QUINTA LEZIONE (11/11/2009) Argomenti trattati: calcolo di limiti, continuitá di una funzione.

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "QUINTA LEZIONE (11/11/2009) Argomenti trattati: calcolo di limiti, continuitá di una funzione."

Berta Giovannini
6 anni fa
Visualizzazioni

1 QUINTA LEZIONE //9) Argomenti trattati: calcolo di iti, continuitá di una funzione. Esercizi svolti. Calcolo di iti Nello svolgere i seguenti iti daremo per assodato la conoscenza di alcuni iti fondamentali: sin. ). ln + ) ). e ) cos 4. 4) 5. + α ) e α 5) ± 6. + α) e α Calcolare i seguenti iti: Esercizio ) + Il ite si presenta come forma indeterminata +. Razionalizziamo tenendo conto che a b a b)a + b). ) ) ) ) ) ) )

2 dove nell ultimo passaggio abbiamo raccolto a numeratore e denominatore il fattore. Esercizio ) + Il ite si presenta come forma indeterminata +. Razionalizziamo tenendo conto che a b a b)a + ab + b ). ) + + ) + ) + + ) ) + ) + + ) ) ) + + ) ) + ) + + ) ) + ) + + ) +) +) 6 + ) ) +) +) in quanto il primo termine tende a zero poiché il grado del numeratore é minore del grado del denominatore mentre il secondo termine tende a. Esercizio sin 4 sin Il ite si presenta sotto forma indeterminata F.I.. Il trucco é riportarsi ad uno dei iti noti. Abbiamo sin 4 sin sin 4 4 sin )

3 ove abbiamo utilizzato ). Esercizio 4 cos sin Il ite si presenta sotto forma indeterminata F.I.. Abbiamo ) cos sin cos 4 ) sin ove abbiamo utilizzato ) e 4). Esercizio 5 + sin sin Il ite si presenta sotto forma indeterminata F.I.. Raccogliamo una a numeratore e denominatore. Abbiamo + sin sin ove abbiamo utilizzato ). Esercizio 6 e ) + sin sin Il ite si presenta sotto forma indeterminata F.I.. Scriviamo e [ ) e ) ] ) e e e e ove abbiamo utilizzato ). Esercizio 7 ln + ) + Il ite si presenta sotto forma indeterminata F.I.. Riscriviamo il ite in altra forma: ln + ) + ln + ) + ln + ) +

4 ove abbiamo utilizzato ). Esercizio 8 ) sin + Il ite si presenta sotto forma indeterminata F.I.. Per risolvere il ite risulta utile passare al logaritmo. Ricordando che e ln abbiamo: + ) sin e ln+) sin e ln sin +) e ln+) sin e ove abbiamo tenuto conto di ) e ). Esercizio 9 lne + ) e sin ln +) e Il ite si presenta sotto forma indeterminata F.I.. Osserviamo che lne + ) ln e + ) ln e + ln + ) e e + ln + ) ln + ). Pertanto e e lne + ) ln + e ) ove abbiamo tenuto conto di ). Esercizio arctan e ln + ) e e e e Il ite si presenta sotto forma indeterminata F.I.. Conviene operare un cambio di variabile: y tan. Pertanto abbiamo arctan y ove abbiamo usato ). Esercizio cos π π y tan y y y sin y cos y 4

5 Il ite si presenta sotto forma indeterminata F.I.. Conviene operare un cambio di variabile: y π. Pertanto abbiamo π cos π Esercizio arccos π y cosy + π ) y y sin y y Il ite si presenta sotto forma indeterminata F.I.. Conviene operare un cambio di variabile: cos y da cui y arccos. Quando tende a zero, y tende a π. Pertanto abbiamo arccos π y π y π cos y dove abbiamo utilizzato il risultato precedente. Esercizio 5 + cos + Osserviamo che il numeratore é itato mentre é infinitesima + per +. Pertanto si ha 5 + cos + Come ultima nota, faccio osservare che alcuni di questi iti potrebbero essere risolti con altre tecniche piú raffinate e che vedremo piú avanti durante il gruppo studio). Risulta comunque un utile esercizio affrontare quesiti anche complessi.. Continuitá di una funzione ) Detrminare per quali valori del parametro α la funzione { + per f) [] + α per < é continua sull intervallo [, + ) [] denota la parte intera di ). Ovvero il piú grande intero che non supera. Ad esempio [ ] e [ π] 4. 5

6 Ricordiamo che una funzione é continua in un punto se e solo se f) f ) ovvero se ite destro e sinistro coincidono con il valore assunto dalla funzione nel punto. Osserviamo che la funzione é continua in [, + ) escluso al piú lo zero. Poiché f) + + f), + la funzione é continua a destra dello zero. Ora f) [] + α α, la funzione risulta continua a sinistra se e solo se α ovvero α. ) Sia f) { sin ) + ) per > a + per. Determinare a affinché la funzione risulti continua nel suo dominio. La funzione risulta continua in tutti i punti escluso al piú lo zero. Poiché f) a + a + f), la funzione é continua a sinistra dello zero. Ora ) sin ) f) ) sin ) + +, + sin abbiamo razionalizzato e tenuto conto del ite fondamentale ) la funzione risulta continua se e solo se a + ovvero a. ) Determinare per quali valori di α, β R la funzione f) ln + β ) per > cos α arctan per < per risulta continua nel suo dominio. 6

7 Osserviamo che la funzione risulta continua in tutti i punti escluso al piú lo zero. Abbiamo ln + β ) ln β + cos α arctan cos α α α) arctan α arctan dove abbiamo usato 4) e il ite. Pertanto ln β f) ovvero β ± e e α f) ovvero α ±. Esercizi proposti. Calcolo di iti Calcolare i seguenti iti quelli contrassegnati sono leggermente piú impegnativi) cos. π π. π ) ± sin ) ) ) 5. ± + 6. e e + ) 7. e tan cos e ) ) 8. + n

8 . log + sin. +. ± + e sine sin ) ln ln + tan 4 ) 6. e sin4 7. ) 9 + sin ) ) 8. cos sin + 4 cos + 9. Dire se esistono i seguenti iti + sin ) + sin + sin + sin + 6 cos e sin. Continuitá di una funzione. Si consideri la seguente funzione { b per f) ln+) a per ove a R e b R + b > ). Determinare per quali valori di a e b la funzione risulta continua in R. 8

9 . Si consideri la seguente funzione αe + per < α f) per β sin ) per > ove α > e β. Determinare α e β in modo che la funzione risulti continua in.. Si consideri la seguente funzione α sin ) + +sin per > e f) per cos β + per < ove α R e β R. Determinare α e β in modo che la funzione risulti continua in R. 4. Sia ) sin tan f) α Studiare al variare di α R il ite f) e determinare per quali α la funzione é estendibile per continuitá in. 9

Documenti analoghi

LIMITI - ESERCIZI SVOLTI

LIMITI - ESERCIZI SVOLTI ) Verificare mediante la definizione di ite che a) 3 5) = b) = + ) c) 3n n + n+ = + d) 3+ = 3. ) Calcolare utilizzando i teoremi sull algebra dei iti a) 3 + ) b) + c) 0 + d) ±