ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA Commissione A. Cesaroni, P. Mannucci, A. Sommariva, a.a Corsi di laurea in Scienze Statistiche

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1 TEMA f(x = arccos( x (a ˆ Determiniamo il dominio Poichè arccos : [, ] [, π], poniamo x ovvero x Di conseguenza il dominio risulta D = [ 4, 4] ˆ Eventuali simmetrie: la funzione è pari ˆ Periodicità: la funzione non è periodica (non è definita nemmeno in tutto R ˆ Segno di f Visto che il codominio della funzione è contenuto in [, π] essa risulta sempre positiva (b-c La funzione f è sempre continua, poichè lo sono x e arccos, ed è derivabile se x e x ±, in quanto arccos è ovunque derivabile in (, e x è derivabile se x Dopo studieremo la derivabilità in x = e agli estremi del dominio La funzione, essendo continua in R, non necessita di essere prolungata per continuità Visto che il dominio di f è l insieme chiuso e itato [ 4, 4] non ha senso chiedersi di calcolare gli asintoti Per lo studio dei massimi e minimi, ci itiamo a studiare, visto che la funzione è pari, quelli in [, 4], deducendo gli altri per simmetria Osservato che in [, 4] si ha f(x = arccos( x = arccos( x, ricaviamo facilmente che per x (, 4 ( f (x = x ( x La derivata è negativa in (, 4 Quindi la funzione risulta decrescente in (, 4 Essendo pari, risulta crescente in ( 4, Dalla continuità della funzione si deduce che possiede massimo assoluto in e minimi assoluti in ±4

2 Figura : Grafico di f in ( 4, 4 Per quanto riguarda i iti della derivata nei punti significativi, essendo la funzione pari, f ( x = f (x e visto che x + f (x = deduciamo che x f (x = x + f (x = + Quindi f non è dervabile in x = Similmente f (x =, x 4 f (x = + x 4 + Per il grafico si veda la figura Esercizio (8 punti Determinare al variare di α > reale il valore del ite arctan(x α x 4 x + x 3 + e x Facoltativo: Determinare i valori del parametro b > reale affinché la funzione f(x sia continua in : f(x = { arctan(x 4 x 4 x 3 +e x x >, ( x x x +5 b x, Studiamo il numeratore Da arctan(x = x (/3x 3 + o(x 5 deduciamo che Quindi cioè arctan(x α = x α (/3x 3α + o(x 5α arctan(x α x 4 = x α (/3x 3α + o(x 5α x 4

3 ˆ per α < 4 si ha arctan(x α x 4 x α, ˆ per α = 4 si ha arctan(x α x 4 (/3x, ˆ per α > 4 si ha arctan(x α x 4 x 4 Per quanto riguarda il denominatore, visto che e x = + x necessariamente e x = + x + o(x 4, cioè e x = x + o(x 4 da cui x 3 + e x = x 3 + x + o(x 4 x Di conseguenza, il ite L = x + arctan(xα x 4 x 3 +e x da calcolare è tale che ˆ per α < 4 risulta L = x + xα /x cioè L = + per α (,, L = per α = e L = per α (, 4 ˆ per α = 4 risulta ˆ per α > 4 risulta L = x + (/3x /x = L = x + x4 /x = (Facoltativo Osserviamo che x x x x ( +5 b = e x x ln( x +5 b = x e x x Quindi, perchè sia continua in, deve essere = b cioè b = Esercizio 3 (8 punti π/ sin x + dx x +5 b = b Posto y =, usando il metodo dei fratti semplici, abbiamo sin x + dx = y + y dy = y dy y + dy ( y ln( y + + C ( y/(y + + C ( sin(x + C sin(x + Per il teorema fondamentale del calcolo, 3

4 π/ ( sin(π/ sin dx x + sin(π/ + ( + ( ln + ( sin( ln sin( + ( ( / / + ( + Facoltativo: Con la sostituzione usata prima y =, l integrale La funzione g(t = confronto asintotico y +y y sin x + dx = y + y dy Esercizio 4 (8 punti ( ( ( n cos n ln ( + per y, quindi l integrale non converge per il criterio del n= Studiamo dapprima la convergenza assoluta perché essa implica la convergenza Visto che a n >, la serie è assolutamente convergente se e solo se risulta convergente ( ( a n = cos n n= n= Poichè cos(x = x / + o(x 4 abbiamo che cos(x = x / + o(x 4 e quindi ( cos n n e di conseguenza per il criterio del confronto asintotico + n= serie non è assolutamente convergente n= ( n ( cos ( n ( ( cos n diverge, per cui la ( Studiamo ( ora la convergenza Osserviamo che la serie è a segno alterno Posto a n = cos n, la successione {a n } è infinitesima e non negativa Inoltre è decrescente Infatti la successione cos n ( ( è crescente in quanto n è decrescente, cos t è decrescente per t (, e la composizione di ( una funzione decrescente con una ( successione decrescente dà una successione crescente Se cos n è crescente, allora cos n è decrescente Quindi per il Criterio di Leibniz la serie è semplicemente convergente 4

5 TEMA f(x = arcsin( x Esercizio (8 punti Determinare al variare di a > reale il valore del ite x + e x + x 5 tan(x a x 4 Facoltativo: Determinare i valori del parametro b > reale affinché la funzione f(x sia continua in x = : { e x +x 5 x >, f(x = tan(x 4 x 4 ( x x x +6 b x, Esercizio 3 (8 punti Facoltativo: dire se π/ dx cos converge x+ cos x + dx Esercizio 4 (8 punti n= ( ( n e n Tempo: due ore Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo NB Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza 5

6 TEMA 3 f(x = arccos( x Esercizio (8 punti Determinare al variare di α > reale il valore del ite sin(x α x 4 x + x 3 + log( + x Facoltativo: Determinare i valori del parametro b > reale affinché la funzione f(x sia continua in x = : { sin(x 4 x 4 x >, f(x = x 3 +log(+x ( x x x +5 b x, Esercizio 3 (8 punti Facoltativo: dire se π/ dx cos converge x+ cos x + dx Esercizio 4 (8 punti n= ( n ( cos ( n Tempo: due ore Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo NB Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza 6

7 TEMA 4 f(x = arcsin( x Esercizio (8 punti Determinare al variare di a > reale il valore del ite x 5 + log( + x x + sin(x a x 3 Facoltativo: Determinare i valori del parametro b > reale affinché la funzione f(x sia continua in x = : { x 5 +log(+x x >, f(x = sin(x 3 x 3 ( x x x +5 b x, Esercizio 3 (8 punti Facoltativo: dire se π/ dx sin converge x+ sin x + dx Esercizio 4 (8 punti n= ( ( n e 3 n Tempo: due ore Viene corretto solo ciò che è scritto sul foglio intestato È vietato tenere libri, appunti, telefoni e calcolatrici di qualsiasi tipo NB Il punteggio degli esercizi si intende esclusi i facoltativi Le parti facoltative vanno fatte dopo aver svolto tutte le altri parti e non servono per ottenere la sufficienza 7