k l equazione diventa 2 x + 1 = 0 e ha unica soluzione

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1 a B 3 Compito del Q 8 maggio 009 A) Equazioni con parametro. Data l equazione ( k + k ) + k + 0 determinare il valore di k in ciascuno dei seguenti casi. L equazione si abbassa di grado (risolvere l equazione in tali casi). L equazione ha soluzioni 3. L equazione ha soluzione. L equazione ha soluzione 5. L equazione ha le soluzioni che soddisfano la relazione. Deve essere a0. Quindi 0 Per k 0 l equazione diventa 0 ed è quindi impossibile Per k + k. Quindi k ( k + ) 0. k 0 o k k l equazione diventa + 0 e ha unica soluzione. Deve essere 0 k k + k Quindi ed k 0 per 0. ( ) k k. Poiché per k0 si ha l abbassamento di grado con equazione impossibile, i valori di k per i quali l equazione ha soluzioni sono quindi < 0 [Chi usa il ottiene k ] 3. Sostituendo alla nell equazione si ottiene Si ottengono i seguenti valori di k: k k + k k ; quindi k + 3k ± 5 k, che sono (ovviamente) accettabili entrambi.. Sostituendo alla nell equazione si ottiene k + k k + 0 ; quindi k k + 0 Questa equazione ha il discriminante negativo e perciò non esiste nessun numero k che fa in modo che l equazione ha soluzione. 5. La relazione va rielaborata per ricondursi a somma e prodotto delle soluzioni c a Sostituendo i coefficienti, si ottiene k + k e quindi 0 k che è accettabile (il discriminante è positivo per tale valore di k) o k che è non accettabile (il discriminante è negativo per tale valore di k) k + k

2 a B 3 Compito del Q 8 maggio 009 B) Scomposizione in fattori del trinomio di grado. Scomponi in fattori i polinomi ( 3 ) ( ) Il primo polinomio ha 7 3 ( 3) 3 ± ( 3) e 3 La scomposizione richiesta usa la formula a ( )( ) + ( ) Il secondo polinomio ha 0 e, 3 +, + La scomposizione richiesta usa la formula ( ) ( ) a k + ( k ). Semplifica la frazioni algebrica k + ( k ) k + Notiamo innanzitutto che per usare e formula a ( )( ) k + e Il Numeratore ha ( ) deve essere k 0 ( k + ) k + ±, k k + ± k, k Il Denominatore ha ( k ) ( + ) e + Si ottiene quindi k ( + ) k + ( k ) k + k + ( k k + k k ( + k ) k Se k0, per semplificare la frazione, sostituiamo direttamente k0 ed otteniamo + k k k Notiamo che il risultato corrisponde alla frazione semplificata con il procedimento precedente (con k0)

3 a B 3 Compito del Q 8 maggio Il trinomio ( k + h ) k + 3h + si scompone in + ( ) Determina i valori di k e h. Osserviamo che confrontando la scomposizione in fattori con la formula base a ( )( ) si ricava che a e che le soluzioni dell equazione associata sono e 3 Due modi: se si vuole utilizzare le formule di somma e di prodotto: + e k 3 k + h Sostituendo i coefficienti, si ottiene il sistema k 6 e h 3h + k + h che ha soluzione Nel secondo, si sostituiscono le soluzioni e alla nel polinomio ottenendo il sistema che si semplifica in ( k + h ) + k + 3h + 0 ( k + h ) k + 3h k + h + 0 k + 7h + 0 k 6 e h che ha soluzione

4 a B 3 Compito del Q 8 maggio 009 C) Applicazioni dell algebra alla geometria (Triangoli rettangoli e teoremi di Euclide e di Pitagora). Determinare le misure dei lati di un triangolo rettangolo nel quale la differenza delle proiezioni vale 6 e l altezza misura 6 in meno dell ipotenusa. Indicata con la proiezione minore, i lati in funzione di sono indicati in figura. L equazione è fornita dal teorema di Euclide p p h ( + 6) ( ) ( ) 0 0 (non accettabile) o Si ha quindi i 0 c 5 c 5. ABCD è un quadrato di lato. MN è parallelo alla diagonale BD. L area del trapezio DMNB è. Calcolare la distanza d tra le rette parallele DB e MN Osserviamo innanzitutto che, essendo l angolo formato dalla diagonale con il lato del quadrato di 5, allora i triangoli che si formano sono tutti isosceli e rettangoli. Primo modo Indicata con la misura di DM, le misure delle basi e dell altezza del trapezio DMNB sono indicate in figura. L area dà quindi: ( DB MN ) + d + ( ) ( ) /

5 a B 3 Compito del Q 8 maggio (non accettabile, è troppo grande) e Quindi 8 d Secondo modo E possibile semplificare il procedimento ed evitare l incognita, ragionando sulle aree. Poiché l area del trapezio DMNB è allora l area del triangolo rettangolo isoscele MCN è pure. Il cateto di tale triangolo misura quindi MC (poiché MCN è metà di un quadrato basta mettere sotto radice quadrata la sua doppia area) Di conseguenza e d DM Un terzo altro modo per arrivare alla misura di d partendo dall area del triangolo MCN consiste nel tracciare l altra diagonale AC, che misura ovviamente AC. Da MC (ricavato dall area del triangolo MCN) si ottiene che AQ e quindi PC d AC AQ PC Quindi d

6 a B 3 Compito del Q 8 maggio In una semicirconferenza di raggio 5 è inscritto un trapezio isoscele la cui altezza misura. Trovare le misure dei lati del trapezio, il suo perimetro e la sua area. Si può non usare incognita se si congiunge un vertice della base minore con il centro della circonferenza e di applica il Teorema di Pitagora al triangolo rettangolo DHO, ottenendo HO3. Quindi AH, HB8, DC 6 ed i lati obliqui 5 AD BC p A 3 Si ha quindi Chi vuole usare l incognita, traccia una diagonale del trapezio (che forma un angolo retto con il lato obliquo), indica con e 0- le proiezioni ed applica il teorema di Euclide. p h p ( 0 ) o 8