Gli enti geometrici fondamentali

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1 capitolo 1 Gli enti geometrici fondamentali 1. Introduzione 1 2. La geometria euclidea come sistema ipotetico-deduttivo 2 Teoremi e dimostrazioni, 3 3. Postulati di appartenenza 4 4. Postulati di ordinamento 7 Semirette, 8 La densità, 9 Segmenti, 10 Semipiani, Le figure convesse 12 Convessità del semipiano Approfondimento, Angoli Poligoni I postulati dei movimenti rigidi 17 Confronto. Somma di segmenti, 18 Misura dei segmenti, 21 Confronto. Somma di angoli, 21 Misura degli angoli, Scegliere un comando, I primi disegni, Le prime costruzioni, Modificare un disegno, Nomi e colori, 31 Il sistema ipotetico-deduttivo, 32 Gli enti primitivi e le figure della geometria euclidea, 34 Postulati di appartenenza e di ordine, 35 Figure convesse, 36 Angoli, 37 Poligoni, 38 I postulati dei movimenti rigidi, 39 Bisettrici, 39 Misura degli angoli, 40 capitolo 2 I triangoli 1. Introduzione 41 Classificazione dei triangoli, Bisettrici, mediane Criteri di uguaglianza per i triangoli 44 Proprietà del triangolo isoscele, Rette parallele tagliate da una trasversale 50 Il postulato delle parallele, 52

2 5. Somma degli angoli di un triangolo 55 Una importante proprietà, 57 Classificazione dei triangoli rispetto ai lati e rispetto agli angoli, Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli Retta per un punto perpendicolare a una data retta 59 Distanza di un punto da una retta. Distanza tra due rette parallele, 59 Altezze e assi in un triangolo, Relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo. La disuguaglianza triangolare 62 Condizione di allineamento di tre punti, Costruzioni con riga e compasso 64 Bisettrice di un angolo, 65 Angolo uguale a uno dato, 66 Triangolo dati due lati e l angolo compreso, 66 Triangolo dati un lato e gli angoli adiacenti, 67 Triangolo equilatero, 67 Triangolo dati i tre lati, 68 Asse e punto medio, 69 Perpendicolare a una retta da un punto, 69 Triangolo isoscele, 70 La trisezione dell angolo retto, Bisettrici e mediane di un triangolo, La disuguaglianza triangolare, 73 Introduzione. Bisettrici. Mediane, 75 1 criterio di uguaglianza, 75 2 criterio di uguaglianza, 77 Proprietà dei triangoli isosceli, 79 3 criterio di uguaglianza, 80 Rette parallele, 82 Somma degli angoli interni di un triangolo, 84 Criteri di uguaglianza dei triangoli rettangoli, 88 Retta per un punto perpendicolare a una retta data. Distanza punto-retta. Distanza tra due rette parallele, 90 Relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo. Disuguaglianza triangolare, 91 Gare di Matematica, 93 capitolo 3 Le isometrie 1. Trasformazioni del piano 95 Trasformazione composta, Le isometrie 99 Proprietà invarianti, Composizione di due isometrie Simmetria centrale Simmetria assiale o riflessione Rotazione 107 Angoli orientati, 107 Rotazione, Traslazione 109 Vettori, 109 Somma di vettori, 111 Traslazione, Composizione di isometrie 114 Composizione di due simmetrie centrali, 114 Composizione di simmetrie assiali, 115 Composizione di rotazioni attorno allo stesso centro, 119 Composizione di traslazioni, 120 Composizione di una traslazione e di una rotazione, Quante condizioni per determinare un isometria? 122

3 1. Simmetria centrale di un triangolo, Simmetria assiale di un triangolo, 124 Operazioni con i vettori, Traslazioni di un triangolo, Glissometria, Rotazione, 127 Trasformazioni del piano, 130 Isometrie, 130 Simmetria centrale, 131 Simmetria assiale, 134 Rotazione, 138 Vettori, 141 Traslazione, 142 Composizioni di trasformazioni, 144 Gare di Matematica, 148 capitolo 4 I quadrilateri. Punti notevoli di un triangolo 1. I poligoni 149 Somma degli angoli interni, 149 Somma degli angoli esterni, 150 Relazioni tra i lati di un poligono, Criteri di uguaglianza dei poligoni I quadrilateri Il trapezio 153 Simmetria, Il parallelogramma 155 Simmetria, Il rettangolo 157 Simmetrie, Il rombo 158 Simmetrie, Il quadrato 159 Simmetrie, Fascio di rette parallele. Teorema di Talete 160 Applicazioni, Luoghi geometrici 162 Asse di un segmento, 163 Bisettrice di un angolo, 163 Luogo dei punti equidistanti da due rette date, 164 Luogo dei punti aventi una distanza assegnata d da una retta m, Punti notevoli di un triangolo 165 Baricentro (punto d incontro delle mediane), 165 Circocentro (punto d incontro degli assi dei lati), 166 Ortocentro (punto d incontro delle altezze), 166 Incentro (punto d incontro delle bisettrici), Costruzioni con riga e compasso 168 Retta secante un angolo, 168 Trapezio isoscele, 168 Rettangolo, 169 Parallelogramma, Angoli interni ed esterni di poligoni, Un esperimento con la carta, Le macro CABRI, Un esperimento socio-economico, 173 I poligoni, 175 Criteri di uguaglianza dei quadrilateri, 176 Il trapezio, 177 Il parallelogramma, 180 Il rettangolo, 183 Il rombo, 185 Il quadrato, 187 Fascio di rette parallele. Teorema di Talete, 189 Luoghi geometrici, 192 Punti notevoli di un triangolo, 194 Gare di Matematica, 197

4 capitolo 5 La circonferenza 1. Circonferenza e cerchio Circonferenza per tre punti non allineati Corde, archi, settori circolari, segmenti circolari 200 Simmetrie, Posizioni relative di una retta e di una circonferenza Posizioni relative di due circonferenze Angoli al centro e angoli alla circonferenza Tangenti a una circonferenza condotte da un punto Tangenti comuni a due circonferenze Costruzioni con riga e compasso 213 Tangenti, 213 Triangolo rettangolo, Angoli al centro e angoli alla circonferenza, Il comando Traccia, Il comando Luoghi, Le tre circonferenze, 218 Circonferenza e cerchio. Circonferenza per tre punti non allineati, 220 Corde e archi, 220 Simmetrie, 223 Posizioni relative di una retta e di una circonferenza. Posizioni relative di due circonferenze, 224 Angoli al centro e angoli alla circonferenza, 226 Tangenti condotte a una circonferenza, 231 Luoghi geometrici, 236 Gare di Matematica, 239 capitolo 6 Poligoni inscritti e circoscritti Poligoni regolari 1. Poligoni inscritti e circoscritti a una circonferenza Triangoli 242 Circonferenze exinscritte, Quadrilateri Poligoni regolari Simmetrie e rotazioni 249 Simmetria assiale, 249 Simmetria centrale, 249 Rotazioni, Costruzioni con riga e compasso 250 Quadrato, 250 Ottagono regolare, 251 Esagono regolare, 252 Triangolo equilatero, 254 Luogo geometrico dei punti dai quali un segmento è visto sotto un angolo dato, 255 Triangoli isosceli, 257 Ottagono regolare di lato assegnato, La circonferenza dei nove punti e la retta di Eulero I poligoni regolari con CABRI, Assegnare il lato, 262 Poligoni inscritti e circoscritti, 264 Triangoli, 265 Quadrilateri, 269 Poligoni regolari. Simmetrie, 275 Gare di Matematica, 279

5 capitolo 7 Equivalenza delle figure piane 1. Estensione. Equivalenza 281 Somma e differenza di superfici, Poligoni equicomposti Casi particolari di equivalenza di poligoni 284 Equivalenza fra parallelogrammi, 284 Equivalenza tra triangolo e parallelogramma, 285 Equivalenza tra trapezio e triangolo, 287 Equivalenza tra quadrilatero a diagonali perpendicolari e rettangolo, 288 Equivalenza tra poligono circoscritto a una circonferenza e triangolo, Trasformazione di un poligono in un triangolo equivalente 290 Trasformazione di un poligono in un altro equivalente avente un lato di meno, 290 Trasformazione di un triangolo in un altro equivalente avente altezza fissata, Teorema di Pitagora e teoremi di Euclide 292 Teorema di Carnot, Pitagora e... il trapezio Approfondimento Costruzioni con riga e compasso 296 Trasformazione di un rettangolo in un quadrato equivalente, Equivalenza tra parallelogrammi, Pitagora senza parole, Triangoli equicomposti a rettangoli, 300 Poligoni equiscomponibili, 302 Superfici equivalenti, 302 Casi particolari di equivalenza di poligoni, 303 Trasformazione di poligoni in poligoni equivalenti, 309 Teoremi di Euclide e di Pitagora, 311 Teorema di Carnot, 315 capitolo 8 Grandezze e loro misura. Teorema di Talete 1. Classi di grandezze omogenee Multipli e sottomultipli 318 Sottomultipli secondo le potenze di 2, 320 Multipli e sottomultipli razionali, Grandezze commensurabili e incommensurabili 321 Grandezze commensurabili, 321 Grandezze incommensurabili, 322 Angoli incommensurabili, Misura di un segmento Misura di una grandezza. Cambiamento di unità di misura 326 Proprietà della misura, 327 Cambiamento di unità di misura, Aree dei poligoni 328 Area del rettangolo, 318 Area del quadrato, 331 Area del parallelogramma, 331 Area del triangolo, 331 Area del trapezio, 331 Area di un quadrilatero con diagonali perpendicolari, 332 Area del rombo, 332 Area di un poligono circoscritto a una circonferenza, 332 Area di un poligono regolare, 333

6 7. Relazioni metriche relative ai teoremi di Pitagora e di Euclide 333 Triangolo rettangolo, 333 Triangolo qualunque, 334 Triangolo rettangolo con un angolo di 30, 334 Triangolo equilatero, 335 Triangolo rettangolo isoscele, 335 Quadrato, Grandezze proporzionali Proporzionalità diretta e inversa Teorema di Talete Applicazioni del teorema di Talete 342 Bisettrici di un triangolo, 342 Costruzione del quarto proporzionale, 343 Divisione di un segmento in parti proporzionali a due segmenti dati, Misurare un segmento, La formula dell area del triangolo, Apotema di poligoni regolari, Il rapporto semplice, Il birapporto: un ascissa proiettiva, Il quarto armonico, 349 Grandezze omogenee. Multipli e sottomultipli, 351 Rapporto tra grandezze commensurabili, 351 Grandezze commensurabili e incommensurabili, 352 Area dei poligoni. Teoremi di Pitagora ed Euclide, 354 Proporzionalità diretta e inversa, 357 Teorema di Talete, 358 Bisettrice di un triangolo, 364 Gare di Matematica, 365 capitolo 9 Similitudine e omotetia 1. Introduzione Triangoli simili Criteri di similitudine dei triangoli Proprietà dei triangoli simili. Perimetri e aree I teoremi di Euclide Applicazioni della similitudine 378 Corde. Secanti. Tangenti, 378 Potenza di un punto rispetto a una circonferenza, 380 Teorema di Tolomeo, Poligoni simili 382 Proprietà dei poligoni simili, 383 Costruzione di un poligono simile a uno dato, 384 Generalizzazione del teorema di Pitagora, 386 Costruzioni di poligoni regolari, La sezione aurea 388 Definizione e proprietà, 388 Misura della sezione aurea di un segmento, 388 Costruzione geometrica della sezione aurea di un segmento, 389 Il triangolo isoscele con gli angoli alla base di 72, 390 Costruzione del decagono regolare, 391 Costruzione del pentagono regolare, Il rettangolo aureo Approfondimento La similitudine come trasformazione del piano Omotetia 396 Casi particolari, 397 Principali proprietà dell omotetia, 398

7 12. Composizione di omotetie e isometrie 400 Composizione di omotetie dello stesso centro, 400 Composizione di una omotetia e di una isometria, Alcune medie, Teorema delle secanti, Una macro CABRI: la sezione aurea, Omotetie, 405 Triangoli simili, 407 Aplicazioni della similitudine, 416 Corde. Secanti. Tangenti, 416 Potenza di un punto rispetto a una circonferenza, 417 Poligoni simili, 419 Problemi numerici, 421 La sezione aurea, 425 Similitudine come trasformazione del piano, 427 Omotetia, 427 numerici, 433 Composizione di trasformazioni, 434 Gare di Matematica, 435 capitolo 10 Lunghezza della circonferenza e area del cerchio 1. Lunghezza della circonferenza Lunghezza di un arco 440 Misura in radianti di un angolo, Area del cerchio 442 Area del settore, Poligoni inscritti e poligoni circoscritti, Calcolo approssimato di π, Circonferenze tangenti in un poligono regolare, Area del settore, 447 Lunghezza della circonferenza e area del cerchio, 448 Misura in radianti di un angolo, 448 Lunghezza di un arco e area del settore, 449 Lunule, 456 Gare di Matematica, 459 capitolo 11 Applicazioni dell algebra alla geometria 1. Introduzione Problemi risolti 464 Problema di primo grado in una incognita, 464 Problema di secondo grado in una incognita, 465 Problema risolubile con un equazione irrazionale, 467 Problema di primo grado in due incognite, 468 Problema di secondo grado in due incognite, Area del triangolo. Formula di Erone Raggio della circonferenza inscritta e circoscritta in un triangolo 473 Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo, 473 Raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo, 473

8 5. Lunghezza delle altezze di un triangolo Lunghezza delle mediane di un triangolo Lunghezza delle bisettrici di un triangolo 476 Problemi risolubili con equazioni di primo grado, 478 Proporzioni. Teorema di Talete, 478 Teoremi di Pitagora e di Euclide, 478 Triangoli rettangoli con angoli di 30, 479 Similitudine, 480 Problemi risolubili con sistemi di primo grado in due incognite, 482 Problemi risolubili con equazioni di secondo grado in una incognita, 484 Teoremi di Pitagora e di Euclide, 484 Similitudine, 489 Corde e secanti. Teorema delle secanti, 492 Bisettrici. Teorema della bisettrice, 493 Problemi risolubili con un equazione irrazionale, 494 Problemi risolubili con sistemi di secondo grado in due incognite, 496 Formulario 501 Soluzioni 510 Indice analitico 515