DERIVATE. Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta. 1. Data la funzione f(x) =2+ x 7, quale delle seguente affermazioni èvera?

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1 DERIVATE Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.. Data la funzione f(x) =+ x 7, quale delle seguente affermazioni èvera? (a) f(x) nonè derivabile in x =0 (b) f (0) = (c) f (0) = (d) f (0) = (e) f (0) = 0. Il rapporto incrementale della funzione g(x) = f(x) nel punto x 0 è: f(x) f(x 0 ) (a) (x x 0 )f(x 0 )f(x) (b) f(x) f(x 0) f(x)f(x 0 ) (c) f(x 0 ) f(x) (x x 0 )f(x 0 )f(x) (d) x x 0 f(x) f(x 0 ) (e) f(x) f(x 0 ) 3. Si consideri la funzione f(x) =5e x +3x+. Allora (a) f(x) nonè derivabile (b) f (x) =(0x + 5)e x +3x+ (c) f (x) =(5x +5x + 0)e x +3x+ (d) f (x) =5e x +3x+ (e) f (x) =(x +3)e x +3x+ 4. La derivata della funzione f(x) =e sin (x ) è: (a) f (x) = ( x) 3 cos (x ) esin (x ) (b) f (x) =(x ) e sin (x ) cos(x ) (c) f (x) =e x cos x(x ) (d) f (x) = (x ) 3 e sin (x ) cos (x ) (e) f (x) =e sin (x ) +cos (x ) (x ) 3 5. Per quali valori di a e b la funzione f(x) = { 4arctanx x < ax + b x è derivabile in R? (a) a = π; b = (b) a =; b = π (c) a =; b (d) a =; b = π (e) a = π; b =+π c 0 Politecnico di Torino

2 6. Sia data la funzione f(x) =e x x π sin x. Quale delle seguenti affermazioni èfalsa? (a) f(x) è derivabile in x =0 (b) lim f(x) x + (c) f(x) ècontinua (d) lim f(x) =0 x (e) f(x) non è derivabile in x =π 7. E data la funzione f :[, 3] R R, ivi continua, tale che f( ) = 3, f(3) = 6. Quale delle seguenti affermazioni NON è necessariamente vera? (a) f([, 3]) è un intervallo chiuso e limitato (b) f([, 3]) = [ 3, 6] (c) L equazione f(x) =λ ammette almeno una soluzione se λ 4 (d) f(x) ammmette almeno uno zero nell intervallo (, 3) (e) Esiste almeno un punto x (, 3) tale che f(x) =e + π 8. La funzione f(x) = x 9 : (a) è derivabile nell intervallo [0, 3 ] (b) ha tre punti di non derivabilità (c) ha derivata prima che si annulla una volta nell intervallo [, ] (d) soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [ 3, 3] (e) non soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo [0, ] 9. La funzione f(x) = x + e x 4x +5 : (a) ammette un asintoto obliquo per x +, diequazioney = x 5 8 (b) non ha asintoti obliqui (c) ammette asintoto obliquo per x +, diequazioney = x (d) per x ha un asintoto obliquo (e) ammette un asintoto obliquo per x ±,diequazioney = x 0. La funzione inversa della funzione f(x) =xe x ha come retta tangente al suo grafico, nel suo punto di ascissa x = e: (a) y =e(x ) + (b) y = (x e)+ e (c) y = (x ) + e e (d) y = e (x e)+ (e) x = e c 0 Politecnico di Torino

3 . Data la funzione f(x) = x ln x, quale delle seguenti proprietà NONèvera? (a) lim f(x 4) f() = + x + (b) lim f(x 4) f() = 0 x (c) f(x 4) = (x ) ln(x ) (d) lim x 0 + f(x) = (e) f () = ( ln ). La funzione f(x) = arctan 3x + x: (a) ha due asintoti orizzontali (b) ammette come asintoto, per x +, la retta di equazione y = x + π (c) per x + ha la retta di equazione y = x + π 6 come asintoto obliquo (d) ha come asintoto, per x, la retta di equazione y = x + π (e) non ammette asintoto obliquo 3. Quale delle seguenti proprietà NONè soddisfatta dalla funzione f(x) =x ln x + x 3? (a) Ha la retta y =x + ln come asintoto obliquo (b) Ha la retta y =x ln come asintoto obliquo sinistro (c) Ha lo stesso dominio della funzione f(x) =x ln(x +)+ln(x 3) (d) Ha la retta x = come asintoto verticale sinistro (e) Non ha punti a tangente orizzontale 4. Data la funzione f(x) = 3 (x ), quale delle seguenti affermazioni èfalsa? (a) f(x) non soddisfa alle ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [0, 4] (b) f(x) ha un punto di non derivabilità inx = (c) f(x) ha un punto di cuspide in x = (d) f(x) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell intervallo [, 4] (e) f(x) hainx = ha un punto di flesso a tangente verticale c 0 Politecnico di Torino 3

4 VERO o FALSO Dire se ciascuna di queste affermazioni è vera oppure falsa. (a) Se una funzione ècontinuainx 0 allora è ivi derivabile (b) Se una funzione è continua in I=[a, b], ammette massimo in I (c) Sia f :[, 3] IR IR, ivi continua e con f( ) = ef(3) = ; allora necessariamente l equazione f(x) =λ ammette almeno una soluzione se λ 3 (d) Esiste una funzione f :[3, 7] IR continua e suriettiva (e) Laderivatadif(3x) è3f (x) (f) Laderivatadif 3 (x) è3f (x) { x sin (g) La funzione f(x) = x x 0 0 x =0 { x sin (h) La funzione f(x) = x x 0 0 x =0 { x sin (i) La funzione f(x) = x x 0 0 x =0 { x (l) La funzione f(x) = sin x x 0 0 x =0 non ècontinuainx =0 ècontinuainx = è derivabile in x =0 è derivabile in x =0 (m) Se una funzione è continua in I=[a, b], esiste in I un punto x 0 per cui f (x 0 )=0 (n) Se una funzione è continua in I=[a, b], esiste in I un punto x 0 per cui f (x 0 )= f(b) f(a) b a (o) Se una funzione è derivabile in I=[a, b], esiste in I un punto x 0 per cui f f(b) f(a) (x 0 )= b a (p) La funzione g(x) inversa della funzione f(x) =(x ) è derivabile nel suo punto di ascissa x =0 (q) La funzione f(x) = x non soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [, ] (r) La funzione f(x) = x nell intervallo [, ] non ha punti a tangente orizzontale RISPOSTE AI QUESITI Item numero Risposta c c b a d e b c a b d b c e Risposte VERO o FALSO Item numero a b c d e f g h i l m n o p q r Risposta F V F F F F F V F V F F V F V F c 0 Politecnico di Torino 4

5 CALCOLO DIFFERENZIALE Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.. Quale delle seguenti funzioni coincide con la funzione f(x) =x xx? (a) f(x) =x x (b) f(x) =x (xx ) (c) f(x) =e x log x (d) f(x) =x 3x (e) f(x) =x x3. Quale delle seguenti proprietà NON è soddisfatta dalla funzione f(x) =(x x ) x? (a) f(x) =x x (b) im f =(0, + ) (c) dom f =(0, + ) (d) f(x) =e x log x (e) La funzione è prolungabile, a destra, per continuità inx = 0 3. La derivata della funzione f(x) =(x x ) x è: (a) f (x) =x x x (b) f (x) =x(x x ) x log x (c) f (x) =(x x ) x (d) f (x) =x x + ( log x +) (e) f (x) =x x ( log x +) 4. La derivata della funzione f(x) =x xx è: (a) f (x) =x x x xx (b) f (x) =x xx x xx (c) f (x) =x xx (x x log x(log x +)+x x ) (d) f (x) =x xx +x (log x(log x +)+) (e) f (x) =x xx +x (x log x(log x +)+) 5. Sia f(x) =(x ) k e x allora: (a) ha un minimo in x =perk = (b) ha un massimo in x =perk = (c) ha un minimo in x =perk =3 (d) ha un massimo in x =perk =3 (e) k Z, x= non ènémassimo né minimo per f(x) 6. E data la funzione f(x) = log(e x + e x ); quale delle seguenti funzioni NON è la sua derivata prima? (a) f (x) = ex e x e x + e x (b) f (x) = sinh x cosh x (c) f (x) = tanh x (d) f (x) = ex e x + c 0 Politecnico di Torino

6 (e) f (x) = e x + e x 7. Sia I R un sottoinsieme non vuoto e f : I R una funzione derivabile e tale che f (x) > 0 x I. Quale delle seguenti affermazioni è corretta? (a) f è crescente su I (b) f è strettamente crescente su I (c) f è strettamente decrescente su I (d) Se I è un intervallo, allora f è strettamente crescente su I (e) f è strettamente crescente su I se e solo se I è un intervallo 8. Il dominio della funzione f(x) = log(3x ) è: ( (a), e + ] 3 ( ) (b) 3, + ( (c) 3, e + ] 3 [ (d) 3, e + ] 3 ( (e) 3, e + ) 3 9. Il dominio della funzione f(x) = (a) (0, ) (,e] (b) (0,e] (c) (0, ) [e, + ) (d) [e, + ) (e) (0, + ) log x è: 0. La funzione f(x) = log 5 e 4x 7x: (a) ha la retta y = 7x + log 5 come asintoto obliquo, per x e la retta y = 3x come asintoto obliquo, per x + (b) non ha asintoto obliquo (c) ha la retta y = 7x + log 5 come asintoto obliquo (d) ha la retta y = 3x come asintoto obliquo (e) ha la retta y = 7x + log 5 come asintoto obliquo, per x e la retta y = 7x come asintoto obliquo, per x + ( log x. Il limite lim 4 ) x 6 x + log x (a) vale (b) vale + (c) non esiste (d) vale log (e) vale c 0 Politecnico di Torino

7 log( + 5x) + sin x. Il limite lim x 0 sin 6x x (a) 0 (b) 5/6 (c) 7/4 (d) 5/4 (e) / vale 3. La successione a n = (3 sin(nπ) + cos(nπ)) n 3n+5 (a) è limitata (b) è crescente (c) è decrescente (d) ammette limite finito (e) ammette limite infinito 4. Sia f : I =[ 3, 0] R; sapendo che f è derivabile in I echex 0 I quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) se x 0 è un punto di minimo per f allora f (x 0 )=0 (b) se x 0 è un punto di massimo per f allora f (x 0 )=0; (c) se x 0 [, 9] è un punto di minimo per f allora f (x 0 )=0; (d) se f(x 0 )è massimo per f allora f (x 0 )=0; (e) se x 0 è un punto di massimo per la funzione allora f (x 0 )=0ef (x 0 ) < 0 5. Per la funzione f :[, 3) R, f(x) = x quale delle seguenti affermazioni NON è vera? (a) f ammette sup, ma non max assoluto (b) f ammette minimo assoluto (c) x = è punto di minimo assoluto (d) 0 è il minimo assoluto della funzione (e) 8 è il massimo assoluto della funzione 6. Per la funzione f(x) = arcsin x, quali delle seguenti affermazioni NON è corretta? (a) x =è punto di massimo assoluto per la funzione (b) f () = 0 (c) π è il massimo della funzione ( ) 3 (d) esiste f ( (e) f e ) ( e = f 3 3) c 0 Politecnico di Torino 3

8 7. Per la funzione f(x) = sinh x quale delle seguenti affermazioni NON è corretta? (a) x =0è punto di minimo assoluto per la funzione (b) f (0) = 0 (c) x <0, f (x) < 0 (d) lim f (x) = x 0 (e) f () = e + e 8. La derivata della funzione f(x) = 3x + e 3x è: (a) f (x) = e3x + 3x + e 3x (b) f (x) = 3x + e 3x (c) f (x) = 3x(e3x +) 3x + e 3x (e3x +6x) (d) f (x) = 3x + e 3x (e) f (x) = 3(e3x +) 3x + e 3x 9. La derivata della funzione f(x) = log x 3 x 4 è: x (a) f (x (x) = 3)(x x (, ) [ 3, 3] (, + ) 4) x (x 3)(x x (, 3) ( 3, ) 4) (b) f x (x) = (3 x )(4 x ) (c) f x (x) = (3 x )(x 4) x(x 4) (d) f (x) = (x 3) 3 x (, ) ( 3, 3) (, + ) x(x 4) (x 3) 3 x (, 3) ( 3, ) (e) f (x) = x(x 4) (x 3) 3 0. La derivata della funzione f(x) = log(x x +3)è: (a) f (x) = x x x +4 (b) f x (x) = x x +3 (c) f x (x) = x x +3 x + (d) f (x) = x x< + x + x x x x +4 x + (e) f (x) = x x< + x + x x x> x +4 c 0 Politecnico di Torino 4

9 VERO o FALSO Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere oppure false. (a) Le due funzioni f(x) =x xx e g(x) =(x x ) x coincidono x (0, + ) (b) Date le due funzioni f(x) =x xx e g(x) =(x x ) x,f(x) =g(x) se e solo se x = (c) Date le funzioni f(x) =x xx (d) Le due funzioni f(x) =x xx (e) Le due funzioni f(x) =x xx e g(x) =(x x ) x,f() = g() e g(x) =(x x ) x hanno lo stesso dominio e g(x) =(x x ) x hanno insieme immagine (0, + ) (f) Le due funzioni f(x) =x xx e g(x) =(x x ) x ammettono prolungamento continuo in x =0 (g) Se f è derivabile nel suo dominio e x 0 è punto di minimo per f allora f (x 0 )=0 (h) Se x 0 è punto di minimo interno al dominio di f e f è derivabile in x 0, allora f (x 0 )=0. (i) Se f è derivabile nel suo dominio e f (x 0 ) = 0 allora x 0 è punto di massimo oppure di minimo. (l) x =0 è un punto di massimo relativo della funzione f :[0, 5) R, f(x) =(x ). (m) x =5 è punto di massimo assoluto per la funzione f :[0, 5) R, f(x) =(x ). (n) L estremo superiore della funzione f :[0, 5) R, f(x) =(x ) è9. (o) L intervallo [0, ] è l insieme immagine della funzione f(t) = (p) Per la funzione della domanda (o), f ( )= (q) La funzione della domanda (o) è iniettiva nel suo dominio (r) Per la funzione della domanda (o), t = 0 è punto di massimo relativo (s) Per la funzione della domanda (o), f ([0, ]) = [ 3, ] [, 3] { t + t [ 3, 0) (t ) t [0, 3] RISPOSTE AI QUESITI Domanda numero Risposta b b d e a e d c c a e d a c e b b c c e Risposte VERO o FALSO Domanda numero a b c d e f g h i l m n o p q r s Risposta F F V V F V F V F V F V F V F V V c 0 Politecnico di Torino 5

10 CALCOLO DIFFERENZIALE Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.. Siano date le successioni: a n = (n + )! n! (n + )! e b n = (n + 3)! n!. Allora, (n + )! (a) a n b n per n + (b) a n e b n sono due successioni convergenti (c) a n n e b n n per n + (d) b n = o(a n )pern + (e) lim a n = n + n +. Sia f(x) =x +lnx; l equazione della retta tangente al grafico della sua funzione inversa f, nel punto f (), è: (a) y = 5 (x ) (b) y = (x ) 3 (c) y =3(x )+ (d) y = (x +) 3 (e) y = (x ) 3 3. La derivata della funzione g(x) =ln (f 3 (x)+) è: (a) g (x) =ln(f 3 f (x) (x)+) f 3 (x)+ (b) g (x) =6lnx f (x) f (x)+ (c) g (x) =ln(f 3 (x)+)+ln (f 3 (x) + )3f (x) (d) g (x) =lnx(f 3 (x)+)+3f (x) ln(f 3 (x)+) (e) g (x) =ln(f 3 (x)+) 3f (x) f (x) f 3 (x)+ 4. E data funzione g(x) =ln (f 3 (x) + ). Sapendo che f()=ef () = 5, possiamo dire che (a) g () = 3 50 (b) g () = log 0 (c) g () = 0 (d) g () = 3 log (e) g () = 5 log 0 5. Sia data una funzione f : R R, continua e derivabile in [, 3]. Sapendo che f( ) =, f(3)=4,f ( ) = 3, f ( ) =, quale delle seguenti affermazioni è FALSA? (a) Se f(x) è strettamente crescente, la retta tangente destra al grafico della funzione inversa y = f (x) nel punto è: x +=(y +) (b) Se f(x) è monotona strettamente crescente in [, 3], allora f([, 3]) = [, 4] (c) Esiste almeno un x (, 3) tale che f(x )=0 (d) Esiste almeno un x 0 (, 3) tale che f (x 0 )= (e) Se f è iniettiva e f è la sua funzione inversa, allora (f ) ( )=3 c 0 Politecnico di Torino

11 6. La retta tangente al grafico della funzione f(x) =x cos x in x = π è: (a) y = x (b) y = x + π (c) y = πx +π π (d) y =0 (e) y = πx 7. Sia g(x) =x 3 + e x e sia g la sua funzione inversa. Allora ( g ) ( + e) vale: (a) 3+3e (b) (c) 3+e (d) 3+e (e) 3( + e) + e +e 8. Siano date le tre funzioni: f (x) = x, f (x) =(x ), f 3 = x. Se x +, quale delle seguenti affermazioni NON è vera? (a) ord (f 3 )= rispetto all infinitesimo campione x (b) ord (f )=ord(f ) (c) ord (f )= rispetto all infinitesimo campione x (d) la parte principale di f rispetto all infinitesimo campione x è p(x) = x (e) ord (f ) ord (f 3 ) 9. Data la funzione f(x) = sin( x + x), quale delle seguenti affermazioni NON è vera: x + x (a) lim f(x) = x + (b) g(x) = sin( x + x) è infinitesima, per x +, di ordine rispetto all inifinitesimo campione /x (c) lim f(x) =π/ x 0 (d) lim f(x) =( 5 + ) sin( 5 ) x (e) lim f(x) =0 x 0. Sia data la funzione f : R R, lim f (x) = lim f (x). vera? x x + 0 x x 0 Quale delle seguenti proprietà è sicuramente (a) La funzione ha nel punto x = 0 un salto infinito (b) La funzione ha nel punto x 0 una discontinuità eliminabile (c) La funzione è continua nel punto x 0 (d) La funzione è derivabile nel punto x 0 (e) Il grafico della funzione f può anche non ammettere retta tangente nel punto x 0 c 0 Politecnico di Torino

12 . Sia f una funzione infinitesima per x, derivabile due volte in un intorno di x = e con un punto critico in x =. Necessariamente: (a) f(x) =o ( (x ) ) per x. (b) f(x) =o ( (x ) 3) per x. f(x) (c) esiste lim x (x ) = k, k R (d) f(x) =(x ) + o ( (x ) ) per x. (e) f(x) = (x ) + o ( (x ) ) per x.. Se lo sviluppo di Mac Laurin di una funzione f C (R) è: f(x) = 3 x +3x 4 + o(x 4 ), quale delle seguenti affermazioni NON è necessariamente vera? (a) La funzione è infinitesima, per x 0. (b) La funzione è pari. (c) La funzione ha in x = 0 un punto critico. (d) f (0) = 4 3 (e) Esiste un intorno di x = 0 in cui la funzione è non positiva. 3. Sia data una funzione f C (R) in un intorno di x = 0, e sia f(x) =3 x +5x 4 + o(x 4 ) il suo sviluppo di Mac Laurin. Quale delle seguenti affermazioni NON è vera? (a) f(0) = 3 (b) Esiste un intorno di x = 0 in cui la funzione è sicuramente positiva (c) Il punto x =0 è punto di massimo relativo per la funzione (d) La retta tangente al grafico della funzione nel punto (0, 3) ha equazione y =3 (e) f (4) (0) = 5 4. Sia data una funzione f C (R) in un intorno di x = 0, e sia f(x) = x 3 +5x 5 + o(x 6 ) il suo sviluppo di Mac Laurin. Quale delle seguenti affermazioni NON è vera? (a) f (6) (0) = 0 (b) Esiste un intorno di x = 0 in cui la funzione cambia di segno. (c) f (3) (0) = (d) Il punto x =0 è punto di massimo relativo per la funzione. (e) f (4) (0) = 0 VERO o FALSO Dire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false. (a) Sia f : R R, derivabile in x = 0 e tale che f(0) =, f (0) =. La funzione g(x) =f(x) x è derivabile in x =0 (b) Se g(x) è la funzione della domanda precedente, allora g (0)=0. (c) Sia f : R R, derivabile in x = 0 e tale che f(0)=, f (0) =. La funzione g(x) =f (sin x) NON è derivabile in x =0 c 0 Politecnico di Torino 3

13 (d) Se g(x) è la funzione della domanda precedente, allora g (0) =. (e) Sia f : R R, derivabile in x = 0 e tale che f(0) =, f (0) =. La funzione g(x) = x f(x) NON è derivabile in x =0 (f) In x = 0 la funzione della domanda (e) possiede un punto angoloso, perchè g (0) = e g +(0)= (g) Il grafico della funzione della domanda (e), nel punto x = 0, ha come tangenti due semirette di coefficiente angolare m = se x<0em = se x>0 (h) Sia f : R R, derivabile in x = 0 e tale che f(0)=, f (0) =. La funzione g(x) = f(x) NON è derivabile in x =0 (i) Se g(x) è la funzione della domanda (h), allora g (0) =. (l) Sia f : R R, derivabile in x = 0 e tale che f(0) =, f (0) =. Non è possibile dire nulla della derivabilità della funzione g(x) = f(cos x), in x = 0 (m) Il dominio della funzione f(x) = arctan x + arctan x è un intervallo (n) Sia f(x) = arctan x + arctan x. Risulta f (x) =0 x domf. (o) Sia data la funzione f(x) =arctanx + arctan x ; poichè f (x) =0, x domf, allora esiste k R tale che f(x) =k, x domf. (p) Sia f(x) =k, x R. Allora f (x) =0 x R. (q) Sia I un intervallo; se f (x) =0 x I allora esiste k R : f(x) =k, x I. (r) Sia data la funzione f(x) = arctan x + arctan x. Poiché f (x) =0, x (0, + ) esiste k R : f(x) = k, x (0, + ) (s) Sia data la funzione f(x) = arctan x + arctan x. Poiché f (x) =0, x (, 0), allora f(x) = π, x (, 0) RISPOSTE AI QUESITI Domanda numero Risposta c b e b e a c c c e c b e d Risposte VERO o FALSO Domanda numero a b c d e f g h i l m n o p q r s Risposta V F F V V V V F V V F V F V V V V c 0 Politecnico di Torino 4

14 CALCOLO DIFFERENZIALE E SVILUPPI DI TAYLOR Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.. Sia data la funzione f : R R, continua e derivabile due volte, con f( 0) = 0, f(0) = 0, f(5) = 0. Quale delle seguenti affermazioni èvera? (a) f(x) ha almeno tre punti di stazionarietà (b) f(x) ha esattamente un punto di massimo relativo e un punto di minimo relativo (c) la funzione sinh f(x) non ha punti di stazionarietà (d) la funzione sinh f(x) non ha zeri (e) esiste almeno uno zero della derivata seconda di f x 3 7. Sia data la funzione f(x) =. Quale delle seguenti proprietà à FALSA? x (a) Il grafico della funzione ha un asintoto obliquo destro e un asintoto obliquo sinistro. (b) La funzione ha un punto di stazionarietà ed un punto di minimo assoluto. (c) La funzione ha un punto a tangente verticale in x =3 (d) Per calcolare l asintoto obliquo a : x 3 7 m = f(x) lim x x = lim x x x = lim x x 3 7 x 3 = (e) Il grafico ha una retta asintoto obliquo completo 3. Sia f una funzione di classe C (R), infinitesima per x 0 e con un punto di minimo in x = 0. Necessariamente: (a) f(x) =kx + o(x ), k (0, + ) (b) f(x) =h + kx + o(x ), h,k (0, + ) (c) f(x) =kx 4 + o(x 4 ), k (0, + ) (d) la prima derivata non nulla in x = 0, se esiste, è di ordine pari. (e) f (0) = 0, e f (x) 0 per ogni x. 4. Il polinomio di Taylor, di secondo grado e con centro x =, della funzione f(x) =sinπx è: (a) T (x) = π(x ) (b) T (x) = π(x ) + o((x )) (c) T (x) = π(x ) + o((x ) ) (d) T (x) = πx (e) T (x) = π(x ) + π (x ) c 0 Politecnico di Torino

15 5. Data la funzione f(x) di grafico: Il grafico della funzione derivata f (x) è: (a) (b) (c) (d) (e) 6. lim x + x +4e x x +4sinx = (a) 3 (b) + (c) 0 (d) (e) x +4e x 7. lim x 0 x +4sinx = (a) 3 (b) + (c) 0 (d) (e) c 0 Politecnico di Torino

16 8. lim x x +4e x x +4sinx = (a) 3 (b) (c) 0 (d) + (e) x +4e x 4 9. lim x 0 x +4sinx = (a) 3 (b) + (c) 0 (d) (e) 0. La derivata della funzione log(e x e x ) è: (a) e x e x (b) ex e x e x e x (c) ex +e x x (d) ex + e x (e) ex e x e x +e x. Il dominio della funzione f(x) = log(4 x ) è: ( (a), 5 ) [ ) (b), + (c) (, 4) (d) [, 5) [ (e), 5 ) c 0 Politecnico di Torino 3

17 VERO o FALSO Per ognuna di queste affermazioni dire se è vera oppure falsa. (a) Sia f(x) = 7 x + 7 x.perx 0 +,f(x) è infinitesima di ordine rispetto a x. 49 (b) Sia f(x) = 7 x + 7 x. Per x +,f(x) è infinita di ordine rispetto a x. 49 (c ) La funzione f(x) = x cos(3x) è derivabile in R (d ) Per ogni k R la funzione seguente è continua. { kx f(x) = 3kx + x<0 e x 5kx x 0 (e ) La funzione f(x) = k = { kx 3kx + x<0 e x 5kx x 0 con k parametro reale, è derivabile in x =0seesolose (f ) La funzione f(x) dell item (e), nell intervallo [ 5, ], non soddisfa al teorema di Lagrange, per nessun valore di k R. (g) Esiste un valore di k R per cui la funzione f(x) dell item (e), nell intervallo [, 5], soddisfa al teorema di Lagrange. (h ) Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 4, della funzione f(x) =sin x è f(x) =4x 6 3 x4. (i ) La funzione f(x) =sin x ha in x = 0 un punto di massimo relativo. (j ) p(x) =4x è la parte principale, per x 0, della funzione f(x) =sin x. (k ) La funzione f(x) =sin x, perx 0, è infinitesima di ordine. (l ) T (x) = 9x +7x 4 è il polinomio di Mac Laurin, di ordine 4, della funzione f(x) = cos 3x. (m ) La funzione f(x) = cos 3x è infinitesima del o ordine, per x 0 (n ) Il punto x =0è un punto di minimo per f(x) = cos 3x. (o ) p(x) = x è la parte principale, per x 0, della funzione f(x) = log x x + (p) Per trovare lo sviluppo di Mac Laurin della funzione f(x) = log( + x) si può trovare lo sviluppo di Mac Laurin della funzione log + log( + x ) c 0 Politecnico di Torino 4

18 (q ) Per trovare lo sviluppo di Mac Laurin della funzione f(x) = 3 +x 3 si può trovare lo sviluppo di Mac Laurin della funzione f(x) = x3 (r ) Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine, della funzione f(x) =e 4+x è f(x) =+(4+x)+o(x) (s ) f(x) =e 4 ( + x + o(x)) è lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine, della funzione f(x) =e 4+x. (t ) Lo sviluppo di Mac Laurin della funzione f(x) = f(x) = + sin x +sinx è riconducibile allo sviluppo della funzione (u ) Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 4 della funzione f(x) = +x è f(x) = x + x x 3 + x 4 + o(x 4 ) (v ) Lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine 4, della funzione f(x) = ) ( +sinx è: f(x) = x x + 4 x3 4 x o(x4 ) (w) T x=0,n=30 (x) =+x 0 + x 0 + x 30 è il polinomio di Mac Laurin, di ordine 30, di f(x) = x 0 (x) f(x) =+ ( + x) 8 ( + x) + o(( + x) ) è lo sviluppo di Mac Laurin, di ordine, della funzione f(x) = +x. (y) Se z = i, allora z 8 è un numero reale positivo. (z) L equazione z + = i ammette come unica soluzione il numero reale z =. z +i (z) Una radice quarta di i è il numero complesso w = i. (z) Una radice cubica di i è il numero complesso w = +i RISPOSTE AI QUESITI Item numero Risposta e e d a c e b d e d e Risposte VERO o FALSO Item nâ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x Risposta V F F V V F V F F V V V F F V V V F V V V V V F Item numero y z z z Risposta F V F F c 0 Politecnico di Torino 5