CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA UNIVERSITÀ DEL SALENTO Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 15/11/2017 Prova A

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1 Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 5//207 Prova A da Si studino l insieme di definizione ed il segno della funzione definita fx) = log 2 ) 2 sinx3 cos x+5) + arctan 3 x 3 x + π 4 ) 2 Si risolva la seguente equazione nel campo dei numeri complessi e se ne rappresentino le soluzioni sul piano di Gauss: z i) 0 z 2 i) 9 ) z 2 z ) = 0 3 Si calcoli, se esiste, il seguente ite: x 0 + e x2 cos x logcos x) arctan sin ) x 4 Si dimostri che per ogni n N vale l uguaglianza: kk + ) = n n + 5 Facoltativo) Siano f, g : X R, con X R non vuoto, crescenti Si dimostri che la funzione f + g è crescente E vero che f g è crescente?

2 Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 5//207 Prova B da Si studino l insieme di definizione ed il segno della funzione definita fx) = log 3 ) 3 cosx3 sin x+) + arctan 4 x 4 x + π 4 ) 2 Si risolva la seguente equazione nel campo dei numeri complessi e se ne rappresentino le soluzioni sul piano di Gauss: z 6 3 i) 9 z 2 i) 7 ) z 2 z 8) = 0 3 Si calcoli, se esiste, il seguente ite: logcos x) x 0 + e x cos x arctan cos ) x 4 Si dimostri che per ogni n N vale l uguaglianza: kk + ) = n n + 5 Facoltativo) Siano f, g : X R, con X R non vuoto, decrescenti Si dimostri che la funzione f + g è decrescente E vero che f g è decrescente?

3 Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 5//207 Prova C da Si studino l insieme di definizione ed il segno della funzione definita fx) = log 2 ) 2 sinx3 cos x+5) + arctan 3 x 3 x + π 4 ) 2 Si risolva la seguente equazione nel campo dei numeri complessi e se ne rappresentino le soluzioni sul piano di Gauss: z i) 7 z 2 i) 9 ) z 2 z + ) = 0 3 Si calcoli, se esiste, il seguente ite: e x2 cos2x) x 0 + logcos x) arctan sin ) x 4 Si dimostri che per ogni n N vale l uguaglianza: kk + ) = n n + 5 Facoltativo) Siano f, g : X R, con X R non vuoto, crescenti Si dimostri che la funzione f + g è crescente E vero che f g è crescente?

4 Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 5//207 Prova D da Si studino l insieme di definizione ed il segno della funzione definita fx) = log 4 ) 2 arctanx2 +cos x+5) + arctan 2 x 2 x + π 4 ) 2 Si risolva la seguente equazione nel campo dei numeri complessi e se ne rappresentino le soluzioni sul piano di Gauss: z i) 0 z 2 i) 9 ) z 2 z ) = 0 3 Si calcoli, se esiste, il seguente ite: logcos2x)) x 0 + e x cos x arctan cos ) x 4 Si dimostri che per ogni n N vale l uguaglianza: kk + ) = n n + 5 Facoltativo) Siano f, g : X R, con X R non vuoto, crescenti Si dimostri che la funzione f + g è crescente E vero che f g è crescente?

5 Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I - 05/09/207 Studiare la funzione definita da fx) = x + arctan2x) 2 Calcolare, se esiste, il ite log x sin x + e x sin 2 x) x 2 log x 3 Calcolare logx 2 + 4x + 3)dx 4 Si risolva la seguente equazione nel campo dei numeri complessi e se ne rappresentino le soluzioni sul piano di Gauss: z 6 + i)z)zz 2i) = 0 5 Matematica aa206/7) Si dimostri che per ogni n N: kk + )k + 2) = nn + 3) 4n + )n + 2) 5 Matematica aa 205/6 e prec, Fisica ) Si enunci e si dimostri il teorema sulla derivabilità della funzione inversa

6 Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I - 0/07/207 Si studi la seguente funzione e se ne tracci il grafico: fx) = 2 Si calcoli il seguente ite: x 2 log x x 0 log + x 2 ) xe x + x sin 2 x sinx 2 ) 3 Si calcoli l integrale indefinito arctan x ) dx 4 Si risolva la seguente equazione e se ne rappresentino le soluzioni nel piano complesso: ) 3i) 5 z 4 Re z zz) = 0 5 Matematica aa 206/7) Si dimostri per induzione che 2k + k 2 k + ) = 2 n + ) 2 5 Matematica aa 205/6 e prec, Fisica ) Si definiscano le funzioni convesse e si enunci e si dimostri la loro caratterizzazione tramite la monotonia della funzione derivata prima

7 Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I - 05/06/207 Si studi la seguente funzione e se ne tracci il grafico: x + fx) = x ex Si studino in particolare i punti di non derivabilità si tralasci lo studio della derivata seconda) 2 Si calcoli il seguente ite: ) log + sinx 2 )) x sin x x 0 cos x cos x 2 + x 3 Si calcoli l integrale indefinito x + x dx 4 Si risolva la seguente equazione e se ne rappresentino le soluzioni nel piano complesso: + i) 4 z 3 i) 5) Im z z 2) = 0 5 Matematica aa 206/7) Si dimostri per induzione che 2 k k) kk + ) = 2 + 2n+ n + 5 Matematica aa 205/6 e prec, Fisica ) Si enunci e si dimostri il teorema di derivazione della funzione composta

8 Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I - 22/2/207 Si studi la seguente funzione e se ne tracci il grafico: fx) = arcsin x x + Si studino in particolare i punti di non derivabilità 2 Si calcoli il seguente ite: x cos x e x + + sin 2 x x 0 + sin x log x x 3 Si calcoli l integrale indefinito e x + e 2x + e x + dx 4 Si risolva la seguente equazione e se ne rappresentino le soluzioni nel piano complesso: z 3 + i)zz 2z) = 0 5 Matematica aa 206/7) Si dimostri per induzione che 2 k = 22 n ) 5 Matematica aa 205/6 e prec, Fisica ) Dopo aver dato la definizione di massimo e minimo relativo, si enunci il teorema di Fermat, illustrando con opportuni esempi la necessità delle ipotesi

9 Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I - 3/2/207 Si studi la seguente funzione e se ne tracci il grafico: fx) = 2 Si calcoli il seguente ite: x ) x + x log + x) + 6 sin x 6 x x2 arctan + sin ) x 0 + e x cos x x 3 Si calcoli l integrale indefinito arctan xdx 4 Si risolva la seguente equazione e se ne rappresentino le soluzioni nel piano complesso: z i)z + z 2) = 0 5 Matematica aa 206/7) Si dimostri per induzione che 2k )2k + ) = n 2n + 5 Matematica aa 205/6 e prec, Fisica ) Si enunci e si dimostri il teorema di esistenza degli zeri per le funzioni continue, illustrando con opportuni esempi la necessità delle ipotesi

10 Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I - 23//207 Si studi la seguente funzione e se ne tracci il grafico: fx) = log e 2x e x x 2 Si calcoli il seguente ite: logcos 2 x) log x sin x) x 0?+ + x2 cos log x x 3 Si calcoli l integrale indefinito x 2) logx 4 )dx 4 Si risolva la seguente equazione e se ne rappresentino le soluzioni nel piano complesso: z 3 i)zz 2) = 0 5 Matematica aa 206/7) Si dimostri per induzione che 3k )3k + 2) = n 6n Matematica aa 205/6 e prec, Fisica ) Si enunci e si dimostri il teorema sulla formula di Taylor con il resto di Peano

11 3 a Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 3//207 Si calcoli il seguente ite: e x sin x cos 2x) 2x 2 + sin x 0 log + x 3 tan 2 x) x 6 x 2 Si calcoli l integrale indefinito x + + x + x dx 3 Si risolva la seguente equazione e si rappresentino le soluzioni nel piano complesso: z 4 + i)z 2z) = 0 4 Si enunci e si dimostri il teorema di caratterizzazione delle funzioni monotone derivabili

12 2 a Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 3//207 Si studi la seguente funzione e se ne tracci il grafico: : fx) = 2 Si calcoli il seguente ite: x2 x e x e x sin x cos 2x) 2x 2 + sin x 0 log + x 3 tan 2 x) x 6 x 3 Si calcoli l integrale indefinito x + + x + x dx 4 Si risolva la seguente equazione e se ne rappresentino le soluzioni nel piano complesso: z 4 + i)z 2z) = 0 5 Si enunci e si dimostri il teorema dei valori intermedi Con opportuni esempi si illustri la necessità delle ipotesi

13 Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I - 3//207 Si studi la seguente funzione e se ne tracci il grafico: fx) = 2 Si calcoli il seguente ite: x2 x e x e x sin x cos 2x) 2x 2 + sin x 0 log + x 3 tan 2 x) x 6 x 3 Si calcoli l integrale indefinito x + + x + x dx 4 Si risolva la seguente equazione e se ne rappresentino le soluzioni nel piano complesso: z 4 + i)z 2z) = 0 5 Matematica) Si dimostri per induzione che 2 n > n 2 + per ogni n 5, n N 5 Fisica) Dopo aver dato la definizione di successione estratta ed averne enunciato le principali proprietà, si enunci e si dimostri il teorema di Bolzano Weierstrass

14 Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 9/2/206 Prova A Si studi e si tracci il grafico della funzione fx) = x + x 2 x 2 Si enunci e si dimostri il teorema di esistenza degli zeri per le funzioni continue Con opportuni esempi si evidenzi la necessità delle ipotesi

15 Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 4//206 Prova B Si studi e si tracci il grafico della funzione fx) = x x 2 2x 2 Si enunci e si dimostri il teorema di Weierstrass per le funzioni continue Con opportuni esempi si evidenzi la necessità delle ipotesi

16 Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 4//206 Prova A Si determinino l insieme di definizione ed il segno della funzione definita da fx) = 2 arctan ) ) e 2x e x+2 log x 2 2 x 2 2 Si dimostri che per ogni n N: kk + )k + 2) = nn + 3) 4n + )n + 2) 3 Si dimostri che, date due successioni reali a n ) n N e b n ) n N, se ν N n N : n > ν a n b n e n b n =, allora n a n =

17 Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 4//206 Prova B Si determinino l insieme di definizione ed il segno della funzione definita da fx) = 3 arctan ) ) e 2x e x+3 log x x 2 Si dimostri che per ogni n N: kk + )k + 2) = nn + 3) 4n + )n + 2) 3 Si dimostri che, date due successioni reali a n ) n N e b n ) n N, se ν N n N : n > ν a n b n e n a n = +, allora n b n = +