Detto x 0 il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina x 1 tale che: g ( x 1. )= x 0

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1 Piano tariffario: un canone fisso di euro al mese piú centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con f(x) la spesa totale nel mese e con g(x) il costo medio al minuto Individua l espressione analitica delle funzioni f(x) e g(x) e rappresentale graficamente; verifica che la funzione g(x) non ha massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano. Detto x 0 il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina x 1 tale che: g ( x 1 )= x 0 2 Traccia il grafico della funzione che esprime x 1 in funzione di x 0 e discuti il suo andamento. Che significato ha il suo asintoto verticale? La funzione f(x) è definita cosi' f (x)=+0,1 x per 0 x = e la funzione g(x) g( x)= +0,1 x = 1 x + x per x>0 0 x = La funzione f(x) è una retta e la funzione g(x) una iperbole equilatera traslata. Infatti il dominio di g(x) è R-0}, quindi la retta di equazione Inoltre x=0 è un asintoto verticale. lim x ± x+0 x =0 quindi la retta di equazione y= 1 è un asintoto orizzontale. La funzione g(x) interseca l'asse y nel punto A(-0;0) ed è sempre decrescente e non interseca mai l'asse x o l'asse y. Dal grafico della funzione f(x) si deduce che il costo è quasi costante e dal grafico di g(x) si deduce che la spesa media si annulla al crescere dei minuti di conversazione.

2 Per definizione, posto x 0 il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, sarà g( x 1 )= g( x 0 ) 2 = x x 0 ma, per definizione di g(x), è anche g( x 1 )= x 1 +0 x 1 x x 0 = x 1 +0 x x 0 = x = x 0 x 1

3 x 0 2 x x 0 = x 1 ossia 0 x 0 20 x 0 = x 1 0 x x 0 = 1 x 1 e quindi x 1 = 200 x 0 0 x 0 poniamo h(x)= 200 x 0 x è una funzione con dominio R + -0} con x=0 come asintoto verticale, y= 200 come asintoto orizzontale, interseca l'asse x e l'asse y in (0,0). Studiamo il segno della funzione: 200 x 0 x x 0 per x 0 0 x 0 per x 0 graficamente

4 per 0 x 0 h(x) è positiva Il grafico approssimato è Le derivata prima è 200 (0 x)+200x h ' ( x)= = (0 x ) 2 (0 x) 0 2 sempre quindi la funzione è sempre crescente Il suo grafico è

5 g( x)= x+0 x g(0)= 0+0 = =0,2 e quindi il costo medio di 0 minuti di telefonate è 0,2. 1 Il costo medio asintotico è Più ci avviciniamo ai 0 minuti di conversazione, più il tempo necessario per abbattere i costi della metà diventa infinito.

6 Sul suo sito web l operatore telefonico ha pubblicato una mappa che rappresenta la copertura del segnale telefonico nella zona di tuo interesse: La zona `e delimitata dalla curva passante per i punti A, B e C, dagli assi x e y, e dalla retta di equazione x = 6; la porzione etichettata con la Z, rappresenta un area non coperta dal segnale telefonico dell operatore in questione. Rappresenta il margine superiore della zona con una funzione polinomiale di secondo grado, verificando che il suo grafico passi per i tre punti A, B e C. Sul sito web dell operatore compare la seguente affermazione: nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 96% del territorio ; verifica se effettivamente é così. La funzione polinomiale è la parabola y=a x 2 +b x+c Imponendo il passaggio per i tre punti A(0;2), B ( 2; 7 2) e C (4;4) si ha 4a+2b+c= a+4b+c=4 4a+2b+2= a+4b+2=4

7 4a+2b 3 2 =0 16a+4b 2=0 8a+4b 3=0 16a+4b 2=0,per riduzione 8a+4 b 3=0 8a+1=0 e quindi 1+4b 3=0 a= 1 8 b=1 a= 1 8 la parabola ha equazione y= 1 8 x2 +x+2 verifichiamo che passa per A,B e C: 1) 0=0 passa per A 2) = = 7 2 passa per B 3) = 2+4+2=4 passa per C

8 Calcoliamo l'area delimitata dalla parabola e dagli assi cartesiani. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale: 6 A T = 1 8 +x+2dx=[ x x3 + x2 0 A Z = = 1 =0,5 km x ]0 e l'area totale della zona rappresentata dalla mappa è 4 6=24 quindi l'area coperta dal segnale telefonico è A T A Z = = 41 2 che è il ( 41 2 ) 21 = =0,97 = = =21km2 il 97% della zona rappresentata dalla mappa. Più di quanto specificato dalla pubblicità. Maggioriamo i costi aumentando la tariffa di 0,1 euro per i successivi 500 minuti di conversazione f (x)= +0,1 x per x ,1 x+( x 500) 0,1 per x>500 f (x)= e quindi + 1 x+( x 500) + 1 x per x 500 = 0+2x 500 = x per x>500 f (x)= + 1 x+( x 500) + 1 x per x 500 = 0+2x 500 = x 200 per x>500 5

9 x per x 500 f (x)=0+ x 200 per x>500 5 Per x=500 il limite destro e il limite sinistro della funzione coincidono. Quindi la funzione è continua in è ed è una poligonale crescente. Pertanto ha un minimo assoluto in x=0 ed è ma non ha né massimi relativi né massimi assoluti. E' derivabile in [0 ; ] 500},mentre in x=500 ha un punto angoloso. Di conseguenza g( x)=0+x x x x per x 500 per x>500 anche questa funzione è continua per x=500 perchè = = 3 25 = =g(500)=0,12 ed è rappresentata da due rami di iperbole.

10 Il dominio è R + e l'asintoto orizzontale è y= 1 5 =0.2 l'asintoto verticale è l'asse y. La funzione è sempre positiva e la sua derivata prima è g ' (x)= x (0+x) 0 x 2 per x 500 5x 5( x 200) 25 x 2 per x>500 g ' (x)= x 00 x 0 x 2 per x 500 5x 5 x x 2 per x>500 quindi g ' (x)= per x x 40 per x>500 2 x e quindi la funzione in x=500 ha un punto di minimo che è un minimo assoluto perchè 0,12 =g(500) < 0,2 Per quanto riguarda la funzione g2 che descrive la spesa media al minuto notiamo che, come per il piano tariffario precedente, decresce per i primi 500 minuti, ma poi inverte la tendenza e cresce per avvicinarsi al nuovo costo unitario di 20 centesimi al minuto. 6