Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni

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1 Esercizi proposti 1. Calcolare la derivata prima f () per le seguenti funzioni: a) f() = c) f() = ( b) f() = 1 arctan ) d) f() = cos ( ( + ) 5) e) f() = 1 + sin 1 f) f() = arcsin 1. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni a) f() = 3 b) f() = 3 + c) f() = 5 3. Studiare la derivabilità in = 0 della funzione f() = cos. 4. Verificare che le funzioni a) f() = e 1/ b) f() = arctan(4 ) sono prolungabili con continuità per = 0. Le funzioni f così prolungate risultano derivabili in = 0? 5. Trovare k > 0 tale che i grafici delle funzioni f() = e e g() = k siano tangenti in un punto di ascissa 0 > 0. Utilizzare questo risultato per determinare il numero di soluzioni dell equazione e = k al variare di k > Dire se si può applicare il teorema di Rolle alla funzione f() = 3 nel suo dominio [a, b]. In caso affermativo, determinare i punti c tali che f (c) = Dimostrare che la funzione f() = arcsin +arccos è costante sul suo dominio e determinarne il valore. 8. Studiare la funzione f() = 3 e disegnarne il grafico. Dire per quali valori di k R la funzione g() = f() + k è derivabile in (0, + ). c 006 Politecnico di Torino 1

2 9. Determinare massimo e minimo relativi ed assoluti di f() = su [, 3]. 10. Utilizzando la regola di de l Hopital calcolare a) lim 0 c) lim 1 e) lim + g) lim + 3 log cos ( ) log (arctan arccos 1 ) ( arctan π + 1 ) b) lim 0 + log sin log d) lim 1 ( 1) tan π f) lim 1 + h) lim 0 ± arcsin sin 1 log( + 3 1) ( 1 ) 1+ π 11. Per ogni a R, a 0, sia f() = 3 a log. a) Tracciare un grafico qualitativo della funzione f, e determinare i valori di a per i quali l equazione f() = 0 ammette due soluzioni distinte. b) Determinare i valori di a per i quali f risulta invertibile su tutto il suo dominio. Per tali a calcolare (f 1 ) (3). 1. Determinare dominio, asintoti, intervalli di monotonia, massimi e minimi, e disegnare un grafico qualitativo delle seguenti funzioni: a) f() = 3 4 b) f() = log c) f() = Discutere dominio, asintoti, monotonia e tracciare un grafico qualitativo delle seguenti funzioni: a) f() = ( 4)e b) f() = arctan c) f() = log 3 log c 006 Politecnico di Torino

3 1. a) b) c) d) e) f) ( = ) ( ) 3/ Soluzioni ( ) 1 1 = arctan (1 + ) arctan [( 1 + ) 1 ] ( = ) [ ( log ) 1 ] + 1 [ cos(( + ) 5 ) ] = 10( + ) 4 sin(( + ) 5 ) ( 1 + sin 1 ) = 1 1 cos 1 ( arcsin ) 1 = 0 1,. a) La funzione f() = 1 ha un punto angoloso in = 1, con f ±(1) = ±1. b) La funzione f() = ( 1) = ( 1) ha un punto angoloso in = 0, con f ±(0) = ±1. c) La funzione f() = 5 ha un punto a tangente verticale in = Calcolando le derivate laterali in = 0 si ottiene f ±(0) = 1, quindi f non è derivabile nello zero. 4. a) Si ha lim 0 e 1/ = e = 0. Posto f(0) = 0, si ottiene che f è derivabile nello zero con f (0) = 0, essendo f() f(0) e 1/ lim = lim 0 0 b) Essendo arctan(t) = t + o(t) per t 0, si ha Posto f(0) = 0, si ha = lim t e t = 0. t + arctan( 4 ) + o( ) lim = lim 0 0 = 0. f() f(0) arctan( 4 ) + o( ) lim = lim = lim = Quindi f è derivabile in zero con f (0) = 1. c 006 Politecnico di Torino 3

4 5. Imponendo le condizioni di tangenza tra f() e g() si trova il valore critico k = e 4. Graficamente si vede allora che l equazione e = k ha 1 soluzione per 0 < k < e 4, soluzioni per k = e 4, 3 soluzioni per k > e La funzione f() è definita per [1, ], è continua su [1, ] e derivabile su (1, ) (agli estremi ha tangente verticale). Inoltre si ha f(1) = f() = 0. Le ipotesi del Teorema di Rolle sono dunque soddisfatte. Essendo f () = 3 3, si ottiene c = 3/. 7. Si ha f () = = 0, per ogni nell intervallo ( 1, 1). Dunque f è costante sull intervallo ( 1, 1) per un corollario del Teorema di Lagrange. Essendo continua in [ 1, 1], f è costante su tutto il suo dominio [ 1, 1]. Si calcola facilmente che f() = π. 8. La funzione f è dispari, tende a ± per ±, e ha un punto di massimo e un punto di minimo relativo rispettivamente in = 1 3 e in = 1 3 ). Disegnando la funzione g() = f() + k per alcuni valori di k, ci si rende conto che affinché g sia derivabile in R + è necessario traslare la funzione f() almeno di una quantità k 0 = f( 1 3 ) = 3. Otteniamo così k La funzione f ha minimo assoluto m = 13 = f( 3 ), e massimo assoluto 4 M = 5 = f(3). Il punto = 3 è un punto di minimo relativo, con f(3) = I punti = 1 e = sono punti di massimo relativo (il primo è un punto angoloso) con f(1) = 3, f( ) = a) b) 1 c) 1 d) π e) 1 f) 1 3 g) 1 3 h) 11. a) a > 6e b) a < 0. Essendo f(1) = 3 si ha (f 1 ) (3) = 1 f (1) = 1 6 a. 1. a) Si ha domf = R \ {±}, la funzione è dispari. Le rette = ± sono asintoti verticali, la retta y = è asintoto obliquo completo. I punti = t 1, t sono punti di massimo relativo e i punti = t, t 1 sono punti di minimo relativo, dove t 1 = , t = La funzione è crescente sugli intervalli e decrescente sugli intervalli (, t 1 ), ( t, t ), ( t 1, + ), ( t 1, ), (, t ), ( t, ), (, t 1 ). Il grafico qualitativo della funzione f è mostrato in Figura 1. c 006 Politecnico di Torino 4

5 Figura 1: Grafico della funzione f() = 3 4 b) Si ha domf = (0, + ). La retta = 0 è asintoto verticale, la retta y = 0 è asintoto orizzontale. La funzione ha un massimo relativo e assoluto nel punto = e. La funzione è crescente sull intervallo (0, e), ed è decrescente sull intervallo (e, + ). Il grafico qualitativo della funzione f è mostrato in Figura. Figura : Grafico della funzione f() = log c 006 Politecnico di Torino 5

6 c) Si ha dom f = (, 1] [1, + ). La retta y = 3 è asintoto obliquo destro, la retta y = è asintoto obliquo sinistro. Il punto = 4/3 è un punto di massimo relativo; i punti = ±1 sono punti di minimo relativo. La funzione è crescente sugli intervalli decrescente sull intervallo (, 4/3), (1, + ), ( 4/3, 1). Il grafico qualitativo della funzione f è mostrato in Figura 3. Figura 3: Grafico della funzione f() = a) Si ha domf = R, la funzione è pari. La retta y = 0 è asintoto orizzontale. I punti = ±(1+ 5) sono punti di massimo relativo e assoluto, il punto = 0 è un punto angoloso di minimo relativo e assoluto. La funzione è crescente sugli intervalli (, 1 5), (0, 1 + 5), decrescente sugli intervalli ( 1 5, 0), (1 + 5, + ). Il grafico qualitativo della funzione f è mostrato in Figura 4. c 006 Politecnico di Torino 6

7 Figura 4: Grafico della funzione f() = ( 4)e b) Si ha domf = R \ { 1}. La retta = 1 è asintoto verticale, la retta y = 3 π è asintoto orizzontale destro, la retta y = 3+π è asintoto orizzontale sinistro. Il punto = 0 è un punto di massimo relativo. La funzione è decrescente sull intervallo (0, + ), crescente sugli intervalli (, 1), (1, 0). Il grafico qualitativo della funzione f è mostrato in Figura 5. Figura 5: Grafico della funzione f() = 3+1 arctan (si noti che il grafico di f +1 incontra l asse delle per grande e questo non è evidenziato nella figura) c 006 Politecnico di Torino 7

8 c) Si ha dom f = (0, e ) (e, + ), lim f() = 0, quindi f si può prolungare 0 + per continuità nello zero ponendo f(0) = 0. La retta = e è asintoto verticale. Si ha inoltre lim f() = +, lim + f() + =, lim (f() ) = +, + quindi non c è asintoto obliquo. Il punto = e è un punto di massimo relativo, i punti = 0 e = e 5/ sono punti di minimo relativo. La funzione è crescente sugli intervalli (0, e), (e 5/, + ), decrescente sugli intervalli (e, e ), (e, e 5/ ). Il grafico qualitativo della funzione f è mostrato in Figura 6. log 3 Figura 6: Grafico della funzione f() = log c 006 Politecnico di Torino 8

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