Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 25 febbraio 2017 Fila 1.

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 5 febbraio 07 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 7) Posto z = + i determinare per quali valori di n N\{0} risulta: z n R e z n < 00. (Punti 0) Data la funzione f(x) = x + 6 x 4 a) (punti ) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 4) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; equazioni delle rette tangenti al grafico nei punti singolari (ovvero nelle eventuali cuspidi, negli eventuali punti angolosi o negli eventuali punti di flesso). c) (punti ) determinare gli intervalli di concavità e di convessità; d) (punti ) disegnare il suo grafico approssimato.. (Punti 8) Calcolare lim x 0 [log(+4x)] 4[log(+x)]. sin5x 5sinx 4. (Punti 8) Calcolare 4 (x ) 6 arctan x 7 dx.

2 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 5 febbraio 07 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 7) Posto z = + i determinare per quali valori di n N risulta: z n R e 00 < z n < 00. (Punti 0) Data la funzione f(x) = x 0 x + 4 a) (punti ) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 4) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; equazioni delle rette tangenti al grafico nei punti singolari (ovvero nelle eventuali cuspidi, negli eventuali punti angolosi o negli eventuali punti di flesso). c) (punti ) determinare gli intervalli di concavità e di convessità; d) (punti ) disegnare il suo grafico approssimato.. (Punti 8) Calcolare 4. (Punti 8) Calcolare lim x 0 9 sin 4x 6 sin x. e x cosx x 99 arctan(x ) 00 dx.

3 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 5 febbraio 07 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 7) Posto z = + i determinare per quali valori di n N risulta: z n R e 50 < z n < 00. (Punti 0) Data la funzione f(x) = x 8 x + 5 a) (punti ) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 4) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; equazioni delle rette tangenti al grafico nei punti singolari (ovvero nelle eventuali cuspidi, negli eventuali punti angolosi o negli eventuali punti di flesso). c) (punti ) determinare gli intervalli di concavità e di convessità; d) (punti ) disegnare il suo grafico approssimato.. (Punti 8) Calcolare lim x 0 6 sin 6x 5 sin 5x 4[log(+x)] [log(+6x)]. 4. (Punti 8) Calcolare 0 (x ) 4 arctan x 5 dx.

4 Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del 5 febbraio 07 Fila 4. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 7) Posto z = + i, determinare per quali valori di n N\{0} risulta: z n R e z n < 00. (Punti 0) Data la funzione f(x) = x + 4 x 4 a) (punti ) determinare il suo campo di esistenza, segno, comportamento agli estremi del dominio ed eventuali asintoti; b) (punti 4) determinare gli intervalli di monotonia ed eventuali punti di massimo o di minimo relativo; equazioni delle rette tangenti al grafico nei punti singolari (ovvero nelle eventuali cuspidi, negli eventuali punti angolosi o negli eventuali punti di flesso). c) (punti ) determinare gli intervalli di concavità e di convessità; d) (punti ) disegnare il suo grafico approssimato.. (Punti 8) Calcolare lim x 0 log(+x ) log(+x ) 4sin x 9sin. x 4. (Punti 8) Calcolare 5 (x 4) 0 arctan x 4 dx. 4

5 Esercizio RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI DELLA FILA Esprimiamo il numero z = +i in forma trigonometrica z = ρ(cosθ +isinθ), per questo determiniamo θ e ρ utilizzando le formule: quindi ρ = (Rez) +(Imz), cosθ = Rez Imz, sinθ = ρ ρ, ρ =, cosθ =, sinθ =. Da questa deduciamo che l argomento principale del numero complesso è θ = π 6, quindi ( z = cos π 6 + i sin π ) 6 Calcoliamo z n mediante la formula di De Moivre: ( z n = n cos n π 6 + i sin n π ) 6 Risulta z R se la parte immaginaria è nulla, ovvero sin n π 6 valori di n tali che n π = kπ, k Z. 6 = 0. Questo è verificato per i Dovendo essere n N \ {0}, otteniamo che n = 6k, con k N \ {0}. Tenuto conto anche della seconda condizione richiesta: z n < 00, otteniamo che n = 6 in quanto z 6 = ρ 6 = 6 = 64 < 00 mentre per n 7 si verifica facilmente che z n > 00. Esercizio La funzione è composizione di una radice dispari con un polinomio, che sono definite entrambi su tutto R, quindi f è definita su tutto R. La funzione è pari in quanto f( x) = ( x) + 6 x 4 = x + 6 x 4 = f(x). È sufficiente studiare f per x 0, quindi mediante per simmetria rispetto a x = 0 otterremo il suo comportamento per x < 0. Sia dunque x 0, per cui possiamo scrivere l espressione della funzione f(x) = x + 6x 4 Determiniamo il segno di f risolvendo f(x) 0, ovvero x + 6x 4 0 x + 6x 4 0 x. Agli estremi del dominio risulta lim f(x) = lim x x + x x + 4 x =.

6 Per simmetria anche lim f(x) =. x La funzione non ammette asintoti all infinito in quanto f(x) x m = lim x + x = lim x x x + x = 0. Stesso risultato per x che tende a. Determiniamo gli intervalli di monotonia. f (x) = (x ) ( x + 6x 4) Da cui f (x) 0 per 0 x. La funzione è crescente per 0 x e decrescente per x. Il punto x 0 = è di massimo relativo. Per simmetria: la funzione è decrescente per x 0 e crescente per x. Il punto x = è di massimo relativo. Osserviamo che la derivata prima non è definita dei punti x = e x =, dove abbiamo lim x f (x) = +, limf (x) =. x Per cui le rette x = e x = sono rette tangenti verticali al grafico di f. Nel punto x = 0 la funzione non è derivabile in quanto lim (x) = x 0 +f, lim (x) = x 0 f Si tratta dunque di un punto angoloso avente come tangente destra y = x 4 e tangente sinistra y = x 4. Determiniamo gli intervalli di concavità e convessità. f (x) = 9 4x +x ( x + 6x 4) 4 x +6x 4. Il segno della derivata seconda è determinato dal termine posto al denominatore sotto la radice terza in quanto il polinomio al numeratore risulta sempre negativo avendo < 0. Quindi f (x) 0 per 0 x, oppure x. Di conseguenza la funzione è convessa sull intervallo [0, ] e sull intervallo [, + ). Mentre è concava su [, ]. Per simmetria la funzione è convessa sull intervallo [, 0] e sull intervallo [, ]. Mentre è concava su [, ]. Possiamo quindi tracciare il seguente grafico. 6

7 y x 0 x 0 x Esercizio Il limite si presenta nella forma indeterminata 0, per risolverlo ricorriamo agli sviluppi di 0 Taylor delle funzioni che compaiono nell espressione. Tenuto conto che Se poniamo t = 4x e sostituiamo: quindi Mentre se poniamo t = x otteniamo log(+t) = t+ t +o(t ) log(+4x) = 4x 8x +o(x ), [log(+4x)] = [4x 8x +o(x )] = 6x 64x +o(x ). log(+x) = x x +o(x ) 4[log(+x)] = 4[x x +o(x )] = 4[4x 8x +o(x )] = 6x x +o(x ) Consideriamo poi sint = t 6 t +o(t ), 7

8 per t = 5x risulta mentre per t = x sin5x = ( 5x 5 ) 6 x +o(x ) = 0x 5 x +o(x ); ( 5sinx = 5 x 4 ) x +o(x ) = 0x 0 x +o(x ). Sostituiamo nel limite applicando poi il principio di sostituzione degli infinitesimi lim x 0 [log(+4x)] 4[log(+x)] sin5x 5sinx x +o(x ). = lim x 0 5x +o(x ) = lim x x 0 5x = 5. Esercizio 4 Esplicitiamo il valore assoluto che compare nell espressione della funzione integranda osservando che x se x 0 x x = (x ) se x < 0 x <. Per questo scomponiamo il dominio di integrazione come segue = 4 (x ) 6 arctan(x ) 7 dx + (x ) 6 arctan x 7 dx = 4 (x ) 6 arctan(x ) 7 dx. Calcoliamo le primitive della funzione integrando per parti( ) prendendo: f (x) = (x ) 6, g(x) = arctan(x ) 7, quindi f(x) = 7 (x )7, g (x) = 7(x )6 +(x ) 74. Quindi (x ) 6 arctan(x ) 7 dx = 7 (x )7 arctan(x ) 7 = 7 (x )7 arctan(x ) 7 (x ) 7 (x ) 6 dx = +(x ) 74 (x ) 7 dx. +(x ) 74 f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx. 8

9 Risolviamo l ultimo integrale con il cambio di variabile ed otteniamo (x ) 7 dx = +(x ) Sostituendo negli integrali di partenza: = t = +(x ) 74, quindi dt = 74(x ) 7 dx t dt = 74 (x ) 6 arctan(x ) 7 dx + logt +C = 74 log[+(x )74 ] + C. 4 4 (x ) 6 arctan x 7 dx = (x ) 6 arctan(x ) 7 dx = [ = 7 (x )7 arctan(x ) 7 74 log[+(x )74 ] [ + 7 (x )7 arctan(x ) 7 74 log[+(x )74 ] ] ] 4 = 7 arctan 74 log + 7 arctan 74 log = + = = π 74 7 log. 9

10 Esercizio RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI DELLA FILA Esprimiamo il numero z = + i in forma trigonometrica z = ρ(cosθ + isinθ), per questo determiniamo θ e ρ utilizzando le formule: ρ = (Rez) +(Imz), cosθ = Rez Imz, sinθ = ρ ρ, quindi ρ =, cosθ =, sinθ =. Da questa deduciamo che l argomento principale del numero complesso è θ = π 4, quindi z = ( cos π 4 + i sin π ) 4 Calcoliamo z n mediante la formula di De Moivre: ( z n = n cos n π 4 + i sin n π ) 4 Risulta z R se la parte immaginaria è nulla, ovvero sin n π 4 valori di n tali che n π = kπ, k Z. 4 = 0. Questo è verificato per i Dovendo essere n N, otteniamo che n = 4k, con k N. Tenuto conto anche della seconda condizione richiesta: 00 < z n < 00, otteniamo che n = 6 in quanto z 6 = ρ 6 = 8 = 56 < 00 e 8 > 00, mentre per n 8 si verifica facilmente che z n > 00, mentre per n < 8 risulta z n < 00. Esercizio La funzione è composizione di una radice dispari con un polinomio, che sono definite entrambi su tutto R, quindi f è definita su tutto R. La funzione è pari in quanto f( x) = ( x) 0 x + 4 = x 0 x + 4 = f(x). È sufficiente studiare f per x 0, quindi mediante per simmetria rispetto a x = 0 otterremo il suo comportamento per x < 0. Sia dunque x 0, per cui possiamo scrivere l espressione della funzione f(x) = x 0x + 4 Determiniamo il segno di f risolvendo f(x) 0, ovvero x 0x x 0x x 4 oppure x 6. 0

11 Agli estremi del dominio risulta lim f(x) = lim x + x + Per simmetria anche lim f(x) = +. x La funzione non ammette asintoti all infinito in quanto f(x) m = lim x + x = lim x + Stesso risultato per x che tende a. Determiniamo gli intervalli di monotonia. x 0 x + 4 x = +. x x x = 0. x f (x) = (x 5) (x 0x + 4) Da cui f (x) 0 per x 5. La funzione è decrescente per 0 x 5 e crescente per x 5. Il punto x 0 = 5 è di minimo relativo. Per simmetria: la funzione è crescente per 5 x 0 e decrescente per x 5. Il punto x = 5 è di minimo relativo. Osserviamo che la derivata prima non è definita dei punti x = 4 e x = 6, dove abbiamo lim x 4 f (x) =, limf (x) = +. x 6 Per cui le rette x = 4 e x = 6 sono rette tangenti verticali al grafico di f. Nel punto x = 0 la funzione non è derivabile in quanto lim (x) = 5 x 0 +f 6 9, lim (x) = 5 x 0 f 6 9 Si tratta dunque di un punto angoloso avente come tangente destra y = x + e tangente sinistra y = x. Determiniamo gli intervalli di concavità e convessità. f (x) = 9 x +0x 8 (x 0x + 4) 4 x 0x+4. Il segno della derivata seconda è determinato dal termine posto al denominatore sotto la radice terza in quanto il polinomio al numeratore risulta sempre negativo avendo < 0. Quindi f (x) 0 per 4 x 6. Di conseguenza la funzione è convessa sull intervallo [4,6]. Mentre è concava su [0,4] e su [6,+ ). Per simmetria la funzione è convessa sull intervallo [ 6, 4]. Mentre è concava su (, 6] e su [ 4,0]. Possiamo quindi tracciare il seguente grafico.

12 y x x x Esercizio Il limite si presenta nella forma indeterminata 0, per risolverlo ricorriamo agli sviluppi di 0 Taylor delle funzioni che compaiono nell espressione. Tenuto conto che Se poniamo t = x e sostituiamo: e t = +t+ t +o(t ) e x = x +x 4 +o(x 4 ). Consideriamo e poniamo t = x otteniamo Essendo poi cost = t + 4 t4 +o(t 4 ) cosx = x + x4 +o(x 4 ). sint = t 6 t +o(t ),

13 per t = 4x risulta ( 9sin 4x = 9 4x ) x +o(x ) = 9[ 6x 56 ] x4 +o(x 4 ) = 44x 768x 4 +o(x 4 ); mentre per t = x ( 6sin x = 6 x 9 x +o(x )) = 6 [ 9x 7x 4 +o(x 4 ) ] = 44x 4x 4 +o(x 4 ). Sostituiamo nel limite applicando poi il principio di sostituzione degli infinitesimi 9 sin 4x 6 sin x lim x 0 e x cosx 6x 4 +o(x 4 ) = lim x 0 4 x4 +o(x 4 ) 6x 4 = lim x 0 4 = 5. x4 Esercizio 4 Esplicitiamo il valore assoluto che compare nell espressione della funzione integranda osservando che x se x 0 x x = (x ) se x < 0 x <. Per questo scomponiamo il dominio di integrazione come segue = (x ) 99 arctan(x ) 00 dx + x 99 arctan(x ) 00 dx = (x ) 99 arctan x 00 dx. Calcoliamo le primitive della funzione integrando per parti( ) prendendo: f (x) = (x ) 99, g(x) = arctan(x ) 00, quindi f(x) = 00 (x )00, g (x) = 00(x )99 +(x ) 00. Quindi (x ) 99 arctan(x ) 00 dx = 00 (x )00 arctan(x ) 00 = 00 (x )00 arctan(x ) 00 (x ) 00 (x ) 99 dx = +(x ) 00 (x ) 99 dx. +(x ) 00 f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx.

14 Risolviamo l ultimo integrale con il cambio di variabile ed otteniamo t = +(x ) 00, quindi dt = 00(x ) 99 dx (x ) 99 dx = +(x ) t dt = 00 logt +C = 00 log[+(x )00 ] + C. Sostituendo negli integrali di partenza: = (x ) 99 arctan(x ) 00 dx + (x ) 99 arctan x 00 dx = (x ) 99 arctan(x ) 00 dx = [ = 00 (x )00 arctan(x ) log[+(x )00 ] [ + 00 (x )00 arctan(x ) log[+(x )00 ] ] ] = 00 arctan 00 log + 00 arctan 00 log = + = = π log. 4

15 Esercizio RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI DELLA FILA Esprimiamo il numero z = +i in forma trigonometrica z = ρ(cosθ+isinθ), per questo determiniamo θ e ρ utilizzando le formule: ρ = (Rez) +(Imz), cosθ = Rez Imz, sinθ = ρ ρ, quindi ρ =, cosθ =, sinθ =. Da questa deduciamo che l argomento principale del numero complesso è θ = π, quindi z = (cos π + i sin ) π Calcoliamo z n mediante la formula di De Moivre: z n = n ( cos n π + i sin n π ) Risulta z R se la parte immaginaria è nulla, ovvero sin n π = 0. Questo è verificato per i valori di n tali che n π = kπ, k Z. Dovendo essere n N, otteniamo che n = k, con k N pari. Tenuto conto anche della seconda condizione richiesta: 50 < z n < 00, otteniamo che n = 6 in quanto z 6 = ρ 6 = 6 = 64 < 00 e 6 > 50, mentre per n 6 si verifica facilmente che z n > 00, inoltre per n < 6 risulta z n < 50. Esercizio La funzione è composizione di una radice dispari con un polinomio, che sono definite entrambi su tutto R, quindi f è definita su tutto R. La funzione è pari in quanto f( x) = ( x) 8 x + 5 = x 8 x + 5 = f(x). È sufficiente studiare f per x 0, quindi mediante per simmetria rispetto a x = 0 otterremo il suo comportamento per x < 0. Sia dunque x 0, per cui possiamo scrivere l espressione della funzione f(x) = x 8x + 5 Determiniamo il segno di f risolvendo f(x) 0, ovvero x 8x x 8x x oppure x 5. 5

16 Agli estremi del dominio risulta lim f(x) = lim x + x + Per simmetria anche lim f(x) = +. x La funzione non ammette asintoti all infinito in quanto f(x) m = lim x + x = lim x + Stesso risultato per x che tende a. Determiniamo gli intervalli di monotonia. x 8 x + 5 x = +. x x x x = 0. f (x) = (x 4) (x 8x + 5) Da cui f (x) 0 per x 4. La funzione è decrescente per 0 x 4 e crescente per x 4. Il punto x 0 = 4 è di minimo relativo. Per simmetria: la funzione è crescente per 4 x 0 e decrescente per x 4. Il punto x = 4 è di minimo relativo. Osserviamo che la derivata prima non è definita dei punti x = e x = 5, dove abbiamo lim x f (x) =, limf (x) = +. x 5 Per cui le rette x = e x = 5 sono rette tangenti verticali al grafico di f. Nel punto x = 0 la funzione non è derivabile in quanto lim (x) = 8 x 0 +f 5, lim (x) = x 0 f 8 5 Si tratta dunque di un punto angoloso avente come tangente destra y = 8 5 x+ 5 e 8 tangente sinistra y = 5 x+ 5. Determiniamo gli intervalli di concavità e convessità. f (x) = 9 x +8x 9 (x 8x + 5) 4 x 8x+5. Il segno della derivata seconda è determinato dal termine posto al denominatore sotto la radice terza in quanto il polinomio al numeratore risulta sempre negativo avendo < 0. Quindi f (x) 0 per x 5. Di conseguenza la funzione è convessa sull intervallo [,5]. Mentre è concava su [0,] e su [5,+ ). Per simmetria la funzione è convessa sull intervallo [ 5, ]. Mentre è concava su (, 5] e su [,0]. Possiamo quindi tracciare il seguente grafico. 6

17 y x x x Esercizio Il limite si presenta nella forma indeterminata 0, per risolverlo ricorriamo agli sviluppi di 0 Taylor delle funzioni che compaiono nell espressione. Tenuto conto che Se poniamo t = x e sostituiamo: quindi log(+t) = t+ t +o(t ) log(+x) = x 9 x +o(x ), 4[log(+x)] = 4[x 9 x +o(x )] = 4[9x 7x +o(x )] = 6x 08x +o(x ). Mentre se poniamo t = 6x log(+6x) = 6x 8x +o(x ) otteniamo [log(+6x)] = [6x 8x +o(x )] = 6x 6x +o(x ) 7

18 Consideriamo poi sint = t 6 t +o(t ), per t = 6x risulta 6 sin 6x = ( 6x 6x +o(x ) ) [ = 6x 4x 4 +o(x 4 ) ] = x x 4 +o(x 4 ); 6 6 mentre per t = 5x 5 sin 5x = 5 ( 5x 5 6 x +o(x ) ) = 5 [ 5x 65 ] x4 +o(x 4 ) = x 5 4 x4 +o(x 4 ). Sostituiamo nel limite applicando poi il principio di sostituzione degli infinitesimi lim x 0 6 sin 6x 5 sin 5x 4[log(+x)] [log(+6x)] = lim 6 x4 +o(x 4 ) x 0 08x +o(x ) = lim 6 x4 x 0 08x = 0. Esercizio 4 Esplicitiamo il valore assoluto che compare nell espressione della funzione integranda osservando che x se x 0 x x = (x ) se x < 0 x <. Per questo scomponiamo il dominio di integrazione come segue = 0 (x ) 4 arctan(x ) 5 dx + (x ) 4 arctan x 5 dx = 0 (x ) 4 arctan(x ) 5 dx. Calcoliamo le primitive della funzione integrando per parti( ) prendendo: f (x) = (x ) 4, g(x) = arctan(x ) 5, quindi f(x) = 5 (x )5, g (x) = 5(x )4 +(x ) 50. Quindi (x ) 4 arctan(x ) 5 dx = 5 (x )5 arctan(x ) 5 = 5 (x )5 arctan(x ) 5 (x ) 5 (x ) 4 dx = +(x ) 50 (x ) 49 dx. +(x ) 50 f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx. 8

19 Risolviamo l ultimo integrale con il cambio di variabile ed otteniamo (x ) 49 dx = +(x ) Sostituendo negli integrali di partenza: = 0 t = +(x ) 50, quindi dt = 50(x ) 49 dx t dt = 50 (x ) 4 arctan(x ) 5 dx + logt +C = 50 log[+(x )50 ] + C. 0 (x ) 4 arctan x 5 dx = (x ) 4 arctan(x ) 5 dx = [ = 5 (x )5 arctan(x ) 5 50 log[+(x )50 ] [ + 5 (x )5 arctan(x ) 5 50 log[+(x )50 ] ] 0 ] = 5 arctan 50 log + 5 arctan 50 log = + = = π 50 5 log. 9

20 Esercizio RISOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI DELLA FILA 4 Esprimiamo il numero z = +i in forma trigonometrica z = ρ(cosθ+isinθ), per questo determiniamo θ e ρ utilizzando le formule: quindi ρ = (Rez) +(Imz), cosθ = Rez Imz, sinθ = ρ ρ, ρ = 4, cosθ =, sinθ =. Da questa deduciamo che l argomento principale del numero complesso è θ = π, quindi ( z = 4 cos π + i sin π ) Calcoliamo z n mediante la formula di De Moivre: ( z n = 4 n cos n π + i sin n π ) Risulta z R se la parte immaginaria è nulla, ovvero sin n π valori di n tali che n π = kπ, k Z. = 0. Questo è verificato per i Dovendo essere n N \ {0}, otteniamo che n = k, con k N \ {0}. Tenuto conto anche della seconda condizione richiesta: z n < 00, otteniamo che n = in quanto z = ρ = 4 = 64 < 00, mentre per n 4 si verifica facilmente che z n > 00. Esercizio La funzione è composizione di una radice dispari con un polinomio, che sono definite entrambi su tutto R, quindi f è definita su tutto R. La funzione è pari in quanto f( x) = ( x) + 4 x 4 = x + 4 x 4 = f(x). È sufficiente studiare f per x 0, quindi mediante per simmetria rispetto a x = 0 otterremo il suo comportamento per x < 0. Sia dunque x 0, per cui possiamo scrivere l espressione della funzione f(x) = x + 4x 4 Determiniamo il segno di f risolvendo f(x) 0, ovvero x + 4x 4 0 x + 4x 4 0 x 4. Agli estremi del dominio risulta lim f(x) = lim x x + x x + 4 x =.

21 Per simmetria anche lim f(x) =. x La funzione non ammette asintoti all infinito in quanto f(x) m = lim x + x = lim x + Stesso risultato per x che tende a. Determiniamo gli intervalli di monotonia. x 4 x + 4 x x = 0. f (x) = (x 7) ( x + 4x 4) Da cui f (x) 0 per 0 x 7. La funzione è crescente per 0 x 7 e decrescente per x 7. Il punto x 0 = 7 è di massimo relativo. Per simmetria: la funzione è decrescente per 7 x 0 e crescente per x 7. Il punto x = 7 è di massimo relativo. Osserviamo che la derivata prima non è definita dei punti x = e x = 4, dove abbiamo lim x f (x) = +, limf (x) =. x 4 Per cui le rette x = e x = 4 sono rette tangenti verticali al grafico di f. Nel punto x = 0 la funzione non è derivabile in quanto lim (x) = 7 x 0 +f 4 9, lim (x) = 7 x 0 f 4 9 Si tratta dunque di un punto angoloso avente come tangente destra y = x e tangente sinistra y = x. Determiniamo gli intervalli di concavità e convessità. f (x) = 9 4x 8x 5 ( x + 4x 4) 4 x +4x 4. Il segno della derivata seconda è determinato dal termine posto al denominatore sotto la radice terza in quanto il polinomio al numeratore risulta sempre negativo avendo < 0. Quindi f (x) 0 per 0 x e 4 x Di conseguenza la funzione è convessa sull intervallo [0,] e sull intervallo [4,+ ). Mentre è concava su [,4]. Per simmetria la funzione è convessa sull intervallo [, 0] e sull intervallo [, 4]. Mentre è concava su [ 4, ]. Possiamo quindi tracciare il seguente grafico.

22 y 4 x 0 x 0 4 x Esercizio Il limite si presenta nella forma indeterminata 0, per risolverlo ricorriamo agli sviluppi di 0 Taylor delle funzioni che compaiono nell espressione. Tenuto conto che log(+t) = t+ t +o(t ) Se poniamo t = x e sostituiamo: log(+x ) = 6x 9x 4 +o(x 4 ), Mentre se poniamo t = x risulta log(+x ) = 6x 6x 4 +o(x 4 ) Consideriamo poi sint = t 6 t +o(t ), per t = x abbiamo ( 4sin x = 4 x 9 x +o(x )) = 4 [ 9x 7x 4 +o(x 4 ) ] = 6x 08x 4 +o(x 4 );

23 mentre per t = x ( 9sin x = 9 x 4 [ x +o(x )) = 9 4x 6 ] x4 +o(x 4 ) = 6x 48x 4 +o(x 4 ). Sostituiamo nel limite applicando poi il principio di sostituzione degli infinitesimi log(+x ) log(+x ) lim x 0 4sin x 9sin x x 4 +o(x 4 ) == lim x 0 60x 4 +o(x 4 ) = lim x 4 x 0 60x = 4 0. Esercizio 4 Esplicitiamo il valore assoluto che compare nell espressione della funzione integranda osservando che x 4 se x 4 0 x 4 x 4 = (x 4) se x 4 < 0 x < 4. Per questo scomponiamo il dominio di integrazione come segue = 4 5 (x 4) 0 arctan(x 4) dx + 5 x 4 0 arctan(x 4) dx = 4 (x 4) 0 arctan x 4 dx. Calcoliamo le primitive della funzione integrando per parti( 4 ) prendendo: f (x) = (x 4) 0, g(x) = arctan(x 4), quindi f(x) = (x 4), g (x) = (x 4)0 +(x ) 4. Quindi (x 4) 0 arctan(x 4) dx = (x 4) arctan(x 4) Risolviamo l ultimo integrale con il cambio di variabile ed otteniamo = (x 4) arctan(x 4) t = +(x 4) 4, quindi dt = 4(x ) 4 dx (x 4) (x 4) 0 dx = +(x 4) 4 (x 4) 4 dx. +(x 4) 4 4 f (x)g(x) dx = f(x)g(x) f(x)g (x) dx.

24 (x 4) 4 dx = +(x ) 4 4 t dt = 4 Sostituendo negli integrali di partenza: = 4 (x 4) 0 arctan(x 4) dx + logt +C = 4 log[+(x 4)4 ] + C (x 4) 0 arctan x 4 dx = (x 4) 4 arctan(x 4) 4 dx = [ = (x 4) arctan(x 4) 4 log[+(x 4)4 ] [ + (x 4) arctan(x 4) 4 log[+(x 4)4 ] ] 4 ] 5 = arctan 4 log + arctan 4 log = 4 + = = π 4 log. 4