210 Limiti. (g) lim. (h) lim. x 3 + ln ; x 3 3. (i) lim. x 2 + ln(x + 2)(x 2) ; (j) lim. 6 (Prodotti di limiti non necessariamente finiti).

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Aldo Gatto
7 anni fa
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1 0 Limiti Diamoci da fare... (Soluzioni a pagina 47) Sia f () =, determinare δ affinché perogni + nell intervallo ( δ, + δ) f () 3 < oppure 0 f () 3 < 000. Dimostrare quindi che + = 3. Dimostrare, utilizzando la Definizione (V.), le Proprietà (V.) (i punti 3,4 e 5) e (V.3). 3 Determinare, giustificando la risposta con la Proprietà (V.): a + a log 0 + a log + a arctan sin cos tan. 4 Sia f è una funzione periodica di periodo T (cioè, per ogni del suo dominio, anche + T appartiene al suo dominio e vale f () = f ( + T)) e supponiamo che esista almeno uno dei due iti f (). Dimostrareche tale ite èfinitoeche f ècostante. 5 Calcolare i iti al finito delle seguenti funzioni continue: (8 3 ) ( 3 + e ) ( ) [ ln( ) + + ] [ ( + 3 4)( )( + ) ] [sin() + + tan ] π 4 ( ) ln ln( + )( ) sin cos. 6 (Prodotti di iti non necessariamente finiti). Sia h() = f () g(). Ragionando come nell Esercizio (V.) verificare che 0 f () =, 0 g() =+ 0 h() =+ 0 f () =+, 0 g() = 0 h() =. 7 (Quozienti di iti non necessariamente finiti). Sia h() = f () g(). Ragionando come nell Esercizio (V.) verificare che 0 f () = 5, 0 g() = 0 h() = 0 0 f () = 0, 0 g() =+ 0 h() = 0. 8 Verificare i seguenti iti infiniti al finito ln( 4) = + =+. 9 Calcolare i seguenti iti al finito: ( ) ( ) log /3 ( ) [ ( 3 )] ln

2 Esercizi (l) (m) (n) ( ) arctan 0 e 0 + ln. 0 Calcolare i seguenti iti all infinito: ( 4 ) log ( ) e Dimostrare che non esistono i iti delle seguenti funzioni quando ( ). Verificare che non esistono i seguenti iti giustificando la risposta: sin + 0 arctan ( + ). 0 3 Ricordando che 0 sin =, 0 tan 0 cos = calcolare i seguenti iti: sin + 0 tan + cos 0 sin π π sin(ln ) ln sin cos + 0 cos 0 sin 5 sin(4) sin( + 3) sin 3 0 cos cos 3 0 sin cos π/ π/ sin(3) + sin 0 tan cos (/) π + cos 3. = e 4 Calcolare i seguenti iti utilizzando l identità a b = e b ln a,quandoa > 0: ( ) + ( ) + + ln( + 3) ( ) ln 0 ( )

3 Limiti 5 Ricordando i iti notevoli ( + ) = e, log a ( + ) a 0 = log a e e 0 = ln a (con a > 0, a ) calcolare i seguenti iti: + ( e ) e + sin 0 e 3 0 e ( ) ln ( + sin ) 3 0 [ln( + ) ln ] + 3 sin 0 ln e e ( ) + + ( + ) k, k R. 0 6 Calcolare il ite delle successioni di cui riportiamo il termine n esimo quando n tende a + : ( )n n 4n n + ( ) 3n + n n n + ( ) 4 + 3sinn n 0 (3 + cos(n)) n. 7 Determinare per quali valori del parametro a le seguenti funzioni sono continue sul loro dominio di definizione: { 5, 0, f () = a, < 0 { + a + a, > 0, h() = +, [, 0] { a +, 3, g() = a, > 3. 8 Per quali valori di α e β la funzione β cos ( ), (, 0), f () = 0, = 0, α sin, (0, ). ècontinuasu(, )? 9 Determinare gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni: f () = 3 3 g() = + e h() = e + e g() = e f () = + 3 f () = ln( + ) h() = g() = + h() = Dimostrare che è possibile prolungare per continuità in = 0 le funzioni: ln( + ), (, 0), f () = e, (0, ] g() = ln h() = e / +. Mostrare che le seguenti funzioni presentano una discontinuità asaltoin = 0 e calcolarne il salto: f () = + + g() = ( + sin ) /. Utilizzando le tecniche apprese nel corso del capitolo, calcolare i seguenti iti: + ( + ) + Licenza edgt rilasciata il 09 ottobre 04 a Carlo Mariconda

4 Esercizi 3 ( ) ( +)/ cot + tan π 4 [ln(sin ) ln(tan + sin )] 0 + ln( + + e ) cos( 3 ) ( ) 0 + (l) (m) 0 cos ln( + ) log cos ( + tan ) cot. 0 Licenza edgt rilasciata il 09 ottobre 04 a Carlo Mariconda

5 47 Soluzioni degli esercizi Soluzioni degli esercizi Fissato ε>0 piccolo a piacere si ha f () f () = + 3 <ε ε 3 < + <ε 3 6 3ε + < + < 6 3ε 9ε + 3ε < < 9ε 3ε. Possiamo quindi scegliere { } 9ε δ = min + 3ε, 9ε 3ε = 9ε + 3ε e ottenere <δ. Questo dimostra che + =, in accordo con la Definizione (V.). In particolare 3 scegliamo δ = 9/3, δ = 9/ se 0 < a <, 0 se a > 0 se 0 < a <, + se a > + se 0 < a <, se a > se 0 < a <, + se a > π non esiste non esiste non esiste. 4 Supponiamo che esista + f (), iniziamo col mostrare che tale ite non può che essere finito. Infatti se fosse + (si ragiona in modo analogo per ), fissato M arbitrariamente grande sarebbe possibile determinare una soglia M per cui f () > M per ogni > M. Scegliendo ad esempio M > f (0) otteniamo che f (kt) > M > f (0) per ogni k Z tale che k > M /T, in contrapposizione con l ipotesi di T periodicità della f ( f (kt) = f (0) per ogni k intero). Dimostriamo ora che se + f () = L, finito, allora f () = L per ogni R. Ancora per assurdo supponiamo che esista 0 tale che f ( 0 ) L e sia η = f ( 0 ) L. Scegliendo ε = η/ la Definizione (V.6) assicura che esiste M tale che f () L <ε per ogni > M, in particolare quindi f () f ( 0 ) per ogni > M, in contrasto con la periodicità di f e π

6 Soluzioni degli esercizi Fissato M > 0 arbitrariamente grande si vuole determinare δ>0 tale che se 0 < <δallora ln( 4) < M. Per farlo consideriamo le disuguaglianze equivalenti alla seconda 4 < e M < e M + 4 < e M + 4 (essendo >, e quindi positivo, abbiamo potuto fare l ultimo passaggio). Abbiamo quindi <δ= e M + 4 > 0. Fissato M > 0 arbitrariamente grande si vuole determinare δ > 0 tale che se 0 < < δ allora / > M. Otteniamo le seguenti disuguaglianze equivalenti alla seconda (possiamo supporre > 0) > M + M M > 0 > M + M 4 + 4M < + M M 4 + 4M = δ>0. 9 non esiste ( se +, + se ) /3 3 (l) 5/ (m) π/ (n) / /3. In base alla Proprietà (V.5) per dimostrare che i iti non esistono è sufficiente mostrare che il ite destro e sinistro sono diversi: il ite destro è 0, quello sinistro + il ite destro è, quello sinistro. il ite assume valori diversi, tra le altre, sulle successioni di termini a n = π/+πn e b n = πn il ite destro vale 0, quello sinistro + il ite destro vale π/, quello sinistro π/ il ite destro vale, quello sinistro. 3 non esiste ( / se 0, / se 0 + ) 0 cos 3 3/ π/ / e e /( ln ) 3/ ln 3 /e /e k , infatti il termine n esimo èsempreminoredi(7/0) n +, infatti il termine n esimo èsempremaggioredi n. 7 a = a = a = /3. 8 La funzione è continua su(, 0) (0, ),affinché lo sia anche in = 0 deve essere l uguaglianza è verificata quando β>0 e α>. 9 = /3 e y = /3 (quando ) y = 0 (se + ) ey = (se ) y = (se + ) ey = (se ) = 0, y = (se )ey = 0 (se + ) = 0, y = y = 0 (quando + ), =, = 0 = 0, y = + y = (quando + ) y = 3 (quando + ), y = (quando ). 0 Si pone f (0) = = 0 + f () = 0 f () si pone f (0) = 0 si pone f (0) =. 0 + f () =, 0 = 0 f (), il salto vale si scrive / sin sin / ( + sin ) / = + sin da cui 0 + f () = e /e = 0 f (), il salto vale e /e. 3 (semplificare + ) se +, se (semplificare ) 0 (semplificare ) / (razionalizzare e semplificare +) (esprimere tutto in sin e cos esemplificaresin + cos ) ln (applicare le proprietà dei logaritmi e semplificare sin ) 0 (scrivere = ln e, applicare le proprietà dei logaritmi e semplificare e ) 0 (scriverlo come prodotto di due frazioni moltiplicando e dividendo per 6, in una delle due porre t = 3, nell altra razionalizzare) / (moltiplicare e dividere per ericondursiaiiti notevoli di coseno e logaritmo) 3 ln (scriverlo 7 come prodotto di due frazioni moltiplicando e dividendo per 3 3, in una delle due porre t = 3 3, nell altra semplificare ) (nell argomento del logaritmo, razionalizzare e semplificare ) (l) /3 (scriverlo come prodotto di due frazioni moltiplicando e dividendo per, in una delle due usare il ite notevole del coseno, nell altra razionalizzare (oppure porre t = eusare l Esercizio 5, ) (m) e (porre cot = t). Capitolo VI 0 β cos (/) = f (0) = 0 = 0 + α sin, Licenza edgt rilasciata il 09 ottobre 04 a Carlo Mariconda

7 Formule trigonometriche Relazioni tra funzioni trigonometriche sin α + cos α = tan α = sin α cos α, cot α = tan α = cos α sin α sec α = cos α, csc α = sin α cos α = + tan α, sin α = tan α + tan α. Trasformazioni delle funzioni trigonometriche sin cos tan cot sin α sin α cos α cos α sin α cos α tan α + tan α + cot α + tan α cot α + cot α tan α sin α sin α cos α cos α tan α cot α cot α sin α sin α cos α cos α tan α cot α

8 Formule trigonometriche Formule di addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione sin cos tan cot α + β sin α cos β + cos α sin β cos α cos β sin α sin β α β sin α cos β cos α sin β cos α cos β + sin α sin β α sinα cos β cos α sin β tan α + tan β tan α tan β tan α tan β + tan α tan β tanα tan β cot α cot β cot β + cot α cot α cot β + cot β cot α cot α cotα α cos α + cos α cos α + cos α + cos α cos α Formule di Werner, di prostaferesi e parametriche sin α + sin β = sin α + β sin α sin β = cos α + β cos α + cos β = cos α + β cos α cos β = sin α + β cos α β sin α β cos α β. sin α β sin α sin β = [cos(α β) cos(α + β)] sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α β)] cos α cos β = [cos(α + β) + sin(α β)]. t = tan α = sin α = t t t, cos α =, tan α = + t + t t.

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