Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.

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1 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Tema n 4 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco). Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: z + z jzj = 0:

2 . Operazioni sui gra ci. Tracciare il gra co della seguente funzione, a partire dal gra co noto della funzione Sh, applicando esclusivamente successive operazioni sul gra co (traslazione, dilatazione, ri essione, valore assoluto). Riportare anche i vari gra ci di passaggio utilizzati per costruire il gra co della funzione, mettendo ben in evidenza il gra co di f (). Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di ma./min, ecc.) f () = jsh j j Sh j :. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giusti care i passaggi citando i teoremi utilizzati. lim n!+ n n (n)! :

3 4. Stime asintotiche e gra ci locali. Dare una stima asintotica della funzione f ()per! 0, e tracciare, di conseguenza, il gra co qualitativo di f ()in un intorno di = 0. Classi care questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di esso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale: : :). punto in base alla sola stima asintotica. Nota: l esercizio chiede di tracciare il gra co locale e classi care il f () = log j + p j jlog ( )j tan = ; 0 = 0:. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il gra co qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell insieme di de nizione, e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra co eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l andamento all in nito. f () = he ( i + +) = :

4 6. Derivata di funzione inversa. Sia f () = arctan + : a. Provare (senza utilizzare il calcolo di erenziale) che la funzione è strettamente monotona su R e quindi invertibile. b. Calcolare f 0 () : c. Detta g la funzione inversa di f, calcolare g e g 0. 4

5 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Tema n 4 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco). Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo esplicitamente quante sono: z p z + i = i:

6 . Funzione inversa. Si consideri la funzione f () = e + e ; che è invertibile in tutto il suo dominio di de nizione. Scrivere esplicitamente la funzione inversa = g (y) (riportando tutti i passaggi), e determinare il dominio di de nizione di g.. Limiti di funzioni. Calcolare i seguenti limiti, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: log ++ lim +! e jj + e 6

7 4. Stima all in nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di f () per! ; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso a ermativo determinandolo. f () = e ( + 4= )=( +) :. Studio qualitativo di funzione.tracciare il gra co qualitativo della seguente funzione, utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell insieme di de nizione e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra co eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l andamento all in nito. f () = e = = 4 : + 7

8 6. Derivata e retta tangente. Sia f () = (sin ) sin : a. Determinare, nell intervallo [0; ], l insieme di de nizione di f, calcolare la derivata f 0 () e sempli care l espressione ottenuta. b. Scrivere l equazione della retta tangente al gra co di f nel punto di ascissa 6 ; sempli cando l espressione ottenuta. 8

9 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Tema n 4 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco). Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo esplicitamente quante sono: z 4 + iz ( + i) = 0: 9

10 . Operazioni sui gra ci. Tracciare il gra co della seguente funzione, a partire dal gra co noto della funzione =, applicando esclusivamente successive operazioni sul gra co (traslazione, dilatazione, ri essione, valore assoluto). Riportare anche i vari gra ci di passaggio utilizzati per costruire il gra co della funzione, mettendo ben in evidenza il gra co di f (). Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di ma./min, ecc.) f () = ( jj) = :. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: lim!0 p e = + Sh () : log

11 4. Stime asintotiche e gra ci locali. Dare una stima asintotica della funzione f ()per! 0, e tracciare, di conseguenza, il gra co qualitativo di f ()in un intorno di = 0. Classi care questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di esso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale: : :). punto in base alla sola stima asintotica. Nota: l esercizio chiede di tracciare il gra co locale e classi care il f () = log log ( + ) ( ) = ; 0 = :. Studio qualitativo di funzione. Determinare l insieme di de nizione e tracciare il gra co qualitativo della seguente funzione utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell insieme di de nizione e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra co eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l andamento all in nito. f () = + log :

12 6. Derivata di funzione inversa. Sia f () = 6 arcsin : a. Provare (senza utilizzare il calcolo di erenziale) che la funzione è strettamente monotona in ( ; ) e quindi invertibile su tale intervallo. b. Calcolare f 0 () : c. Detta g la funzione inversa di f su ( ; ), calcolare g ( + ) e g 0 ( + ), sempli cando l espressione ottenuta.

13 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Tema n Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n di matricola) n d ordine (v. elenco). Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo esplicitamente quante sono: z + (Im z) (Re z) + + i = 0:

14 . Funzione inversa. Si consideri la funzione f () = e + 4e ; che è invertibile in tutto il suo dominio di de nizione. Scrivere esplicitamente la funzione inversa = g (y) (riportando tutti i passaggi), e determinare il dominio di de nizione di g.. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giusti care i passaggi citando i teoremi utilizzati. lim e n n+ n!+ p e n cos n n sin n + sin n : 4

15 4. Stima all in nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di f () per! ; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso a ermativo determinandolo. f () = 4p 4 + 4:. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il gra co qualitativo della seguente funzione, utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell insieme di de nizione e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra co eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l andamento all in nito. f () = e jj :

16 6. Derivata e retta tangente. Si consideri la funzione f () = p 6 + p : a. Determinare l insieme di de nizione di f, calcolare la derivata f 0 e sempli care l espressione trovata; determinare l insieme di de nizione di f 0 : b. Scrivere l equazione della retta tangente al gra co di f nel punto di ascissa. 6

17 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es. 4 6 Tot. Punti. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: z + z jzj = 0: Ponendo z = (cos # + i sin #) si ha: z = z jzj : (cos (#) + i sin (#)) = (cos ( # + ) + i sin ( # + )) = che dà le cinque soluzioni: z = 0 # = # + + k = 0; = 4# = + k; # = 4 + k z = p + i p ; z = p i p z 4 = p + ip ; z = p ip. Operazioni sui gra ci. Tracciare il gra co della seguente funzione, a partire dal gra co noto della funzione Sh, applicando esclusivamente successive operazioni sul gra co (traslazione, dilatazione, ri essione, valore assoluto). Riportare anche i vari gra ci di passaggio utilizzati per costruire il gra co della funzione, mettendo ben in evidenza il gra co di f (). Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di ma./min, ecc.) f () = jsh j j Sh j : 7

18 Sh Sh jj Sh j j Sh j j Sh jsh j j Sh j. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giusti care i passaggi citando i teoremi utilizzati. lim n!+ n n (n)! : Successione a termini positivi, applichiamo il criterio del rapporto. a n+ a n = (n + )(n+) ( (n + ))! = (n + ) (n + ) (n + ) n + n (n) (n)! (n)! (n + ) n+ = nn (n + )! n n (n + ) + n n n! e < (perché e < ), 7 8

19 quindi per il criterio del rapporto la successione converge a zero. 4. Stime asintotiche e gra ci locali. Dare una stima asintotica della funzione f () per! 0, e tracciare, di conseguenza, il gra co qualitativo di f () in un intorno di = 0. Classi care questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di esso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale: : :). Nota: l esercizio chiede di tracciare il gra co locale e classi care il punto in base alla sola stima asintotica. Per! 0 si ha: f () = log j + p j jlog ( )j tan = ; 0 = 0: log j + p j jlog ( )j tan = = log ( + p ) jlog ( )j tan = p j j = = 4 = jj = = jj 4 = = 4 = sgn () : Perciò = 0 è un punto di discontinuità eliminabile, esso a tangente verticale ascendente. Gra co locale: Studio qualitativo di funzione. Tracciare il gra co qualitativo della seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell insieme di de nizione, e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra co eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l andamento all in nito. f () = he ( i +) + = : 9

20 De nita per 6=. Si annulla per = 0 e per =. Studieremo perciò anche questi punti. Per! ; e poiché + + f () he ( i + +) = = e ( + +) = = + =! ; e ( + +) = 0 +! + ; f ()! : + + = = 0; quindi Quindi = è asintoto verticale per! ; punto d arresto (a tangente orizzontale, perché la funzione si annulla con velocità esponenziale) per! + : Per! 0; h f () e ( i ) = = c con c > 0: La funzione in = 0 taglia l asse delle con tangente obliqua crescente. Per! ; h i f () e (+)= ( + ) = ; quindi = punto di esso a tangente verticale, discendente Per! ; f () [e ]! con crescita lineare. Cerco eventuale asintoto obliquo. Per! ; f () [e ] = he ( i + +) = = e perché l esponente tende a zero. he ( + +) = " + + [e ] i e = e he ( + +) = = # Ora, poiché + + ( + " ()) = " () = abbiamo " " = = + e # = e # e + + i! ; usando la stima! e + 0

21 perciò la funzione ha asintoto obliquo Gra co qualitativo: y = (e ) e : 6. Derivata di funzione inversa. Sia f () = arctan + : a. Provare (senza utilizzare il calcolo di erenziale) che la funzione è strettamente monotona su R e quindi invertibile. b. Calcolare f 0 () : c. Detta g la funzione inversa di f, calcolare g e g 0. a. La funzione è descrescente in tutto R; la funzione arctan t è crescente in tutto R; la loro composizione arctan è descrescente in tutto R. La funzione è descrescente in tutto R, quindi lo è anche f () ; come somma di funzioni strettamente decrescenti in tutto R: b. f 0 () = + ( ) log : c. f () = arctan (0) + =,

22 perciò g = g 0 = f 0 () = log = + log :

23 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es. 4 6 Tot. Punti. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo esplicitamente quante sono: z p z + i = i: Risolviamo prima in z : da cui z = i p z z i p + = 4 z 4 = + i p = 4 i p = i p + z = q i p e poiché p p i = e arg i =, si ha: z = p cos + k + i sin + k con k = 0; ; ; ; 4 e le soluzioni sono in tutto.. Funzione inversa. Si consideri la funzione f () = e + e ; che è invertibile in tutto il suo dominio di de nizione. Scrivere esplicitamente la funzione inversa = g (y) (riportando tutti i passaggi), e determinare il dominio di de nizione di g.

24 Risolviamo l equazione e + e = y e + = y ye e ( + y) = y e = y + y y = log + y y = log + y de nita per +y y > 0; dunque y < ; y > : = log + y ; y. Limiti di funzioni. Calcolare i seguenti limiti, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: log ++ lim +! e jj + e Per! ; + + log! 0; log Per! +; = + e jj + e = e e! 0; e + e = e e + e + = e + e mentre per! ; Perciò per! +; e jj + e = e e! e e : mentre per! ; f () f () e = e e e! 0: 4

25 4. Stima all in nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di f () per! ; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso a ermativo determinandolo. f () = e ( + 4= )=( +) : + 4= = +! per! ; perciò f () e! con crescita lineare. Cerco eventuale asintoto obliquo. f () h e = e e ( + 4= )=( +) = e 4= e + 4= i + 4= e + = e =! ; perciò non esiste asintoto obliquo.. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il gra co qualitativo della seguente funzione, utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell insieme di de nizione e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra co eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l andamento all in nito. f () = e = = 4 : + De nita per 6= 0; 6=. Si annulla in = ; punti in cui mi aspetto essi a tangente verticale, per la presenza della radice cubica. Studierò quindi questi punti. Per! 0 ; = 4 f () e =! 0 Perciò = 0 asintoto verticale per! 0 +, = 0 punto d arresto a tangente orizzontale per! 0 (la funzione si annulla con velocità esponenziale). Per! ; = f () e =! ; + quindi = asintoto verticale. Per! ; f () e = 4 ( ) = = 4 = e = ( ) = ;

26 perciò = punto di esso a tangente verticale, ascendente. Per! ; f () e = ( 4 ( + )) = = 4 = e = ( + ) = ; perciò = punto di esso a tangente verticale, discendente. Per! ; f () =! con crescita sottolineare. In particolare, non c è asintoto obliquo. Gra co qualitativo: 6. Derivata e retta tangente. Sia f () = (sin ) sin : a. Determinare, nell intervallo [0; ], l insieme di de nizione di f, calcolare la derivata f 0 () e sempli care l espressione ottenuta. b. Scrivere l equazione della retta tangente al gra co di f nel punto di ascissa 6 ; sempli cando l espressione ottenuta. sin log(sin ) a. De nita per sin > 0; quindi in (0; ) : Riscrivendo f () = e 6

27 si calcola: f 0 () = (sin ) sin (sin log (sin )) 0 = (sin ) sin cos log (sin ) + = (sin ) sin cos (log (sin ) + ) : sin cos sin b. f 6 = = p ; f 0 6 = p p log + = p p Retta tangente: ( log ) : y = f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) ( 0 ) y = p p + p ( log ) : 6 7

28 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es. 4 6 Tot. Punti. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo esplicitamente quante sono: z 4 + iz ( + i) = 0: Equazione biquadratica, risolviamo prima in z : z = i + p + ( + i) = i + p i = i p + i p = i ( + i) = i: Ora, z = dà z = mentre z = i, dà (poiché j ij = p e arg ( i) = arctan + ): z = 4p cos arctan + + i sin arctan + e le soluzioni sono in tutto 4.. Operazioni sui gra ci. Tracciare il gra co della seguente funzione, a partire dal gra co noto della funzione =, applicando esclusivamente successive operazioni sul gra co (traslazione, dilatazione, ri essione, valore assoluto). Riportare anche i vari gra ci di passaggio utilizzati per costruire il gra co della funzione, mettendo ben in evidenza il gra co di f (). Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con gli assi, di ma./min, ecc.) f () = ( jj) = : 8

29 = ( + ) = ( ) = ( jj) = ( jj) =. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: lim!0 p e = + Sh () : log ++ + tende a zero più rapi- Poiché, per! 0, Sh () 6 mentre p e = damente di qualsiasi potenza di ; Num. 6: Per! 0 si ha ++ +! ; perciò + + Den. = log + = : Pertanto f () 6 4 = 9 : 4. Stime asintotiche e gra ci locali. Dare una stima asintotica della funzione f () per! 0, e tracciare, di conseguenza, il gra co qualitativo di f () in un intorno di = 0. Classi care questo punto (cioè dire se si 9

30 tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di esso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale: : :). Nota: l esercizio chiede di tracciare il gra co locale e classi care il punto in base alla sola stima asintotica. Per! ; f () = log log ( + ) ( ) = ; 0 = : f () ( ) log log = = = ( ) ( = )= : Quindi = è punto di discontinuità eliminabile, di esso a tangente orizzontale, ascendente. Gra co locale:. Studio qualitativo di funzione. Determinare l insieme di de nizione e tracciare il gra co qualitativo della seguente funzione utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell insieme di de nizione e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra co eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l andamento all in nito. f () = + log : De nita per + > 0; cioè < ; > =: Inoltre f si annulla (essendo 6= 0 nel dominio) per log + = 0; cioè + = ; cioè + = ; = : Studieremo pertanto la funzione per! ;! = + ;! ;! : Per! ; f () + log! ; 0

31 = asintoto verticale da sinistra. Per! = + ; f () =4 log! +; ( =) = = asintoto verticale da destra. Per! ; poiché l argomento del logaritmo tende a, f () + log + = + j j ; perciò la funzione ha un punto angoloso e di minimo relativo in = : Per! ; f () log = log! con crescita lineare. Cerchiamo asintoto obliquo. Per! l argomento + del logaritmo tende a =; quindi il logaritmo è negativo perciò log = log = log e + f () + log = log + log = log + e poiché l argomento dell ultimo logaritmo scritto tende a vale la stima asintotica = log =! e la funzione ha asintoto obliquo y = log :

32 Gra co qualitativo: 6. Derivata di funzione inversa. Sia f () = 6 arcsin : a. Provare (senza utilizzare il calcolo di erenziale) che la funzione è strettamente monotona in ( ; ) e quindi invertibile su tale intervallo. b. Calcolare f 0 () : c. Detta g la funzione inversa di f su ( ; ), calcolare g ( + ) e g 0 ( + ), sempli cando l espressione ottenuta. a. Per ( ; ) ; quindi ( ; ) ; la funzione arcsin è strettamente crescente, quindi lo è anche 6 arcsin. La funzione y = + + è un iperbole, di gra co: in particolare è strettamente crescente in ( ; +) : Perciò in ( ; ) ; essendo somma di due funzioni strettamente crescenti, f () è strettamente crescente e quindi invertibile.

33 b. f 0 () = q c. quindi 6 f () = 6 arcsin + ( + ) ( + ) ( + ) = q = = + ; g ( + ) = g 0 ( + ) = f 0 () = q ( ) + = p : + ( + ) :

34 Prima prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 0/06. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 4 Es. 4 6 Tot. Punti. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo esplicitamente quante sono: Ponendo z = + iy abbiamo: z + (Im z) (Re z) + + i = 0: y + iy + y + + i = 0 y + y + = 0 y + = 0 y = 4 + = = 0 = p di cui è accettabile perché non negativa: 4 = + p 4 = q p ; y = = pp e le soluzioni sono due in tutto: z = q! p i pp :. Funzione inversa. Si consideri la funzione f () = e + 4e ; che è invertibile in tutto il suo dominio di de nizione. Scrivere esplicitamente la funzione inversa = g (y) (riportando tutti i passaggi), e determinare il dominio di de nizione di g. 4

35 Risolviamo l equazione y = e + 4e e + 4e ( + y) = 0 e = p y = p 6 + y poiché e > 0; la soluzione p 6 + y non è accettabile, rimane e = + p 6 + y = log + p 6 + y ; che è la funzione inversa cercata. E de nita per 6 + y 0 e p 6 + y >, che porta a 6 + y > 4 y > :. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite). Giusti care i passaggi citando i teoremi utilizzati. lim e n n+ n!+ p e n cos n n sin n + sin n : e n n+ p e = p e e n n+ = p e (n + ) p n e n + 4n p e perché l esponente tende a zero; si è usata la stima asintotica e "n " n con " n! 0: n cos n sin n n + sin n = n cos n sin n n + sin n n dove cos n perché: cos n! ; sin n n Quindi n cos n n sin n + sin n! + 0 = ; n e sin n limitata, perciò sin n n! 0: n sin n + sin n n: In de nitiva, a n p p e n = e 4n 4

36 e questo è il limite cercato. 4. Stima all in nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di f () per! ; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso a ermativo determinandolo. f () = 4p 4 + 4: r f () = jj jj! + 4 con crescita lineare, per!. Cerco eventuale asintoto obliquo. Per! +; " r # 4 f () = = 4 4 e c è asintoto obliquo y = + 4 : Per! ; " r f () + = e c è asintoto obliquo y = 4 : # 4 = 4. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il gra co qualitativo della seguente funzione, utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell insieme di de nizione e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra co eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l andamento all in nito. f () = e jj : De nita per jj 6= ; cioè 6= : Si annulla in = 0; quindi studieremo anche questo punto. Per! ; f () e 0 +! + e = è asintoto verticale da sinistra, punto d arresto a tangente orizzontale da destra, perché la funzione si annulla con velocità esponenziale. 6

37 Per! ; f () e +! 0 e = è asintoto verticale da sinistra, punto d arresto a tangente orizzontale da destra, perché la funzione si annulla con velocità esponenziale. Per! 0; f () quindi la funzione attraversa l origine con tangente y = : Per! ; f () e! con crescita lineare. Cerco eventuale asintoto obliquo. Per! +; f () e = e e = e + e e + =! e e e c è asintoto obliquo y = e Per! ; f () e. e = e + e = e e + e + e c è asintoto obliquo y = e e. Gra co qualitativo non in scala: = e +! e 7

38 6. Derivata e retta tangente. Si consideri la funzione f () = p 6 + p : a. Determinare l insieme di de nizione di f, calcolare la derivata f 0 e sempli care l espressione trovata; determinare l insieme di de nizione di f 0 : b. Scrivere l equazione della retta tangente al gra co di f nel punto di ascissa. a. f de nita per p 6 < < p 6. f 0 () = p 6 ( ) p 6 6 ( ) = = 6 (6 ) = ( ) = ; p p de nita per 6 < < 6, 6= : b. f () = p = p ; f 0 () = 6 () = = p y = f () + f 0 () ( ) y = p + p ( ) y = p p + : 8