicirconferenza di diametro AB = 10. Sapendo che gli angoli adiacenti alla base maggiore misurano 60, determina perimetro ed area del trapezio. 7 [ p =, A = ] 11) In un triangolo isoscele la lunghezza della base supera di a quella del lato obliquo. Determina l area sapendo che il perimetro è 80a. [ 00 1) I lati di un rettangolo inscritto in una circonferenza di diametro 0 stanno tra loro nel rapporto. Determina l area del rettangolo. [ a ] 19 ] 1) Calcola il perimetro di un triangolo rettangolo avente l ipotenusa di ed un cateto uguale ai della sua proiezione sull ipotenusa. [ 60 ] 1) In un parallelogramma l angolo acuto misura 0, il lato maggiore è quattro volte quello minore e l area è 0. Determina le lunghezze dei lati e delle due altezze del parallelogramma. 1 [ 1 ; 60 ; ; 0 ] 1) Disegna un trapezio isoscele ABCD con la base maggiore doppia della minore e gli angoli adiacenti alla base minore di 10. Traccia le altezze DE e CF. Sapendo che l area del rettangolo EFCD è, calcola area e perimetro del trapezio. [ 8 ; 0 ] 16) ABC è un triangolo equilatero di 8 di lato. Si scelgono punti A', B' e C', rispettivamente sui segmenti AB, BC e CA, in modo che AA' = BB' = CC'. Come si può scegliere la distanza AA' in modo che i triangoli AA'C', BB'A' e CC'B' siano rettangoli, rispettivamente in A', B', C'? Giustificare la risposta. 9 [8/]