Equazioni goniometriche elementari. Daniela Valenti, Treccani scuola

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1 Equazioni goniometriche elementari 1

2 Questa presentazione è dedicata a risolvere equazioni trigonometriche elementari Sono dette elementari le equazioni del tipo sin(x)=m, cos(x) = m e tan(x) = m, con m numero reale. Percorso proposto Richiamare la funzione y = sin(x) e la sua inversa. Determinare tutte le soluzioni di equazioni del tipo sin(x) = m. Ripetere i primi due passi per risolvere equazioni del tipo cos(x) = m e tan(x) = m. 2

3 La fisica suggerisce la legge d = sin(t) A sinistra, P gira sulla circonferenza in verso antiorario e percorre ogni secondo un arco AP lungo 1. Proietto P sul diametro verticale, dove leggo il seno dell arco AP. A destra, riporto sull asse delle ascisse l arco AP e sull asse delle ordinate il seno dell arco AP. Trigo_equazioni_Geogebra_Presenta1a 3

4 Il movimento continua P continua a girare sulla circonferenza e la sua proiezione continua a oscillare sul diametro. d = sin(t) Per disegnare il grafico ripeto tante volte l arco rosso, che ho disegnato all inizio solo nell intervallo [0; 2 ], che è lungo 2. Si ottiene un grafico periodico con periodo T = 2π. 4

5 La funzione y = sin(x) e la sinusoide La legge d = sin(t) viene applicata per risolvere problemi del tipo: è dato il tempo t = x e ricavo d = y. Questo porta a dimenticare la fisica e osservare le figure qui sotto: - In alto P può girare anche in verso opposto (cioè orario) - In basso, per ricordare il cambiamento di verso, distendiamo l arco AP sull asse delle ascisse, a partire dall origine O anche nel verso negativo e continuiamo il grafico. y =sin(x) La curva prende il nome di sinusoide 5

6 Invertire la funzione y = sin(x) Ma gli oscillatori e la legge d = sin(t) possono essere applicati anche per scandire il tempo; in questi casi è data d = x e ricavo il tempo t = y. Questo porta a cercare la funzione inversa di y = sin(x). 6

7 La funzione y = sin x non è biunivoca In questo caso la formula y = sin x, con dominio sottinteso l insieme R, definisce una funzione che non è biunivoca. Perciò la simmetrica rispetto a b non è il grafico di una funzione. Per avere una funzione invertibile, sempre con la stessa formula, bisogna scegliere un dominio più ristretto. y = sinx Dominio: [-π/2; π/2] Codominio: [-1; 1] Funzioni una inversa dell altra y = arcsinx 7

8 Inversa della funzione seno Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in gradi Tasti del tascabile Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in radianti Con la matematica 8

9 Equazione elementare sin(x)=m. Un esempio sin(x) = 1 2 L equazione esprime in forma sintetica il seguente problema È data la funzione y = sin(x) definita nell insieme R dei numeri reali. Determina tutti gli archi x che corrispondono all ordinata y = ½. Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell equazione. L interpretazione grafica dà un primo orientamento. 9

10 Equazione sin(x) = m Interpretazione grafica dell esempio sin(x) = 1 y = sin(x) 2 y = 1 2 Il grafico ricorda che la funzione y = sin(x) è periodica con periodo 2π. Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo 2π. L equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo l asse delle x. Come posso descrivere tutte le soluzioni dell equazione? 10

11 Equazione sin(x) = m. Le soluzioni dell esempio Una soluzione nell intervallo π 2, π 2 y = sin(x) 11

12 Equazione sin(x) = m Le soluzioni dell esempio Due soluzioni nell intervallo π 2, 3 2 π 12

13 Equazione sin(x) = m. Tutte le soluzioni dell esempio Nell insieme R le soluzioni si ripetono con periodo 2π Per riassumere tutte le soluzioni x k = π 6 + 2kπ x' k = 5 6 π + 2kπ Con k che varia nell insieme Z dei numeri interi 13

14 Le equazioni del tipo sin(x) = m Se m < -1 oppure m > 1 NESSUNA SOLUZIONE REALE 14

15 Le equazioni del tipo sin(x) = m Solo se -1 m 1, tutte le soluzioni sono date da x k = α + 2kπ x' k = π α + 2kπ Con = arcsin(m) k che varia nell insieme Z dei numeri interi Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1b 15

16 Risolvere equazioni del tipo sin(x) = m Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = sin(x). ESEMPI 16

17 Equazioni del tipo cos(x) = m Seguo lo stesso percorso, con qualche modifica 17

18 Inverto la funzione coseno 18

19 Anche la funzione y = cos x non è biunivoca Anche la formula y = cos x, con dominio sottinteso l insieme R, definisce una funzione che non è biunivoca. Perciò la simmetrica rispetto a b non è il grafico di una funzione. Per avere una funzione invertibile, sempre con la stessa formula, bisogna scegliere un dominio più ristretto. Funzioni una inversa dell altra y = cosx Dominio: [0; π] Codominio: [-1; 1] y = arccosx 19

20 Inversa della funzione coseno Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in gradi Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in radianti Con la matematica 20

21 Equazione elementare cos(x)=m. Un esempio cos(x) = 1 2 L equazione esprime in forma sintetica il seguente problema È data la funzione y = cos(x) definita nell insieme R dei numeri reali. Determina tutti gli archi x che corrispondono all ordinata y = ½. Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell equazione. L interpretazione grafica dà un primo orientamento. 21

22 Equazione cos(x) = m Interpretazione grafica dell esempio cos(x) = 1 y = cos(x) 2 y = 1 2 Il grafico ricorda che la funzione y = cos(x) è periodica con periodo 2π. Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo 2π. L equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo l asse delle x. Descrivo tutte le soluzioni anche di questa equazione 22

23 Equazione cos(x) = m. Le soluzioni dell esempio Una soluzione nell intervallo [0, ] y = cos(x) 23

24 Equazione cos(x) = m Tutte le soluzioni dell esempio Nell insieme R: - la funzione y = cos(x) è pari, perciò trovo - le soluzioni si ripetono con periodo 2π. α = π 3, α'= π 3 Per riassumere tutte le soluzioni x k = ± π 3 + 2kπ Con k che varia nell insieme Z dei numeri interi 24

25 Le equazioni del tipo cos(x) = m Se m < -1 oppure m > 1 NESSUNA SOLUZIONE REALE 25

26 Le equazioni del tipo cos(x) = m Solo se -1 m 1, tutte le soluzioni sono date da x k = ±α + 2kπ Con = arccos(m) k che varia nell insieme Z dei numeri interi Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1c 26

27 Risolvere equazioni del tipo cos(x) = m Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = cos(x). ESEMPI 27

28 Equazioni del tipo tan(x) = m Seguo lo stesso percorso, con qualche modifica 28

29 Inverto la funzione tangente Dominio l insieme dei numeri reali esclusi i multipli dispari di π/2. 29

30 Anche la funzione y = tan x non è biunivoca Anche con la formula y = tanx, si può definire una funzione invertibile solo scegliendo opportunamente il dominio. Funzioni una inversa dell altra y = arctanx y = tanx Dominio: π 2, π 2 Codominio: R 30

31 Inversa della funzione tangente Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in gradi Con il tascabile predisposto a misurare gli angoli in radianti Con la matematica 31

32 Equazione elementare tan(x) =m. Un esempio tan(x) = 1 L equazione esprime in forma sintetica il seguente problema È data la funzione y = tan(x) definita nell insieme R dei numeri reali esclusi i multipli dispari di π/2. Determina tutti gli archi x che corrispondono all ordinata y = 1. Tutti gli archi x così indicati sono le SOLUZIONI dell equazione. L interpretazione grafica dà un primo orientamento. 32

33 Equazione tan(x) = m Interpretazione grafica dell esempio tan(x) = 1 y = tan(x) y = 1 Il grafico ricorda che la funzione y = tan(x) è periodica con periodo π. Perciò anche gli archi richiesti si ripetono con periodo π. L equazione ha dunque infinite soluzioni, disposte con regolarità lungo l asse delle x. Descrivo tutte le soluzioni anche di questa equazione 33

34 Equazione tan(x) = m. Le soluzioni dell esempio Una soluzione nell intervallo π 2, π 2 y = tan (x) 34

35 Equazione tan(x) = Tutte le soluzioni dell esempio Nell insieme dei numeri reali esclusi i multipli dispari di π/2 le soluzioni si ripetono con periodo π. Per riassumere tutte le soluzioni x k = π 4 + kπ Con k che varia nell insieme Z dei numeri interi 35

36 Le equazioni del tipo tan(x) = m Posso scegliere a piacere il numero reale m e trovare le soluzioni dell equazione. Tutte le soluzioni sono date da x k = α + kπ Con = arctan(m) k che varia nell insieme Z dei numeri interi Trigo_Equazioni_Geogebra_Presenta1d 36

37 Risolvere equazioni del tipo tan(x) = m Risolvo equazioni senza tracciare il grafico di y = tan(x). ESEMPI 37

38 Sintesi di equazioni trigonometriche elementari Risolvere equazioni senza tracciare il grafico di funzioni circolari. FORMULE RISOLUTIVE 38

39 Attività 1. Risolvere equazioni goniometriche elementari Nel lavoro di gruppo sarete voi a risolvere equazioni trigonometriche elementari. Dividetevi in gruppi di 2 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare. Avete 15 minuti di tempo 39

40 Che cosa abbiamo ottenuto 40

41 Soluzioni delle equazioni 41

42 Soluzioni delle equazioni 42

43 Soluzioni delle equazioni 43