CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA
|
|
- Severino Brunelli
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia di R quindi può anche essere 0 + o 0 e siano f e g due funzioni reali definite in A le quali siano infinitesime per che tende a 0 : f 0, g Definizione. Diciamo che f e g sono infinitesime per che tende a 0 dello stesso ordine se esistono un numero reale K 0, un intorno V di 0 ed una funzione reale h, definita su V A \ { 0 } e infinitesima per che tende a 0, tali che f g{k + h}, V A \ { 0 } Definizione. Diciamo che f è un infinitesimo per che tende a 0 di ordine superiore a g, oppure g è un infinitesimo di ordine inferiore a f se esiste un intorno V di 0 ed una funzione h definita su V A e infinitesima per che tende a 0 tali che f g h, V A \ { 0 }. Facciamo alcune considerazioni in merito a queste definizioni. Innanzitutto è ragionevole attendersi che accanto alla relazione debba sussistere una analoga relazione in cui f e g sono scambiate di posto. In effetti è così. Supponiamo che valga la relazione ; per le ipotesi fatte {K + h} K 0 0 e quindi esiste un intorno U di 0 tale che K + h 0 U V A \ { 0 } W A \ { 0 } si è posto W U V ; W è ancora intorno di 0. Allora in W A \ { 0 } è definita la funzione e sussiste la relazione K + h K + h K h K[K + h], W A \ { 0}. 3 Da e 3 segue che g f { } K + v W A \ { 0 }
2 h dove, K[K + h] è una funzione definita in W A \ { 0} e infinitesima per che tende a 0. Dalla relazione segue che f si annulla in un punto U A\{ 0 } se e solo se g si annulla in e quindi, in un intorno di 0, f e g sono entrambe diverse da zero oppure hanno gli stessi zeri. Supponiamo che f e g siano diverse da zero in un intorno di 0. In questa ipotesi Proposizione. f e g sono infinitesimi dello stesso ordine per che tende a 0 se e solo se la funzione f g, che è definita in un intorno di 0, è convergente per che tende a 0 ed il ite è un numero reale diverso da 0 f 0 g K 0 4 Questa proposizione è assai utile perchè suggerisce un procedimento semplice per stabilire se due infinitesimi sono dello stesso ordine. La dimostrazione di questa proposizione è elementare. Supponiamo che valga la e supponiamo che in un intorno di 0 sia f 0 e g 0 allora esiste un intorno W di 0 tale che e quindi f g K + h W A \ { 0} 0 f g K 0 Viceversa, supponiamo che f e g siano diverse da 0 in un intorno U di 0 e che valga la??. Per U A possiamo scrivere { } f f g K + g K K + h e quindi f g{k + h} Per l ipotesi 4, la funzione h f g K è infinitesima per che tende a 0. Considerazioni della stessa natura si possono fare in relazione alla Definizione. Supponiamo che f e g siano diverse da zero in un intorno U di 0 e quindi le funzioni f g e g sono definite f per U A \ { 0 }. In tali ipotesi vale la seguente proposizione Proposizione. Condizione necessaria e sufficiente perchè f sia infinitesima di ordine superiore a g è che valga f 0 oppure g 0 g 0 f + 5
3 Infatti se f e g sono diverse da zero in un intorno di 0 e se è vera, allora esiste un intorno W di 0 tale che f g h, W A e quindi 0 f g 0 h 0. Viceversa supponiamo che f e g siano diverse da zero in un intorno U di 0 e che 0 0. Per U A possiamo scrivere f g f g f g g h e la funzione h f g è infitinitesima per che tende a 0. ESEMPIO Consideriamo le funzioni f : sin e g : R ed entrambe infinitesime per che tende a 0. f e g sono infintesime dello stesso ordine, infatti 0 sin ESEMPIO Siano A [, ], f, g. f e g sono infinitesime per 0 e f è infinitesimo di ordine superiore a g; infatti [, ] si può scrivere Altra verifica 0 f g. f g 0 0. ESEMPIO 3 Siano A 0, ], f sin e g. f e g sono infinitesime per che tende a zero ma f e g sono infinitesimi non confrontabili tra loro. Siano f e g due funzioni reali definite in A R, entrambe infinitesime per che tende a 0, e sia α un numero reale positivo. Supponiamo che in un intorno di 0 sia definita la funzione [g] α. Definizione 3. Si dice che f è un infinitesimo per che tende a 0 di ordine α rispetto a g se f e g α sono infinitesimi dello stesso ordine. Se ciò avviene devono esistere una costante K 0, un intorno U di 0 ed una funzione h definita in U A \ { 0 } infinitesima per che tende a 0 tali che f g α [K + h] U A \ { 0 } 6 3
4 o anche 0 f K. 7 [g] α In tal caso diremo che K g α è la parte principale dell infinitesimo f rispetto all infinitesimo all infinitesimo g. Se esistono due numeri K e α che rendono vera la 6 o la 7 essi sono univocamente determinati. ESEMPIO 4 Siano A [0, ], f cos, g. f e g sono infinitesime per che tende a zero f è di ordine rispetto a g e la parte principale di f rispetto a g è. Infatti: 0 cos. Il seguente teorema è molto utile nello studio del ite del rapporto f g nel caso di indeterminazione 0 0. Teorema. Principio di sostituzione degli infinitesimi Siano f, g, F, G quattro funzioni definite in A R e infinitesime per che tende a 0. Supponiamo che f, g, F, G siano diverse da zero in un intorno di 0 e inoltre. F è infinitesimo di ordine superiore ad f,. G è infinitesimo di ordine superiore a g. In tali ipotesi 0 f + F g + G Dimostrazione. Esiste un introno U di 0 tale che L 0 f g L, L R. 8 f 0, g 0, f + F 0, g + G 0, U A \ { 0 }. Per ogni U A \ { 0 } risulta f + F g + G f g + F f. 9 + G g Poiché 0 F f 0 G g 0, si ha che 0 + F f + G g. 0 4
5 Da 9 e 0 segue la tesi. ESEMPIO 5 Si calcoli il ite Poiché è un infinitesimo per 0 di ordine superiore a.. è un infinitesimo per 0 di ordine superiore a, risulta ESEMPIO 6 Siano f + e g + ; f e g definite R. Si calcoli il ite 0 Consideriamo l infinitesimo per h f è di ordine rispetto ad h in quanto 0 f h 0 g è di ordine rispetto ad h in quando 0 g h 0 Ne segue che in 0 sarà f + F, g + G con F e G infinitesimi di ordine superiore a f e g rispettivamente. Conclusione: 0 f g 0. 5
6 . Il simbolo di Landau Siano f, g : A R, A intervallo di R e 0 punto di accumulazione per A. Supponiamo inoltre che f, g siano infinitesime per che tende a 0. Se f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g per che tende a 0 ovvero 0 f g 0 scriveremo f og che si legge f è o-piccolo di g per che tende a 0. Quindi 0 og g 0 ESEMPIO sin o per 0 perché Possimo scrivere quindi 0 sin 0 in quanto 0 sin. sin + o. In maniera analoga si deducono le seguenti eguaglianze per che tende a zero. a a + log a + o perché log a 0 e e + + o perché 0 log + + o perché 0 log + cos + o perché 0 cos tan + o perché 0 tan Analogamente + α + α + o perchè 0 + α α 6
7 Infatti + α e α log α log + + oα log + 0 per il Principio di sostituzione degli infinitesimi α log + α 0 Nel ite sopra abbiamo posto α log+ ed utilizzato lo sviluppo e ++ovedi gli sviluppi, tenuto conto che per 0 si ha che 0. Si osservi che con la scrittura f og non si indica una eguaglianza tra funzioni ma l appartenenza di f ad un insieme di funzioni. Sarebbe quindi più corretto scrivere f og. Ad esempio, scriveremo 3 o, 4 3 o per 0 perché 0 0 e 4 0 0, naturalmente, per quanto osservato sopra, non potremo applicare in questo caso la proprietà transitiva dell uguaglianza e dedurre che le funzioni 3 e 4 sono uguali. Nel calcolo dei iti è utile disporre di alcune regole di calcolo con gli o-piccoli. Riportiamo qui sotto le principali nel caso degli o m per 0. In maniera analoga si procederà negli altri casi. k o n o n 3 o m ± o n o n, n m 4 o n o m o m+n 5 [o n ] m o mn 6 m o n o m+n 7 o n + o n o n 8 Dimostriamo 3 Dimostriamo 4 k o n 0 n k 0 o n n 0 Dimostriamo 5 o n ± o m o n ± om 0 ± om 0 n 0 n n 0 m m n 0 o n o m 0 n+m o n o m o n o m 0 n m 0 n 0 m 7
8 Dimostriamo 6 Dimostriamo 7 Dimostriamo 8 [o n ] m 0 nm m o n 0 n+m o n + o n o n + o n 0 n 0 n + o n [ o n 0 n ] m 0 o n 0 0 n n + o n n 0 + on 0. 0 n 8
9 ESERCIZI SUI LIMITI CALCOLARE IL VALORE DEI SEGUENTI LIMITI DI FUNZIONE arctan π a a a, a, a > 0 a 3 + log [ ] log + log 4 a a a, a > 0 5 sin a + log + log sin sin sin log log log tan sin π arctan arctan π cos cos arctan arctan 4 + arccos 7 0 log + sin cos 8 0+ e sin log cos[log + ] log cos 33 0 cos 3 9
10 34 + sin log e log sin + log cos sin log sin cos e log + cos esin log [log logsin ] 4 0+ e + [log tan 4 log ] 4 0+ sin + 4 [ log log cos ] tan + [log loge ] sin e + log4 3 cos log + sin + arcsin 45 0 log + tan arctan Calcolare al variare di R il valore dei seguenti iti di successioni: 47 n + log cos n n 48 n + 3 n n n 49 n + n log + n 50 n + n sin n 3 5 n + n n 5 n + n n n RISULTATI e 3 e e 4 e log /3 7 log a log a log 3/ a a log a 5 6 e log log log 4/3 9 log log log 4 log 4 4 log 47 per, per > 0 per < 48 + per > 0, per 0, log 3 per < 0 49 per, 0 per <, + per > 50 per 3, 0 per < 3, + per > 3 ; 5 log per < 0, + per > 0, per per, 0 per <. 0
11 Svolgimento Esercizio e3 log+ Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: log+ e3 e 3 log + perchè 0 Svolgimento Esercizio e log+ Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: e log+ e +o e + o Perchè Svolgimento Esercizio e log Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: 0+ + o Perchè Svolgimento Esercizio 4 + e log. 0+ e +o e e3 log3+ Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: 0+ e 3 log3+ 0+ e 3 log[3+ 3 ] 0+ e 3 log 3 +3 log+ 3 e log 7 + +o + 0+ Perchè 0+ + o 0+, mentre e log
12 Svolgimento Esercizio e log3 Posto osserviamo che per + 0+, calcolare il ite proposto equivale a calcolare il seguente: 0+ e log3 0+ e log[3 3 ] 0+ e log 3 +log 3 e log o o Perchè 0+ Svolgimento Esercizio , mentre 3 e log [ ] e log e log e4 Perchè e + 3, mentre per il calcolo del ite relativo + agli altri termini si procede come negli esercizi precedenti. Svolgimento Esercizio 7 Utilizziamo nel ite lo sviluppo della funzione esponenziale vedi gli sviluppi con a e a 3 : 0+ Principio di sostituzione degli infinitesimi + log + o + + log 3 + o 0+ log + log 3 log 6. Svolgimento Esercizio 8 Utilizziamo nel ite lo sviluppo della funzione esponenziale vedi gli sviluppi con a, a 3 e a 4 : 0+ + log log 3 + o + log 3 log 4 + o Abbiamo utilizzato il fatto che o o o. Quindi per il Principio di sostituzione degli infinitesimi: log log 3 0+ log 3 log 4 log 3 log 3. 4 Svolgimento Esercizio 9 Scriviamo il ite proposto nella forma 0+ e log, perché 0+ log 0. Svolgimento Esercizio 0 log Scriviamo il ite proposto nella forma 0, perché 0+ e 0+, vedi Esercizio 9 e 0+ log, quindi il ite assume la forma e che dà 0.
13 Svolgimento Esercizio Imetodo Effettuiamo il seguente cambiamento di variabile: arctan. Quindi per + si ha π, il ite proposto diventa π π tan π π sin cos π π cos, posto z π ed osservato che per π si che z 0, otteniamo z 0 z cos z + π z 0 z sin z. II metodo Scriviamo il ite nella forma seguente + arctan π in modo da ottenere una forma indeterminata, del tipo 0, possiamo applicare il Teorema 0 dell Hospital: Perché + + D arctan π D 0. Esercizio Scriviamo il ite nella forma a aa a a a log a, 0 a 0 +. perchè abbiamo posto a, e per 0, 0, vedi i iti notevoli Esercizio 3 log + { [ log + log ]} + log + log [ log + log + log [ + log + log Si pone log + e si osserva che per + si ha che 0, si può quindi utilizzare log lo sviluppo log + + o. 3 ] ]
14 + log + log Perché log + log + + log + log + log + log o log + + log log + log log + + o log [ log + ] 0 log + log 0. Esercizio 4 I metodo Sviluppo di Talor Osservato che per a si ha che a 0 possiamo utilizzare gli sviluppi dell esponenziale e del logaritmo: a a a a a a a a a a a a a a + o a aa a a a log a + o a a + o a a log a + o a a + o a e a log a a + a log + olog a a a a a a a log a a + + olog [ a a + ] a log a + o a a + o a + a o a + o a a + o a a log a + o a a + o a Tenuto conto delle proprietà 4 e 8 degli o-piccoli ed utilizzando il Principio di sostituzione degli infinitesimi, si ha infine a a a a a log a + o a a + o a a a a a log a a II metodo Teorema dell Hospital, notare in questo caso la differenza!! a a log a. a D a a D sin a a a a a log a cos a a a log a. Esercizio 5 + log + log + + o + o +. Perché per 0+,si applica quindi lo sviluppo del logaritmo vedi. Esercizio 6 Scriviamo l espressione nella forma e sin sin log 0+ 4 sin
15 e consideriamo l argomento dell esponenziale: 0+ sin sin log sin + Il valore del ite assegnato è quindi e. Esercizio 7 0+ sin sin [ sin + o + 0+ ] sin sin o sin sin sin sin log + log + o 0+ + log 4 + o log + o 0+ log log + o log 4 log + o 0 Perché 0+ log + o log 4 log + o 0+ log log Esercizio 8 log + log + o 0+ + log 4 + o log 3 + o 0+ log log + o log 4 log 3 + o log log log 4/3 Perché 0+ log + o log 4 log 3 + o 0+ log log 4/3 log log 4/3. Esercizio 9 0 Esercizio 0 Applicando il teorema dell Hospital si ha 0 log Perché assume la forma
16 Utilizzando invece lo sviluppo della funzione logaritmo, cioè log + + o, con +, si ha o + principio di sostituzione degli infinitesimi Esercizio 0 sin cos sin 4 0 sin cos cos 4 0 sin 4 cos sin Esercizio Poniamo arctan, quindi, in particolare per + si ha che 0+ tan 0+ tan Esercizio 3 arctan Osserviamo che. Infatti basta porre arctan, da cui tan, di 0 conseguenza per 0 si ha che 0. Il ite diventa. Ragionando quindi 0 tan come abbiamo fatto per ottenere gli sviluppi si ha arctan + o. Quindi il ite proposto si può risolvere nel modo che segue cos arctan 0+ + o + o 0+ [ + o ] [ + o] Esercizio 4 Poniamo arccos, da cui cos. Per si ha che 0. Il ite proposto si scrive nella forma cos 0 Esercizio 5. 6
17 Poniamo π. Di conseguenza per π, 0. Il ite si scrive nella forma 0 arctan cos + π 0 arctan sin 0 + o o 0. Perché vedi Esercizio arctan + o. Esercizo 6 Vedi la risoluzione dell Esercizio Esercizio 7 Osserviamo che posto sin dalla scomposizione log+ +o vedi otteniamo log+sin sin +osin. Inoltre tenuto conto che sin +o +o+ o + o, possiamo scrivere log + sin + o + o + o da questa per 8 otteniamo log + sin + o. Di conseguenza il ite proposto diventa 0 + o + o 0 + o + o 0. Esercizio 8 Scriviamo lo sviluppo delle funzioni che compaiono nell espressione vedi ed esercizi precedenti: e sin + sin + osin + + o + o + o + + o. log o + + +o + + +o. Sostituendo: o + + o Esercizio 9 Scriviamo lo sviluppo delle funzioni che compaiono nell espressione vedi ed esercizi precedenti: log + + o coslog + cos + o + o + o + o 4 + o 4 + o 4 + o o4 Perché o4 + o 4 + o 4 o 4 + o 4 o 4. Sostituiamo nel ite: o Esercizio 30 7
18 e log Perché il ite assume la forma e in quanto Eseercizio 3 Osserviamo che log, si tratta di una forma + e log+ + log + + o log + + [ + o] + o[ + o] + + o + o + o + + o + o + + o Sostituamo nel ite o 0. Esercizio 3 Osserviamo che log cos log Sostituiamo nel ite [ + o 0 ] +o +o +o +o +o +o. + o 0. Esercizio 33 Tenuto conto che ] cos e logcos + logcos + o logcos + log [ + o + ] ] [ ] +o log [ + o + [ + o + o + o sostituamo nel ite 3 + o3 + o 3 + o o3 + o o3, o
CORSO DI LAUREA IN FISICA
CORSO DI LAUREA IN FISICA ANALISI MATEMATICA I BREVI RICHIAMI DELLA TEORIA DEI LIMITI. Confronto di infinitesimi. Sia A sottoinsieme di R, sia 0 punto di accumulazione di A nella topologia di R quindi
DettagliCORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCIZI SUI LIMITI 2
CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA ESERCITAZIONI DI ANALISI MATEMATICA I ESERCIZI SUI LIMITI CALCOLARE IL VALORE DEI SEGUENTI LIMITI sine 4 log e e sin e 5 tan sin 5 7 tan 9 sin + e e + 4 6 8 + 0 n + log +
DettagliForme indeterminate e limiti notevoli
Forme indeterminate e iti notevoli Limiti e continuità Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Teorema di sostituzione Limiti notevoli Altre forme indeterminate 2 2006 Politecnico di Torino
DettagliLIMITI - ESERCIZI SVOLTI
LIMITI - ESERCIZI SVOLTI ) Verificare mediante la definizione di ite che a) 3 5) = b) = + ) c) 3n n + n+ = + d) 3+ = 3. ) Calcolare utilizzando i teoremi sull algebra dei iti a) 3 + ) b) + c) 0 + d) ±
DettagliEsercitazione di AM120
Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Esercitazione di M0.. 07 08 - Esercitatore: Luca Battaglia Soluzioni dell sercitazione 3 4 del 4 Marzo 08 rgomento: Derivate, Massimi e minimi,
DettagliConfronto asintotico.
AMA Ing.Edile - Prof. Colombo 1 Esercitazioni: Francesco Di Plinio - francesco.diplinio@libero.it Le soluzioni (complete) delle esercitazioni 5 e 6 saranno disponibili online a partire da lunedì. Confronto
DettagliAnalisi Matematica 1 Soluzioni prova scritta n. 1
Analisi Matematica Soluzioni prova scritta n Corso di laurea in Matematica, aa 008-009 5 giugno 009 Sia a n la successione definita per ricorrenza: a n+ 3 a n a 3 n, a 3 a n+ 3 a n a 3 n, a 3 a n+ 3 a
DettagliANALISI MATEMATICA I-A. Prova scritta del 1/9/2009 TUTTE LE RISPOSTE DEVONO ESSERE MOTIVATE
ANALISI MATEMATICA I-A CORSO DI LAUREA IN FISICA Prova scritta del /9/009 TUTTE LE RISPOSTE DEVONO ESSERE MOTIVATE ESERCIZIO. Punti 8 Risolvere la seguente equazione nel campo complesso w 6 w 64 = 64 3
DettagliInfinitesimi e loro proprietà fondamentali. Molto spesso il calcolo dei limiti conduce allo studio di forme indeterminate. lim f(x) = 0.
Infinitesimi e infiniti - B. Di Bella Infinitesimi e loro proprietà fondamentali Molto spesso il calcolo dei iti conduce allo studio di forme indeterminate del tipo 0 0,. Occorre quindi studiare i modi
Dettagli19 LIMITI FONDAMENTALI - II
19 LIMITI FONDAMENTALI - II 3. Il ite che permette il calcolo di forme indeterminate in cui sono presenti funzioni logaritmiche è: log1 + = 1. La dimostrazione di questo ite si ha subito dal ite Esempio.
DettagliANALISI MATEMATICA II-A. Prova scritta del 29/1/2010 TUTTE LE RISPOSTE DEVONO ESSERE MOTIVATE
ANALISI MATEMATICA II-A CORSO DI LAUREA IN FISICA Prova scritta del 9//00 TUTTE LE RISPOSTE DEVONO ESSERE MOTIVATE Esercizio.(Punti 6) Calcolare il valore del seguente ite 0+ e cos. Esercizio.(Punti 6)
Dettaglilim Ricordiamo le seguenti de nizioni: Siano e funzioni in nitesime per! + 0 esia non nulla in un intorno destro di 4, se a] lim lim
Esercizi Proposti - 4 Gli o-piccoli - prima parte In queste note con il termine innitesimo per! +, indichiamo una funzione reale (non necessariamente continua) denita in un intorno aperto di con la proprietà
DettagliEsercizi di Analisi Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 00/ Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica e TWM Esercizi di Analisi Matematica Esercizi sul primo semestre del
DettagliAnalisi Matematica per Informatici Esercitazione 9 a.a
Analisi Matematica per Informatici Esercitazione 9 a.a. 006-007 Dott. Simone Zuccher 0 Febbraio 007 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore
Dettaglif(x) lim x c g(x) = lim x c f(x) lim x c g(x)
Matematica I, 10.10.2012 Limiti di funzioni (II) 1. Limiti e Operazioni Algebriche L operazione di ite di successioni si comporta bene rispetto alle operazioni algebriche di somma (e sottrazione), prodotto
DettagliUNIVERSITA DEL SALENTO CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I 19/01/09
UNIVERSITA DEL SALENTO Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I 19/01/09 1 Determinare sup/inf max/min) e insieme dei punti di accumulazione del seguente insieme: E = {x R e x 5e x + 6) arctan x 1 x) < 1}
DettagliAnalisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 09 a.a
Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 09 a.a. 2007-2008 Dott. Simone Zuccher 3 Gennaio 2008 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I. Prova scritta del 8 Gennaio 2014
Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I Prova scritta del 8 Gennaio 214 Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile. (1) (Punti 8)
DettagliAlgebra dei limiti. quando l espressione a secondo membro è definita (non si hanno forme indeterminate), si ha. lim. f (x)
Algebra dei limiti Teorema. Se lim f () = l R e lim g() = m R, allora, 0 0 quando l espressione a secondo membro è definita (non si hanno forme indeterminate), si ha lim (f () + g()) = lim f () + lim g()
DettagliM174sett.tex. 4a settimana Inizio 22/10/2007. Terzo limite fondamentale (sul libro, p. 113, è chiamato secondo ) lim x 1 x 0 x
M74sett.te 4a settimana Inizio 22/0/2007 Terzo ite fondamentale (sul libro, p. 3, è chiamato secondo ) e 0 =. La tangente al grafico nel punto (0,0) risulta y = (vedremo poi perché). Ricordare che e è
DettagliCORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 11/03/2013
CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI /0/0 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO ESERCIZIO: Sia 0 R e. Il Polinomio di Taylor I A 0 := {f : U f,0 R : U f,0 è un intorno di 0, f è continua in U f,0 },
DettagliConfronto locale di funzioni
Confronto locale di funzioni Equivalenza di funzioni in un punto Sia A R ed f, g due funzioni definite in A a valori in R. Sia x 0 R un punto di accumulazione per A. Definizione. Si dice che f è equivalente
DettagliEsercizi con soluzioni dell esercitazione del 31/10/17
Esercizi con soluzioni dell esercitazione del 3/0/7 Esercizi. Risolvere graficamente la disequazione 2 x 2 2 cos(πx). 2. Determinare l insieme di definizione della funzione arcsin(exp( x 2 )). 3. Trovare
DettagliESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 1, FOGLIO 5 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO
ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA, FOGLIO 5 LAUREA IN INGEGNERIA TLC., INFO. E ORG. UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TRENTO prof. F. Serra Cassano, F. Bigolin Limiti di funzioni Esercizio. (Polinomi) Sia f() un
DettagliEsercitazioni di Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +
Dettagli1 - CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU
- CONFRONTO LOCALE: I SIMBOLI DI LANDAU Nello studio del comportamento di una funzione vicino ad un punto x 0, dopo aver visto se la funzione ammette ite (finito, nullo o infinito), per x x 0, può interessare
DettagliMATEMATICA MATEMATICA FINANZIARIA
MATEMATICA e MATEMATICA FINANZIARIA a.a. 7-8 Corso di laurea in Economia Aziendale Fascicolo n. Limite di funzioni e applicazioni. Limite di una funzione Funzioni continue Calcolo dei iti Asintoti Prof.ssa
DettagliSoluzioni degli Esercizi per il Corso di Istituzioni di Matematica. x2 1 x x + 7 ; d) f (x) =
Soluzioni degli Esercizi per il Corso di Istituzioni di Matematica 1 La retta tangente al grafico di f nel punto ( 0, f( 0 ha equazione y = f( 0 + f ( 0 ( 0. a y = 2; b y = log 2 (e( 1; c y = 1 2 + 1 4
DettagliRisoluzione del compito n. 4 (Giugno 2014)
Risoluzione del compito n. 4 Giugno 2014) PROBLEMA 1 Determinate le soluzioni z, w), con z, w C,delsistema { z = w 2 w i Dalla prima equazione ricaviamo 2iz +4i z = w 2. che sostituito nella seconda la
DettagliCorso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli
Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 08/9 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli 7 foglio di esercizi - 7 novembre 08
DettagliAnalisi Matematica I modulo Soluzioni prova scritta preliminare n. 2
Analisi Matematica I modulo Soluzioni prova scritta preinare n 2 Corso di laurea in Matematica, aa 2004-2005 22 dicembre 2004 1 (a) Calcolare il seguente ite A******* ( ) n 2 n 2 + n n 1 n + 2n 2 Soluzione
DettagliLIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione
LIMITI - CONFRONTO LOCALE Test di autovalutazione 1. Per 0 le funzioni 1 cos e sin (a) sono infinitesime dello stesso ordine (b) 1 cos è infinitesima di ordine inferiore (c) 1 cos è infinitesima di ordine
DettagliLimiti di funzioni. Hynek Kovarik. Università di Brescia. Analisi Matematica 1
Limiti di funzioni Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi Matematica 1 1 / 38 Cenni di topologia La nozione di intorno
DettagliFunzioni continue. quando. se è continua x I.
Funzioni continue Definizione: f() si dice continua in 0 D f quando (*) 0 f () f ( 0 ) Definizione: f() si dice continua in I D f se è continua I. Avevamo già dato questa definizione parlando del f ().
DettagliLA FORMULA DI TAYLOR
LA FORMULA DI TAYLOR LORENZO BRASCO Indice. Definizioni e risultati. Sviluppi notevoli 3.. Esponenziale 4.. Seno 4.3. Coseno 4.4. Una funzione razionale 5.5. Logaritmo 6 3. Esercizi 6. Definizioni e risultati
DettagliLimiti. Limite di una funzione per x che tende a +,.
Limiti. Limite di una funzione per che tende a +,. Semiintorni. Fissati su una retta un primo ed un diverso secondo punto, consideriamo l identificazione sopra descritta dei numeri reali con punti sulla
DettagliEsercizi di Analisi Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 0/3 Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Informatica e TWM Esercizi di Analisi Matematica Esercizi del 0 ottobre 0 La sottrazione
DettagliIstituzioni di Matematiche Modulo A (ST)
Istituzioni di Matematiche Modulo A ST) V I foglio di esercizi ESERCIZIO. Si calcoli + sin t) dt t cos t + log + t))dt e + tg t + e t )dt cos t dt t. Calcoliamo il primo dei due. Si tratta di un ite della
DettagliESERCIZI SUI PUNTI DI DISCONTINUITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME
ESERCIZI SUI PUNTI DI DISCONTINUITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME a cura di Michele Scaglia FUNZIONI CONTINUE Sia f : domf R una funzione e sia x 0 domf (esista cioè f(x 0 ) R) Possono verificarsi due casi: il
DettagliCapitolo Sesto INFINITI E INFINITESIMI
Capitolo Sesto INFINITI E INFINITESIMI. ORDINI DI INFINITO DEFINIZIONE. Sia data una funzione f: E( Â) Â e sia α ( Â {, +, - }) di accumulazione per E. Diremo che f è infinita per che tende ad α, o, brevemente,
DettagliLimiti di funzione - svolgimenti
Limiti di funzione - svolgimenti Useremo la notazione f f g per 0 0 g =. Inoltre ricordiamo la definizione di o piccolo: f f = og f è o piccolo di g per 0 0 g =0. Dalla definizione abbiamo subito: og+og
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del
ANALISI MATEMATICA Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del 3..7 TEMA Esercizio Calcolare l integrale log(3) 4 dx Svolgimento. Si ha log(3) 4 dx = (ponendo ex = t, per cui dx = dt/t) e = 4 3
DettagliCorso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli
Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 07/8 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli 7 foglio di esercizi - 8 novembre 07
DettagliSVILUPPI DI TAYLOR Esercizi risolti
Esercizio 1 SVILUPPI DI TAYLOR Esercizi risolti Utilizzando gli sviluppi fondamentali, calcolare gli sviluppi di McLaurin con resto di Peano delle funzioni seguenti fino all ordine n indicato: 1. fx log1
DettagliStudio Qualitativo di Funzione
Studio Qualitativo di Funzione Reperire un certo numero di informazioni per descrivere a livello qualitativo l andamento del grafico di una funzione f 1. campo di esistenza (cioè, l insieme di definizione)
DettagliInfiniti e infinitesimi col simbolo di Laudau
E Infiniti e infinitesimi col simbolo di Laudau Nel capitolo dedicato ai iti abbiamo osservato che, quando esiste, il ite del rapporto di due successioni entrambe divergenti o entrambe infinitesime può
DettagliFunzioni Continue. se (e solo se) 0
f : A R R A ' Funzioni Continue La funzione f si dice continua in f ( f ( se (e solo se A Ne seguono tre proprietà affinché f( sia continua in :. Devono esistere finiti il ite destro e sinistro di f( in.
Dettagli(g(x) = 0 vicino a c)
Lezione del 15 ottobre. Limiti di funzioni. Calcolo di iti. 1. Sia dato un punto c R; per ciascun numero reale positivo δ > 0, l insieme dei punti che distano da c per meno di δ, cioe l intervallo ]c δ,
DettagliQUINTA LEZIONE (11/11/2009) Argomenti trattati: calcolo di limiti, continuitá di una funzione.
QUINTA LEZIONE //9) Argomenti trattati: calcolo di iti, continuitá di una funzione. Esercizi svolti. Calcolo di iti Nello svolgere i seguenti iti daremo per assodato la conoscenza di alcuni iti fondamentali:
DettagliPolitecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria
Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@poi.it Limiti di derivate. Punti angolosi e di cuspide. Ottobre 2012 Indice 1 Limiti della derivata e punti di non
DettagliCorso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli
Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 06/7 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli foglio di esercizi - ottobre 06 iti.
DettagliArgomento 6 Derivate
Argomento 6 Derivate Derivata in un punto Definizione 6. Data una funzione f definita su un intervallo I e 0 incrementale di f in 0 di incremento h = 0 = il rapporto I, si chiama rapporto per = 0 + h =
Dettagli1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile
1 Limiti e continuità per funzioni di una variabile Considerazioni introduttive Consideriamo la funzione f() = sin il cui dominio naturale è R\ {0}. Problema: non è possibile calcolare il valore di f per
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliIl limite che permette di trattare limiti al finito in cui è presente. e x 1. lim. Questo limite si ottiene subito dal precedente, scrivendo
57 Lezioni 17-18 Il ite che permette di trattare iti al finito in cui è presente un esponenziale è e 1 =1. Questo ite si ottiene subito dal precedente, scrivendo e 1=y, = log(1 + y, per cui e 1 y = y 0
DettagliMatematica II prof. C.Mascia
Corso di laurea in CHIMICA INDUSTRIALE Sapienza, Università di Roma Matematica II prof CMascia alcuni esercizi, parte, 7 marzo 25 Indice Testi degli esercizi 2 Svolgimento degli esercizi 4 Testi degli
DettagliCorso di Laurea in Scienze Biologiche Prova scritta di Matematica del 26/01/2007
Corso di Laurea in Scienze Biologiche Prova scritta di Matematica del 6/0/007 COGNOME NOME MATRICOLA 3 sin( ) e 3 + ) Determinare ( cos()) Possibile svolgimento Il ite proposto si presenta nella forma
DettagliAM210 - Analisi Matematica 3: Soluzioni Tutorato 1
AM210 - Analisi Matematica 3: Soluzioni Tutorato 1 Università degli Studi Roma Tre - Dipartimento di Matematica Docente: Luca Biasco Tutori: Patrizio Caddeo, Davide Ciaccia 19 ottobre 2016 1 Se z = (1
DettagliLimiti e continuità. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 1 / 68
Limiti e continuità Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Limiti e continuità Analisi A 1 / 68 Cenni di topologia La nozione di intorno Sia x 0 R e r > 0.
DettagliESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME
ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME a cura di Michele Scaglia FUNZIONI DERIVABILI Sia f : domf R una funzione e sia 0 domf di accumulazione per domf Chiamiamo derivata prima di
DettagliEsercitazione n 2. 1 dx = lim e x + e x ω. t dt t=ex = [arctan t]eω 1 = arctan(e ω ) arctan 1. (1 + x) dx = ε ε.
Esercitazione n Integrali impropri Esercizio : Calcolare d. e +e Sol.: Dalla definizione di integrale improprio Allora e + e Dunque e + e ω e e ω e + d e + e t + dt t=e = arctan t]eω = arctane ω arctan
Dettagli13 LIMITI DI FUNZIONI
3 LIMITI DI FUNZIONI Estendiamo la nozione di ite a funzioni reali di variabile reale. Definizione caratterizzazione per successioni) Si ha fx) = L x 0, L R) se e solo se per ogni successione a n x 0 con
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 14 gennaio 2017 Fila 1.
Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del gennaio 207 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 6) Determinare
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 24 luglio 2018
Corso di Laurea in Ingegneria delle Telecomunicazioni ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 4 luglio 08 Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 5)
DettagliStudio qualitativo del grafico di una funzione
Studio qualitativo del grafico di una funzione Obiettivo: ottenere informazioni per descrivere qualitativamente l andamento del grafico di una funzione f campo di esistenza (cioè, l insieme di definizione)
DettagliQuando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R x 0 R è punto di accumulazione per dom(f).
Teoremi sui iti Quando non espressamente detto, intendiamo che: f : R R 0 R è punto di accumulazione per dom(f). Teorema di unicità del ite. Supponiamo che f ammetta ite l (finito o infinito) per 0. Allora
DettagliCorso di Analisi Matematica Limiti di funzioni
Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei
DettagliSeconda prova in itinere di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano. A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.
Seconda prova in itinere di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 5/6. Prof. M. Bramanti Tema n 3 5 6 Tot. Cognome e nome (in stampatello) codice persona (o n
DettagliCAPITOLO VI LIMITI DI FUNZIONI
CAPITOLO VI LIMITI DI FUNZIONI. CONCETTO DI LIMITE Esula dallo scopo di questo libro la trattazione della teoria sui iti. Tuttavia, pensando di fare cosa gradita allo studente, che deve possedere questa
DettagliDERIVATE pag Calcolo della derivata prima [ ] [ ] [ ] ( ) ( 1. ( x x 1) f () x = x. xcos
Calcolo della derivata prima.0. f = 5 + 5 7.0. f sin +.0. f = log.0. f = log DERIVATE pag. = 5 ] 6 = f ' = cos + 7 [ ] f ' = f ' = f ' = cos sin = cos [ ].0.5 f = sin cos.0.6 ( f = )( + ) = 0 + 6 ].0.7
DettagliCapitolo 8. - Soluzioni
Capitolo 8. - Soluzioni 8. Basta applicare la formula di passaggio da un sistema di misura all altro. a) π 6 ; b) π; c) π; d) π 8 ; e) π ; f) π; g) 5 π; h) π 5 5 ; i) 8π; j) 8 π; k) 55 8 π; l) ; m) 6 ;
Dettagli41 POLINOMI DI TAYLOR
4 POLINOMI DI TAYLOR DERIVATE DI ORDINI SUCCESSIVI Allo stesso modo della derivata seconda si definiscono per induzione le derivate di ordine k: la funzione derivata 0-ima di f si definisce ponendo f (0
DettagliR. Capone Analisi Matematica Limiti di una funzione reale di variabile reale ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONE ( )
Esercizio proposto N 1 Verificare che ESERCIZI SUI LIMITI DI FUNZIONE Si ricordi la definizione di ite finito in un punto: Pertanto, applicando la definizione al caso concreto, si ha: o, ciò che è lo stesso:
DettagliSOLUZIONI ESERCIZI ASSEGNATI LEZIONI Contents 1. SOLUZIONI ESERCIZI LEZIONI SOLUZIONI ESERCIZI LEZIONI
SOLUZIONI ESERCIZI ASSEGNATI LEZIONI 7-8-9-0 Contents. SOLUZIONI ESERCIZI LEZIONI 7 8 9 0. B] Dispense a cura del docente.. SOLUZIONI ESERCIZI LEZIONI 7 8 9 0. ESERCIZI: Calcolare i seguenti iti al variare
DettagliLEZIONI Dispense a cura del docente Teorema degli Zeri e Teorema di Weierstrass.
LEZIONI 8-9-0 Contents 8.4. Teorema degli Zeri e Teorema di Weierstrass 95 8.5. Ulteriori nozioni sui iti di funzioni. 0 8.6. Asintoto obliquo. 07 8.7. Funzione Inversa. Continuità della funzione inversa.
DettagliLimiti di funzioni di una variabile
Capitolo 6 Limiti di funzioni di una variabile 6.1 Limiti all infinito La definizione di ite data per le successioni si può immediatamente trasportare al caso di una funzione definita in un qualunque insieme
DettagliSuccessioni numeriche
Successioni numeriche Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni Analisi A 1 / 35 Definizione Una successione a valori reali è una funzione f : N R
DettagliContinuità di funzioni
Continuità di funzioni Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 2 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva
DettagliCorso di Analisi Matematica. Comportamenti asintotici
a.a. 2013/2014 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Comportamenti asintotici Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli
DettagliSuccessioni numeriche (II)
Successioni numeriche (II) Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Successioni (II) Analisi A 1 / 52 Forme indeterminate associate a funzioni razionali fratte:
Dettagli1 Successioni di funzioni
Successioni di Esercizio.. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di (.) f n (x) = n x Osserviamo che fissato x R f n(x) = + n x x R. x ( n + x ) = pertanto la successione
DettagliCorrezione del secondo compitino di Analisi 1 e 2 A.A. 2014/2015
Correzione del secondo compitino di Analisi e 2 AA 20/205 Luca Ghidelli, Giovanni Paolini, Leonardo Tolomeo febbraio 206 Esercizio Testo Dire per quali valori del parametro reale α, < α 3, la funzione
DettagliFunzioni continue. Hynek Kovarik. Università di Brescia. Analisi Matematica 1
Funzioni continue Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Funzioni continue Analisi Matematica 1 1 / 44 Funzioni continue Definizione Siano f : A
DettagliANALISI MATEMATICA. Prova scritta del 20/12/ FILA 1
ANALISI MATEMATICA CORSO C - CdL INFORMATICA Prova scritta del 0//004 - FILA ESERCIZIO Studiare la funzione f(x) log x log x determinando in particolare a) campo di esistenza ed eventuali asintoti; b)
DettagliVerso il calcolo dei limiti: alcuni risultati generali
Verso il calcolo dei iti: alcuni risultati generali Ci proponiamo adesso di enunciare e dimostrare alcuni fatti di per sé piuttosto intuitivi, che trovano una giustificazione grazie al concetto di ite.
Dettagli1.3. Se esistono i limiti sinistro e destro della funzione in un punto, allora esiste anche il limite della funzione nel punto stesso.
Esercitazione 8 Novembre 018 1. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false. 1.1. Se una funzione f(x) è definita in un intervallo aperto (a, b), ha senso chiedersi se esistono
Dettaglivuol dire che preso M > 0 sufficientemente grande, esiste δ = δ(m) > 0 tale per cui x 1 > M lim
AMA Ing.Edile - Prof. Colombo Esercitazioni: Francesco Di Plinio - francesco.diplinio@libero.it Limiti - Soluzioni. Esercizio 5.2. ii) Dire che x 5 x + x = +, vuol dire che preso M > 0 sufficientemente
DettagliCorso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli
Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 207/8 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli 4 foglio di esercizi - ottobre 207
DettagliProve scritte di Analisi I - Informatica
Prove scritte di Analisi I - Informatica Prova scritta del 3 gennaio Esercizio Stabilire il comportamento delle seguenti serie: n= n + 3 sin n, n= ( ) n n + 3 sin n, n= (n)! (n!), n= n + n 9 n + n. Esercizio
DettagliLimiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti
Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)
DettagliUniversità degli Studi di Palermo Facoltà di Economia. Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche. Appunti del corso di Matematica
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali e Statistiche Appunti del corso di Matematica 09 - Derivate II Limiti di forme indetermate e derivate
DettagliA Analisi Matematica 1 (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica e Bioinformatica) Firma dello studente Tempo: 3 ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
Dettagli210 Limiti. (g) lim. (h) lim. x 3 + ln ; x 3 3. (i) lim. x 2 + ln(x + 2)(x 2) ; (j) lim. 6 (Prodotti di limiti non necessariamente finiti).
0 Limiti Diamoci da fare... (Soluzioni a pagina 47) Sia f () =, determinare δ affinché perogni + nell intervallo ( δ, + δ) f () 3 < oppure 0 f () 3 < 000. Dimostrare quindi che + = 3. Dimostrare, utilizzando
DettagliGli intervalli di R. (a, b R, a b)
Deinizione (Funzione continua (A.Cauchy, 180)) Siano D R una unzione, D R, x 0 D. Si dice che è continua nel punto x 0 D, se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 per il quale è soddisatta questa condizione:
Dettagliallora f (x) f (x 0 ) < ε D f R si dice continua, se è continua in ogni punto del suo dominio D. In simboli, D R è continua in x 0 D se:
Deinizione (Funzione continua (A.Cauchy, 180)) Siano D R una unzione, D R, x 0 D. Si dice che è continua nel punto x 0 D, se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 per il quale è soddisatta questa condizione:
DettagliISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA Commissione P. Mannucci, A. Sommariva, a.a Corsi di laurea in Scienze Statistiche
ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA Commissione P. Mannucci, A. Sommariva, a.a. 4- Corsi di laurea in Scienze Statistiche 4 febbraio TEMA Esercizio 8 punti) Si consideri la funzione ) e f) = arctan e a)
DettagliDerivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara
Derivazione Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)
Dettagli2 + 2(seny) 2 per (x, y) (0, 0),
Analisi II, a.a. 017-018 Soluzioni 1) Sia f la funzione di due variabili definita da xy α (senx) + (seny) per (x, y) (0, 0), 0 in (0, 0) dove α 0 è un parametro reale fissato. Determinare l insieme di
Dettagli