Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I. Prova scritta del 8 Gennaio 2014

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura ANALISI MATEMATICA I Prova scritta del 8 Gennaio 214 Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile. (1) (Punti 8) Studiare il comportamento della seguente successione e calcolarne il ite: a = a n+1 = a n + 4, n N. 2) (Punti 8) Data la funzione f(x) = 5x 9x 2 4, determinare: (a) campo di esistenza, comportamento agli estremi del c.e., eventuali asintoti; (b) eventuali punti di massimo o di minimo relativo, intervalli di monotonia; (c) intervalli di concavità o convessità. Tracciare un grafico approssimato di f. () (Punti 8) Calcolare il valore del seguente ite x + sin x 2 sin x 2 log(1 + 2x 2 ) 2 log(1 + x 2 ) (4) (Punti 8) Calcolare il seguente integrale 1 arctan( 1 + x) dx. 1

2 RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI. (1) (Punti 8) Studiare il comportamento della seguente successione e calcolarne il ite: a = a n+1 = a n + 4, n N. Svolgimento La successione è ben definita in quanto ciscuno dei suoi termini è positivo e quindi la radice quadrata non perde di significato. Osserviamo che è monotona crescente procedendo per induzione. a 1 = 2 > = a. Verifichiamo l induttività della proposizione, ossia, Infatti: a n 1 < a n = a n < a n+1. a n = a n < a n + 4 = a n+1 a n < a n + 4 a n 1 < a n. Per il teorema di regolarità delle successioni monotone, la successione ammette dunque ite. Se L è un numero reale dovrà risolvere l equazione seguente ottenuta passando al ite nell equazione ricorsiva: L = L + 4 L 2 L 4 =. Le soluzoni sono L 1 = 1 e L 2 = 4. L 1 non puó essere il ite perché non è punto di accumulazione per la successione dato che questa è sempre positiva. Sappiamo invece che se L 2 fosse il ite cercato si dovrá avere L 2 = supa n, n N In definitiva se riusciamo a provare questo, allora abbiamo provato che a n = 4, n + perché, per il citato teorema, una successione monotona e itata ha ite reale. Dimostriamo quindi che per ogni n N abbiamo a n < 4 procedendo per induzione. Infatti a < 4, mentre l iduttivitá dalle seguenti considerazioni 2) (Punti 8) Data la funzione a n+1 = a n + 4 < 4 a n + 4 < 16 a n < 4. determinare: f(x) = 5x 9x 2 4, 2

3 (a) campo di esistenza, comportamento agli estremi del c.e., eventuali asintoti; (b) eventuali punti di massimo o di minimo relativo, intervalli di monotonia; (c) intervalli di concavità o convessità. Tracciare un grafico approssimato di f. Svolgimento. Il campo di essitenza della funzione è determinato dai valori di x che rendono reale la radice quadrata ossia 9x 2 4. Quindi C.E. = { x : x 2 } 2 oppure x. Determiniamo il comportamento della funzione agli estremi del dominio. Per x che tende a piú infinito il ite si presenta nella forma indeterminata + che risolviamo mediante il seguente artificio algebrico. f(x) = x + x + 16x = x + 5x + 9x 2 4 = +. Oppure, più semplicemente: f(x) = x x + x + 5x 9x 2 4 5x + 9x (5x + 9x 2 + 4) = ( x 2 ) = + 2 = +. Vediamo se la funzione ammette asintoto obliquo del tipo y = mx + q, per x che tende a +. m = x + f(x) x = x x 2 = 2 q = f(x) mx = f(x) 2x = x 9x 2 4 = x + x + x + x + x 9x 2 4 x 2 + 9x 2 4 (x + 9x 2 4) = x + L equazione dell asintoto per x che tende a + è y = 2x. Esaminiamo il comportamento della funzione per x che tende a. f(x) =. x 4 x + 9x 2 4 =.

4 Vediamo se ammette un asintoto obliquo y = mx + q( 1 ). f(x) m = = x x = 8 x x 2 q = f(x) mx = f(x) 8x = x 9x 2 4 = x x x x x 9x 2 4 x 2 + 9x 2 4 ( x + 9x 2 4) = x L equazione dell asintoto per x che tende a è y = 8x. Calcoliamo la derivata prima determinando quindi il suo segno. f (x) = 5 9x 9x x + 9x 2 4 =. Abbiamo che f (x) > se 9x2 4 > 9x 5, questa equivale ai sistemi 9x 2 4 > x2 x >, oppure x < x C.E. Le soluzioni del primo sistema sono x > 25, mentre quelle del secondo sono x < 2 (., 2 ], e su Possiamo di conseguenza affermare che la funzione risulta crescente su [ ) [ 25 2, +. Mentre è decrescente su, 25 minimo relativo. Si osservi che anche i punti 2 e 2 sono di massimo relativo. Determiniamo la derivata seconda. f (x) = ]. Di conseguenza il punto x 1 = 25 6 (9x 2 4) 9x 2 4. è punto di Questa risulta maggiore di zero per ogni x appartenente al( campo di esistenza di f tolti gli estremi. Quindi la funzione risulta convessa sugli intervalli, 2 ) ( ) 2,, +. Infine osserviamo che f( 2) = 1, f( 2) = 1, f (x) =, f (x) = +, x 2 + x 2 1 Si tenga presente che se x < allora x 2 = x 4

5 Possiamo a questo punto tracciare il seguente grafico. y y=2x 1/ 2/ 25/ 2/ x 1/ y=8x () (Punti 8) Calcolare il valore del seguente ite x + sin x 2 sin x 2 log(1 + 2x 2 ) 2 log(1 + x 2 ) Svolgimento. Il ite si presenta nella forma ideterminata. Risolviamo l indeterminazione utilizzando gli sviluppi di Taylor delle funzioni che compaiono nell espressione. sin x 2 = x 2 (x2 ) 6 + o(x 6 ) = x x6 + o(x 6 ); sin x 2 = x 2 x6 6 + o(x6 ); log(1 + 2x 2 ) = 2x 2 4x4 2 + o(x4 ) = 2x 2 2x 4 + o(x 4 ); log(1 + x 2 ) = x 2 x4 2 + o(x4 ). 5

6 Sostituendo nel ite ed applicando il principio di sostituzione degli infinitesimi, otteniamo: x x x6 + o(x 6 ) 2x 4 + x 4 + o(x 4 ) 4x 6 = =. x + x 4 (4) (Punti 8) Calcolare il seguente integrale 1 arctan( 1 + x) dx. Svolgimento Effettuiamo il seguente cambiamento di variabili t = 1 + x, ossia t 2 = 1 + x, da cui dx = 2t dt. In particolare se x = 1 allora t =, mentre se x = allora t = 1. Di conseguenza risulta 1 arctan( 1 + x) dx = 2t arctant dt. Integriamo per parti( 2 ) prendendo f (t) = 2t, quindi f(t) = t 2, g(t) = arctant, g (t) = 1 1+t 2. 2t arctant dt = [ t 2 arctant ] 1 t t 2 dt = π 4 t t 2 dt = = π 4 1 dt t 2 dt = π 4 [t]1 + [arctant] 1 = π π 4 = π f (t)g(t) dt = f(t)g(t) f(t)g (t) dt. 6