LIMITI E CONTINUITÀ 1 / ESERCIZI PROPOSTI

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1 ANALISI MATEMATICA I - A.A. 03/04 LIMITI E CONTINUITÀ / ESERCIZI PROPOSTI L asterisco contrassegna gli esercizi più difficili. Definizioni di ite e di continuità. Sia k>0un parametro reale fissato. Verificare che le seguenti disuguaglianze sono soddisfatte almeno in un intorno bucato del valore c indicato e riscrivere poi mediante opportune relazioni di ite i risultati ottenuti: a*) <kcon k<, c =... / = b) <k, c =... =0 c) log >k, c =... log =+ d) < k, c =.... Verificare i seguenti iti usando la definizione: a) (3 5) = 3 + b) + =3 c) ( ) =+ d) + ( ) 3 = e) e =0. 0 = 3. Disegnare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni e leggervi il valore dei loro iti agli estremi dei rispettivi intervalli di definizione: a) f () = + b) f () =e c) f 3 () =log d) f 4 () = e. Tramite la definizione di ite, verificare poi i risultati stabiliti per i seguenti iti: f (), f 3 (), f 4 (). 0 + f (), 4. Usando la definizione di continuità di una funzione f in un punto 0,cioè ε > 0, δ ε > 0, dom f, 0 < δ ε f () f ( 0 ) < ε, provare che le seguenti funzioni sono continue su R: a) f () = (funzione identica)...[basta prendere δ ε = ε] b) f () =k con k R (generica funzione costante)....[basta prendere δ > 0 qualsiasi]

2 M.GUIDA, S.ROLANDO 5. Provare che la funzione f () = ècontinuasur. Calcolo di iti. Calcolare i seguenti iti di funzioni razionali: a) [ ] ± 3 +5 b) ± +4 +, c) ± , 7 +5 d) ± 3, ± 3 + e) + 6, ± 3 +5, ± ± , +, [, ] , 0± +3, , 3, f)... + g) Calcolare i seguenti iti di funzioni irrazionali: a) 9 +5,, ± b) ± c) 4 5 5, ± non esiste: non esiste: ± + = ± = ±... [, 0, + ] ±,... ± d*) [4] 6 e) 3 + 3, f) g*),, , 3 ( )..., non esiste: = ± ( ) , + 3. Calcolare i seguenti iti (se esistono), utilizzando i teoremi di confronto: sin a), cos (/) b) 0 + log, sin... [0, nonesiste] e... [0, 0] +cos c) ± + M e (M è la funzione mantissa)...[0] d) ( +cos +sin),... [+, + ] e sin arctan... [± ] e) ± sin f) ± cos, log +cos 0 + log, log +cos log...,,

3 LIMITI E CONTINUITÀ 3 4. Calcolare i seguenti iti (se esistono), utilizzando eventualmente opportune sostituzioni: a), log [, + ] ± b) +, c) e 4 log 4 d) e*) e...[0, 0], arcsin e log... [+, 0]...[+, non esiste] + log 3, 4 3 arctan π tan π + 8 log 3... [ ] f) e sin 3, e 3 arctan (sin )... [, 0] e cos(/) g) 0 sin, e sin sin e, h) i*) e sin...[+,, non esiste] sin e log ( +) log ( +)... log (e +)... [log +sin e] e l) 3e, log m) 0 + 5log, n), + o) log(+3), e + e 5 e , 0 log log( ) +log log... 5,...[0, + ] 0 + log(), p)... ± 0 + log... [0, +,e] =+, =0 5. Determinare, se esistono, i valori di a, b R per cui si ha +4+a + b =0.... a =, b = 6. Calcolare il ite 3 f (), sapendoche f () ( 3) per ogni [0, 5]....[] 7. Calcolare il ite f (), sapendo che f 0 + =3....[3] 8*. Date le funzioni g (y) = y se y = 0 se y =0 e f () = sin, calcolare, se esistono, i iti g (y) e g (f ())....[0; nonesiste] y 0 Perché il teorema di sostituzione non è applicabile?...[non vale la seconda ipotesi: g non è continua in 0 ed f si annulla in ogni intorno di + ] 9. Trovare due funzioni f e g tali che f () =+, g () = e per le quali il ite (f ()+g()) non esista...[ad esempio f () = +sin, g () = ]

4 4 M.GUIDA, S.ROLANDO 0. (controesempi relativi ai teoremi del confronto) Trovare due funzioni f e g che soddisfino f () g () per ogni in un intorno I del tipo specificato e per le quali valgano i iti indicati: a) I = I ( + ), f () = e g () = [ad esempio f () =log( ), g () = f ()] b) I = I (0 ), f () = e g () = ad esempio f () =, g () 3 c) I = I (+ ), f () = g () =...[ad esempio f () =, g () =f ()+] d) I = I (( π) + ), g () =+ e f () = ( π) ( π)... ad esempio f () 5, g () = +π e) I = I ( ), f () = g () =+... Studio della continuità ad esempio f () =, g () =f ()+. Studiare la continuità sul proprio dominio delle seguenti funzioni, einando le eventuali discontinuità einabili e calcolando gli eventuali salti: a) f () =, g() = + b) f () =e +, g () = c) f () =cos d) f () = log + + se 0,= 0 se = se Q h () = 0 se R \ Q, g() = arctan, g() = (funzione di Dirichlet).. Determinare i valori di α R tali che la funzione + se 0 f () = sin ( + α) se <0 sia continua su R. 3. Studiare la continuità nel punto 0 =0della funzione α se <0 f () = β se =0 e β (β ) se >0 al variare di α = 0e β R. arctan se π 4 se >,

5 LIMITI E CONTINUITÀ 5 ALTRE SOLUZIONI. Non sono riportati i risultati che sono impliciti nelle richieste del testo o che si possono facilmente controllare tramite un qualsiasi software matematico (ad esempio quello disponibile sul sito Definizioni di ite e di continuità Esercizio 5. o modo: Per ogni, y R si ha y y (proprietà del valore assoluto). Dunque, fissato 0 R edatoε > 0, se 0 < δ ε = ε allora 0 0 < ε. o modo: Si ha se <0 f () = se 0 per cui f ècontinuasu(, 0) esu(0, + ), dove coincide con le funzioni continue (funzione identica) e (opposta di funzione continua). Infine risulta 0 f () = = =0=f (0) e f () = = ( ) =0=f (0), per cui f è continua anche in 0 (è continua sia da destra che da sinistra). Studio della continuità Esercizio. a) f C ((0, + )); 0 =0punto di discontinuità einabile, prolungamento f () =. g C (R \{}); 0 =punto di discontinuità di salto, [g ()] =. b) f C (R \{0}); 0 =0punto di discontinuità einabile, prolungamento f () se = 0 f () = 0 se =0. g C (R \{,, 0}); 0 = punto di discontinuità einabile, prolungamento g () se =,, 0 g () = ; 0 se = =, =0punti di discontinuità di a specie. c) f C (R \{0}); 0 =0punto di discontinuità di a specie. g C (R \{0}); 0 =0punto di discontinuità di salto, [g ()] 0 = π. d) f C ([0, ) (, + )); 0 =punto di discontinuità einabile, prolungamento f () = +. g C (R); h ha una discontinuità di a specie in ogni punto di R. Esercizio. α = π +kπ, k Z. Esercizio 3. f ècontinuain 0 =0seesoloseβ = e α = ±. Se α = 0, ± e β = α,allora 0 =0è punto di discontinuità einabile. Se α = 0e β = α,allora 0 =0è punto di discontinuità di salto.