Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
|
|
- Sebastiano Martino
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
2 Studio di una funzione
3 Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se f (x 1 ) f (x 2 ) quando x 1 < x 2 per ogni x 1, x 2 di (a, b) Una funzione f é decrescente nell intervallo (a, b) se f (x 1 ) f (x 2 ) se x 1 < x 2 per ogni x 1, x 2 di (a, b) Crescente Decrescente Crescente
4 Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nel punto x 0 se esiste un intorno I(x 0 ) di x 0 tale che f x f(x 0 ) x x 0 > 0 per ogni x I x 0 D(f). Una funzione f é decrescente nel punto x 0 se esiste un intorno I(x 0 ) di x 0 tale che f x f(x 0 ) x x 0 < 0 per ogni x I x 0 D(f).
5 Teorema sulla crescenza e decrescenza di una funzione Sia f una funzione continua su un intervallo chiuso [a, d] e differenziabile sull intervallo aperto (a, d). 1. Se f (x)>0 per ogni x in (b, c), allora f é crescente in [b, c]. 2. Se f (x)<0 per ogni x in (a, b), allora f é decrescente in [a, b]. 3. Se f (x)=0 per ogni x in (c, d), allora f é costante in [c, d]. a b c d
6 Estremi di una funzione: massimi e minimi Una funzione f definita in un insieme A R ha un massimo in x=c, appartenente ad A, chiamato max f, se f ( x) f ( c) per ogni x in A. Una funzione f definita in un insieme A R ha un minimo in x=d, appartenente ad A, chiamato min f, se f ( x) f ( d) per ogni x in A. max f a b c d min f
7 Estremi di una funzione: massimi e minimi relativi Una funzione f definita in un insieme A R ha un massimo relativo in x=c appartenente ad A, se esiste un intorno di c, I(c): f ( x) f ( c) per ogni x in I(c) A. Una funzione f definita in un insieme A R ha un minimo in x=d appartenente ad A, se esiste un intorno di d, I (d) f ( x) f ( d) per ogni x in I (d) A. max rel f a b c d min rel f
8 Esempio max rel min rel né max né min
9 Grafico qualitativo max rel max min max min rel rel
10 Teorema (Test della derivata prima) Sia c un punto critico della funzione f continua su un intervallo aperto I che contiene c, cioé f (c)=0. Se f é differenziabile sull intervallo I, allora f(c) può essere classificato come segue: Se f (x) cambia segno da negativo a positivo in c, allora f(c) é un punto di minimo relativo di f. Se f (x) cambia segno da positivo a negativo in c, allora f(c) é un punto di massimo relativo di f. Se f (x) non cambia di segno in c, allora f(c) non é né un punto di minimo né un punto di massimo.
11 Estremi di una funzione max f a f (x)>0 f (x)<0 f (x)>0 b min f c d rel min f f (x)=0 f (x)>0 f (x)>0
12 Passi per trovare intervalli su cui la funzione é crescente e decrescente: primo metodo Test dei segni Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo (a, b) 1. Localizzare i punti critici di f in (a, b), e usare questi numeri per determinare gli intervalli test. 2. Determinare il segno di f (x) in un punto test per ciascun intervallo test. 3. Usare il Teorema precedente per determinare se f è crescente o decrescente su ogni intervallo.
13 Osservazione Se la funzione è continua su un unione di intevalli il test dei segni va applicato a ciascuno di essi. Se la funzione o la sua derivata presentano dei punti singolari essi vanno inclusi nel test dei segni.
14 Passi per trovare intervalli su cui la funzione é crescente e decrescente: secondo metodo Studio del segno della derivata Sia f(x) una funzione continua e derivabile su un intervallo (a, b) 1. Localizzare i punti critici di f in (a, b). 2. Studiare il segno di f (x)>0. 3. Usare il Teorema precedente per determinare gli intervalli dove f è crescente o decrescente e localizzare gli eventuali punti di massimo e di minimo.
15 Esempio: primo metodo Esempio 1 Trovare i punti di massimo e di minimo della funzione 5 x 5x f ( x) Soluzione 5 Notiamo che f(x) é differenziabile su tutto l asse reale. Ponendo f (x) = 0 si trovano i punti critici. f '( x) 4 5( x 1) 5 x 4 1 ( x 1)( x 1)( x 2 1) Quindi gli zeri di f (x) sono x = 1 e x = 1 dal test dei segni si ha che il punto x = 1 é un punto di massimo relativo, il punto x = 1 é un punto di minimo rel. Intervalli < x < 1 1< x < 1 1 < x < + Valori test x = 2 x = 0 x = 2 0 Segno di f (x) f ( 2)=15> 0 f (0)= 1 < 0 f (2)=15> 0 Conclusione Crescente decrescente crescente
16 Esempio: secondo metodo Invece di fare il test dei segni si studia il segno della derivata: f '( x) x 4 1 ( x 1)( x 1)( x 2 1) 0 x + 1 > 0 x > 1 x 1 > 0 x > 1 x > 0 sempre Discussione dei segni:
17 --1 1 x x Prodotto Max min
18 Esempio Studiare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: f x = xe x Svolgimento: la funzione data è derivabile su R (dominio): f x = e x (1 + x) Per trovare i punti critici si pone f x = 0: e x 1 + x = 0 x = 1 Segno della derivata prima: e x 1 + x > 0 x > 1 Il punto x = 1 è un punto di minimo relativo
19 Grafico
20 Derivata seconda e concavità di una funzione Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, si dice convessa in a, b se per ogni x 0 (a, b) il grafico della funzione sta al di sopra della retta tangente nel punto (x 0, f(x 0 )).
21 Derivata seconda e concavità di una funzione Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, si dice concava in a, b se per ogni x 0 (a, b) il grafico della funzione sta al di sotto della retta tangente nel punto (x 0, f(x 0 )).
22 Punto di flesso Definizione: Data una funzione f: a, b R, derivabile in a, b, il punto x 0 (a, b) si dice punto di flesso se esiste δ > 0: la funzione f é concava in (x 0 δ, x 0 ) e convessa in (x 0, x 0 + δ)) (o viceversa).
23 Teorema Data una funzione f: a, b R, tale che esista la derivata seconda f in a, b. Se f x > 0 per ogni x a, b, allora la funzione é convessa in a, b. Se f x < 0 per ogni x a, b, allora la funzione é concava in a, b. + +
24 Procedimento per trovare i punti di massimo e di minimo: terzo metodo Segno della derivata seconda. Sia f(x) una funzione continua e derivabile n (n > 1) volte su un intervallo (a, b). Localizzare i punti critici della funzione f in (a, b), cioé le soluzioni dell equazione f (x)=0. Determinare il segno di f (x) (derivata seconda) nei punti critici: a) se f (x)<0 il punto critico e un massimo relativo b) se f (x)>0 il punto critico é un minimo relativo, c) se f (x)=0 si dovrebbe calcolare la derivata terza f o quelle successive finché la derivata nel punto é diversa da zero. Se la prima derivata diversa da zero ha ordine pari si ha un punto di massimo relativo se é negativa e di minimo relativo se é positiva, se ha ordine dispari allora si ha né un punto di flesso.
25 Esempio Trovare i punti di massimo e di minimo della seguente funzione: f ( x) ( x 8x 1) Punti critici: f 4 x = x 3 4x = 0 x(x 2 4) = 0 x = 0, x = ±2 Derivata seconda: f x = 3x 2 4
26 Esempio f 0 relativo = 4 < 0 punto di massimo f ±2 = 12 4 = 8 > 0 punti di minimo.
27 Studio di una funzione Trovare il dominio Trovare le intersezioni con gli assi, se è possibile. Trovare gli asintoti verticali (punti singolari) e orizzontali. Trovare i punti di massimo e di minimo relativi attraverso la derivata. Disegnare il grafico.
28 Esempio Studiare la seguente funzione f(x) e tracciare il grafico: 2 2/3 Soluzione f ( x) ( x 4) ((x^2-4)^2)^(1/3) 1) Dominio: R. Osservazione: E una funzione pari perché f x = f( x) per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x>0. Il grafico per x<0 si ottiene simmetricamente rispetto all asse delle y. 1) Intersezioni con gli assi: per x = 0 si ha che y = Per y = 0 si ha che x 2 4 = 0 x = ±2. 3) Non ci sono asintoti verticali perché non ci sono punti singolari. Non ci sono asintoti orizzontali: lim x x = 3
29 Esempio Studiare la seguente funzione f(x) e tracciare il grafico: 2 2/3 Soluzione f ( x) ( x 4) Dominio: R. Si pone f (x) = 0 per trovare i punti critici. f '( x) 2 3 ( x Quindi f x = 0 per x = 0. Test dei segni: 2 4) 1/3 (2x) 3( x 2 4x 4) 1/3 ((x^2-4)^2)^(1/3) Intervallo - < x <- 2-2 < x < 0 0 < x < 2 2 < x < + Valori test x =- -3 x = -1 x = 1 x = 3 Segno di f (x) f (-3) < 0 f (-1) > 0 f (1) < 0 f (3) > 0 Conclusione Decrescente Crescente Decrescente Crescente
30 Dal test dei segni si ha che in x = 0 si ha un punto di max relativo. Inoltre la derivata non esiste in x = ±2. Infatti lim x ±2 4x 3 x = I punti x = ±2 sono di minimo.
31 Esempio Studiare la funzione f(x) e tracciare il grafico: f ( x) 2 1) Il dominio é R-{0}. x Osservazione: E una funzione pari perché f x = f( x) per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x>0. Il grafico per x<0 si ottiene simmetricamente rispetto all asse delle y. 2) Intersezioni con gli assi: per x = 0, la funzione non é definita, per y = 0 l equazione 4 x 1 0 non ha soluzione: 3)Asintoti verticali: x lim x 0 + x 2 = = + Non ci sono asintoti orizzontali perché x 4 1
32 lim x 4. Massimi e minimi. Si pone f (x) = 0 per trovare i punti critici. 4 d x 1 4x 2 dx x 4 2x( x 1) 4 x 5 2x( x 4 x Quindi f (x)=0 per x = 1 e f (x) non esiste per x = 0. Il punto x = 1 é di minimo. Intervallo 0 < x < 1 1 < x < + Valori Test x = 1/2 x = 2 x x 2 = + Segno f (x) f (1/2) < 0 f (2) > 0 4 1) Conclusione Decrescente Crescente
33 Esempio Studiare la funzione f(x) e tracciare il grafico: x 2 1 f x = ln x Soluzione: 1. Dominio: x 2 1 x 2 +1 > 0 Il numeratore è positivo x 2 1 > 0 per x < 1 o x > 1. Infatti l equazione associata x 2 1 = 0 ha soluzioni x = ±1.
34 Esempio Il denominatore è sempre positivo x > 0. Infatti l equazione associata x = 0 non ha soluzioni reali. Quindi i dominio è: D = {x x < 1 o x > 1} Osservazione: E una funzione pari perché f x = f( x) per ogni x del dominio, quindi si può studiare per x >0. Il grafico per x <0 si ottiene simmetricamente rispetto all asse delle y.
35 2. Intersezioni con gli assi: Il punto x = 0 non appartiene al dominio quindi non ci sono intesezioni con l asse delle y. Ponendo y = 0 si ottiene ln x 2 1 x 2 +1 = 0 x2 1 x 2 +1 = 1 x 2 1 = x non ci sono soluzioni e quindi non si hanno intersezioni con l asse delle x.
36 3. Asintoti verticali. Per cercare eventuali asintoti verticali viene calcolato il limite nei punti di frontiera del dominio: lim ln x 2 1 x 1 + x = ln 0+ = quindi la retta di equazione x = 1 é un asintoto verticale. Asintoti orizzontali: lim ln x 2 1 x + x = ln 1 = 0 quindi la retta di equazione y = 0 é un asintoto orizzontale.
37 4. Massimi e minimi. Per la ricerca dei punti di massimo e di minimo si calcola la derivata della funzione: f x x = x 2 1 = 2x x x(x 2 1) x = 4x (x 2 1)(x 2 + 1) Punti critici: 4x (x 2 1)(x 2 + 1) = 0 x = 0
38 Siccome il punto x = 0 non appartiene al dominio non ci sono punti critici e quindi punti di massimo e di minimo. La derivata 4x prima è positiva per > 0 (x 2 1)(x 2 +1) Il numeratore è sempre positivo per x > 0; Il denominatore è positivo per x > 1. Quindi per x > 1 la funzione è sempre crescente.
39
40 Esercizi 1. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = 2x 3 6x 2 f x = 2x 4 2x f x = x x f x = x 1 x+2 f x = 6 cos x + 6 sen x f x = x 2 ln(x 2 )
41 Esercizi 2. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = x 3 2x 2 f x = x3 1 x 2 f x = x2 +x 2 x 2 4x+4 f x = x2 +4x x 2 +6x+5
42 Esercizi 3. Studiare le seguenti funzioni e disegnare il corrispondente grafico: f x = 1+3x4 x 3 f x = 3 x2 (x 2) 2 f x = e 1+x 1+x 2 f x = log x+1 x 1
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente nell intervallo (a, b) se
DettagliCalcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se
DettagliMATEMATICA. a.a. 2014/15
MATEMATICA a.a. 2014/15 3. DERIVATE E STUDIO DI FUNZIONE (II parte): Massimi, minimi e derivata prima. Flessi e derivata seconda. Schema per lo studio qualitativo completo di una funzione y=f(x) Crescenza
DettagliESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI
ESERCIZI SULLO STUDIO DI FUNZIONI 0 novembre 206 Esercizi Esercizio n. Si consideri la funzione f(x) = 7 x 2 + 3 Dominio: R Intersezioni con gli assi: Intersezioni con l asse x: { y = 0 y = 7 x 2 + 3.
DettagliEsercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 2005/2006
Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1 Facoltà di Architettura Anno Accademico 005/006 Antonella Ballabene SOLUZIONI -14 marzo 006- SCHEMA per lo STUDIO di FUNZIONI 1. Dominio della funzione f)..
DettagliDERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR.
DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE 1. Definizioni. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DEFINIZIONE 1. Sia x 0 un elemento di I. Per ogni x (I \ {x 0 }) consideriamo
DettagliStudiamo adesso il comportamento di f(x) alla frontiera del dominio. Si. x 0 lim f(x) = lim. x 2 +
Esercizi del 2//09. Data la funzione f(x) = ln(x 2 2x) (a) trovare il dominio, gli eventuali asintoti e gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce. Disegnare il grafico della funzione. (b) Scrivere
DettagliConcavità verso il basso (funzione concava) Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) abbia la concavità rivolta verso il basso, se esiste
CONCAVITA E CONVESSITA DI UNA FUNZIONE. FLESSI. SCHEMA GENERALE PER LO STUDIO DI FUNZIONE. FUNZIONI RAZIONALI E IRRAZIONALI INTERE E FRATTE. TEOREMA DI DE L HOSPITAL CON APPLICAZIONI AI LIMITI. 1 Concavit{
Dettagli10 - Applicazioni del calcolo differenziale
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviuppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 10 - Applicazioni del calcolo differenziale Anno Accademico 2015/2016
DettagliArgomento 7. Studio di funzione
Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I
DettagliSTUDIO di FUNZIONE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1
STUDIO di FUNZIONE c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1 Punti di estremo: punto di massimo assoluto Def. Sia 0 dom(f) = D. Si dice che 0 è un punto di massimo
Dettaglia) Il denominatore dev essere diverso da zero. Studiamo il trinomio x 2 5x + 6. Si ha: x 1,2 = 5 ± se x ], 2[ ]3, + [;
ESERCIZIO - Data la funzione f (x) + x2 2x x 2 5x + 6, si chiede di: a) calcolare il dominio di f ; (2 punti) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (3 punti) c) stabilire se f ha asintoti
DettagliLO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI
Autore: Enrico Manfucci - 6/05/0 LO STUDIO DI FUNZIONE ESERCIZI CON SOLUZIONI PREMESSA Per Studio di funzione si intende disegnare il grafico di una funzione data la sua espressione analitica. Questo significa
DettagliEsame di Matematica Generale 7 Febbraio Soluzione Traccia E
Esame di Matematica Generale 7 Febbraio 013 - Soluzione Traccia E ESERCIZIO 1. Si consideri la funzione f : R R f(x) = x + 1 x. (a) Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie (3 punti). Dominio.
DettagliEsercitazioni di Matematica
Università degli Studi di Udine Anno Accademico 009/00 Facoltà di Agraria Corsi di Laurea in VIT e STAL Esercitazioni di Matematica novembre 009 Trovare le soluzioni della seguente disequazione: x + +
DettagliRichiami sullo studio di funzione
Richiami sullo studio di funzione Per studiare una funzione y = f() e disegnarne un grafico approssimativo, possiamo procedere in ordine secondo i seguenti passi:. determinare il campo di esistenza (o
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliG5. Studio di funzione - Esercizi
G5 Studio di funzione - Esercizi Tracciare il grafico delle seguenti funzioni I grafici delle seguenti funzioni sono al termine degli esercizi Per gli esercizi con l asterisco non è richiesta, date le
DettagliEsercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione
Esercizi di Matematica per le Scienze Studio di funzione A.M. Bigatti e G. Tamone Esercizi Studio di funzione Esercizio 1. Disegnare il grafico di una funzione continua f che soddisfi tutte le seguenti
DettagliIstituzioni di Matematica I
Istituzioni di Matematica I Le soluzioni proposte costituiscono solo una traccia di possibili soluzioni (lo studente deve giustificare i vari risultati), possono esserci altri modi, altrettanto corretti,
DettagliUniversità degli Studi della Calabria Facoltà di Ingegneria. 17 luglio 2012
Università degli Studi della Calabria Facoltà di Ingegneria Correzione della Seconda Prova Scritta di nalisi Matematica 7 luglio cura dei Prof. B. Sciunzi e L. Montoro. Seconda Prova Scritta di nalisi
DettagliSoluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. 2012/2013
Soluzioni dei problemi della maturità scientifica A.S. / Nicola Gigli Sun-Ra Mosconi June, Problema. Il teorema fondamentale del calcolo integrale garantisce che Quindi f (x) = cos x +. f (π) = cos π +
DettagliMatematica 2. Derivate Esercizi. y=sen( x 4 3x) y' =cos(x 4 3x)(4x 3 3) y=logsen( x x) y' = sen(x 4 +3x) cos(x4 +3x)(4x 3 +3)
Matematica 2 Derivate Esercizi y=sen( 4 3) y' =cos( 4 3)(4 3 3) y=logsen( 4 1 3) y' = sen( 4 +3) cos(4 +3)(4 3 +3) y=sen 2 ( 4 3) y' =2sen( 4 3 )cos( 4 3)(4 3 3) Funzioni ad una sola variabile y=f() è
DettagliEsercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.
Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa
DettagliMassimi e minimi di una funzione razionale fratta Francesco Daddi - 18 maggio 2010
Francesco Daddi - 18 maggio 2010 Esempio 1. Studiare la funzione f x 4 x 8 x 2 3 x 3. R (si osservi che il denominatore non si annulla mai); la funzione ha uno zero in x 2. La funzione è positiva per x
DettagliCorso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 41 1 Derivata
DettagliTraccia n.1 Studiare il comportamento della funzione: 3x + ex 3x e x. Svolgimento
Traccia n. Studiare il comportamento della funzione: Svolgimento f(x) = 3x + ex 3x e x Determinazione del campo di esistenza, E[f]. La funzione si presenta come rapporto di due funzioni; il campo di esistenza
Dettaglif(x) = 1 x 2 Per determinare il dominio di f(x) dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero
. Data la funzione approssimarne il grafico. f() = 2 Per determinare il dominio di f() dobbiamo imporre che il determinante sia diverso da zero 2 0 = 2 = ± perciò il dominio ` D = R \ {, } =], [ ], [ ],
DettagliORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO 1
www.matefilia.it ORDINAMENTO 2003 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO Tra i rettangoli aventi la stessa area di 6 m 2 trovare quello di perimetro minimo. Indicate con x ed y le misure della base
DettagliFUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE INTERVALLI Per definire il campo di esistenza (o dominio) di una funzione reale di variabile reale y=f()si devono indicare talvolta insiemi di numeri reali che su
DettagliEsercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni
Esercizi proposti 1. Calcolare la derivata prima f () per le seguenti funzioni: a) f() = c) f() = ( 1 + 1 b) f() = 1 arctan ) d) f() = cos ( ( + ) 5) e) f() = 1 + sin 1 f) f() = arcsin 1. Determinare i
DettagliTipologia delle funzioni studiate: 1. y= ax n + bx n y= e x 3. y= (ax + b)/ (cx + d) 4. y= (ax 2 + b) (cx + d)
- ricerca dei punti di flesso - ricerca dell asintoto orizzontale - ricerca dell asintoto verticale - ricerca dell asintoto obliquo - ricerca dei punti di intersezione con gli assi Tipologia delle funzioni
DettagliUniversità degli Studi di Ancona Corso di Laurea in SS.FF.NN. Corso di MATEMATICA (A.A. 2002/2003) Docente: Prof. Piero MONTECCHIARI
Università degli Studi di Ancona Corso di Laurea in SS.FF.NN. Corso di MATEMATICA (A.A. /3) Docente: Prof. Piero MONTECCHIARI STUDIO DI FUNZIONI Scritti dal tutore Dario GENOVESE 1 Dominio La prima cosa
Dettagli1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.
Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente
Dettagli(1;1) y=2x-1. Fig. G4.1 Retta tangente a y=x 2 nel suo punto (1;1).
G4 Derivate G4 Significato geometrico di derivata La derivata di una funzione in un suo punto è il coefficiente angolare della sua retta tangente Esempio G4: La funzione = e la sua retta tangente per il
DettagliRicerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima
Massimi e minimi con la derivata prima pag. 1 di 6 Ricerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima Ricordiamo che il significato geometrico della derivata prima è quello di coefficiente angolare
DettagliTempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. 1. Disegnare il graco della funzione: [10 punti]
Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. Metodi Matematici per l'economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 202/203 7 gennaio 203. Disegnare il graco della funzione: [0 punti]
DettagliStudi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x
Studi di funzione D. Barbieri Esercizi Esercizio Esercizio Studiare comportamento asintotico e monotonia di f(x) = x + x4 + 4x Studiare il comportamento asintotico di f(x) = + x x + + e x Esercizio 3 Determinare
DettagliStudio di una funzione razionale fratta
Studio di una funzione razionale fratta Nella figura è rappresentata la funzione 1. Quale tra gli insiemi proposti è il suo CDE? 2. La funzione presenta un asintoto verticale di equazione... x = 0 x =
DettagliSecondo parziale di Matematica per l Economia (esempio)
Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) lettere E-Z, a.a. 206 207 prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta
DettagliTemid esamesvolti-1. Analisi delle funzioni
Temi d esame svolti - 1 1 Temid esamesvolti-1 Analisi delle funzioni (91003) 1 Si consideri la funzione definita a tratti su tutto R: ½ + sin 1 f() =, 6= 0 k, =0 (a) Per quale valore di k la funzione è
DettagliMatematica e Statistica per Scienze Ambientali
per Scienze Ambientali Applicazioni delle derivate - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Dicembre 2013 Esercizio Un area rettangolare deve essere recintata usando
DettagliMatematica classe 5 C a.s. 2012/2013
Matematica classe 5 C a.s. 2012/2013 Asintoti e grafici 1) Una funzione y = f(x) gode delle seguenti caratteristiche: D / 4, y 0 se x 0 x 2, lim, 3. Rappresentare un grafico qualitativo della funzione.
DettagliESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012
ESERCIZI DI METODI MATEMATICI PER L ECONOMIA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI FERRARA A.A. 2011/2012 1. Esercizi 3 1. Studiare la seguente funzione FINO alla derivata prima, con tracciamento di grafico ed indicazione
DettagliScheda elaborata dalla prof.ssa Biondina Galdi Docente di Matematica
Tutorial - Studio di una funzione reale di variabile reale f : x R y = f (x) R Una funzione può essere: - 1 - algebrica ( razionale o irrazionale, intera o fratta) Classificare la trascendentale ( esponenziale,
DettagliCorso di Laurea in Informatica Sede di Brindisi Esame di Analisi Matematica 25 giugno ex+1 x 2 2x. f (x) =
25 giugno 215 f (x) = ex+1 x 2 2x 2. Si calcoli il seguente integrale: 4 2 x log(x 2 1) dx. 3. Si enunci la definizione di funzione continua. 4. Si enunci il teorema di Fermat e, facoltativamente, lo si
DettagliLaurea triennale in Informatica Corso di Analisi matematica (A) a.a. 2007/08 9 giugno 2008
9 giugno 2008 1. Data la funzione f(x) = x e 1/(x2 4), (c) stabilire se f ammette punti singolari e in caso affermativo classificarli; calcolare la derivata prima di f e utilizzarla per studiare la monotonia
Dettagli= y h. m x0 (h) = y Q y P x Q x P. f(x 0 + h) f(x 0 )
ESERCIZI DI MATEMATICA: SCHEDA n.1 su derivate: la definzione Classe 5B Sc.Soc. Data:...... Teoria in sintesi. Data una funzione y = f(x) denita intorno ad x 0 (ovverosia il dominio contiene un intervallo
DettagliESERCIZI DA SVOLGERE PER MAGGIO (la parte in verde, il resto lo dovreste avere già svolto).
ESERCIZI DA SVOLGERE PER MAGGIO (la parte in verde, il resto lo dovreste avere già svolto). 1. Data la funzione : x 2 e x minimo e di massimo. Determinare inoltre gli eventuali flessi e gli intervalli
DettagliEsame di MATEMATICA CORSO BASE del
Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio 1. Si consideri il seguente sistema 2x 3y + z =5 x ky +2z = k kx y z = 1 Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro
DettagliNOME:... MATRICOLA:... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 2009/2010 Calcolo 1, Esame scritto del 19.01.2010
NOME:... MATRICOLA:.... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 009/00 Calcolo, Esame scritto del 9.0.00 Data la funzione fx = e /x x x +, a determinare il dominio massimale di f ; b trovare tutti gli asintoti
Dettaglix log(x) + 3. f(x) =
Università di Bari, Corso di Laurea in Economia e Commercio Esame di Matematica per l Economia L/Z Dr. G. Taglialatela 03 giugno 05 Traccia dispari Esercizio. Calcolare Esercizio. Calcolare e cos log d
DettagliLaurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile
Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BOLOGNA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI RIMINI. MATEMATICA PER L ECONOMIA Prof.ssa Maria Letizia Guerra
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BOLOGNA FACOLTÀ DI ECONOMIA DI RIMINI MATEMATICA PER L ECONOMIA Prof.ssa Maria Letizia Guerra (CLEM) ESERCIZI RISOLTI COMPITO DEL -6-8 Esercizio Si stima che domanda di un certo
DettagliSia y = f(x) definita in un intervallo I. x 0 è punto di massimo assoluto. x 0 è punto di minimo assoluto. x 0 è punto di massimo relativo o locale se
PUNTI ESTREMANTI E PUNTI STAZIONARI. MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI E RELATIVI. TEOREMI DI FERMAT, ROLLE E LAGRANGE. CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI PER MASSIMI E MINIMI RELATIVI. PROBLEMI DI MASSIMO E
DettagliISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA
ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a
DettagliFunzioni derivabili (V. Casarino)
Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente
DettagliUniversità di Foggia - Facoltà di Economia. Prova scritta di Matematica Generale - Vecchio Ordinamento - 04 giugno 2002
Università di Foggia - Facoltà di Economia Prova scritta di Matematica Generale - Vecchio Ordinamento - 04 giugno 00 Cognome e nome............................................ Numero di matricola...........
DettagliDERIVATA di una funzione
DERIVATA di una unzione Sia e * A punto di accumulazione di A : A R * è il RAPPORTO INCREMENTALE * Il rapporto incrementale di calcolato in * rappresenta il coeiciente angolare della secante passante per
DettagliSoluzione di Adriana Lanza
Soluzione Dimostriamo che f(x) è una funzione dispari Osserviamo che in quanto in quanto x è una funzione dispari è una funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari Pertanto
DettagliEsercitazioni di Analisi Matematica FUNZIONI CUBICHE. Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere:
FUNZIONI CUBICHE Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere: 1) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 2) y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 3) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 4 4) y = fx) = x 3 +
DettagliQuale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)= e x /x +1 2) f(x)= logx/x 3) f(x)= e x /x 4) f(x)= e x /(x-2)
Quale delle funzioni elencate ha il grafico in figura? 1) f(x)= e x /x +1 2) f(x)= logx/x 3) f(x)= e x /x 4) f(x)= e x /(x-2) SOLUZIONE: Si esclude la 4) perché non è definita per x=2 e la 2) perché definita
DettagliFunzioni: studio di funzione e grafico
Capitolo Funzioni: studio di funzione e grafico Esercizi Esercizio.. Disegnare il grafico di una funzione continua f che soddisfi tutte le seguenti condizioni: Il dominio di f è l i n s i e m e A =(, )
DettagliAnalisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1
Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)
DettagliProgettazione modulare Percorso di istruzione di 3 livello, Servizi Socio Sanitari Modulo n.1: Insiemi numerici e funzioni MATEMATICA
Progettazione modulare Modulo n.1: Insiemi numerici e funzioni DURATA PREVISTA Ore in presenza 12 Ore a distanza 5 Totale ore 17 individuare le caratteristiche di un insieme numerico; classificare le funzioni,
DettagliSTUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE PROF.SSA ROSSELLA PISCOPO 2 di 35 Indice 1 SCHEMA PER LO STUDIO DEL GRAFICO DI FUNZIONE... 4 2 ESEMPI... 11 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 FUNZIONE ESPONENZIALE... 11 FUNZIONE
DettagliUniversità degli Studi di Siena Correzione Prova intermedia di Matematica Generale (A.A ) 11 novembre 2015 Compito
Università degli Studi di Siena Correzione Prova intermedia di Matematica Generale (A.A. 15-16) 11 novembre 2015 Compito ) L'insieme evidenziato in rosso nella figura che segue è. ). Posto si ha che può
Dettaglib x 2 + c se x > 1 determinare a, b e c in modo che f sia continua in R, determinare a, b e c in modo che f sia anche derivabile in R
9.. Esercizio. Data la funzione x tg( π x) se x < 4 f(x) = a se x = b x 2 + c se x > ANALISI Soluzione esercizi 9 dicembre 20 determinare a, b e c in modo che f sia continua in R, determinare a, b e c
DettagliStudio di una funzione. Schema esemplificativo
Studio di una funzione Schema esemplificativo Generalità Studiare una funzione significa determinarne le proprietà ovvero Il dominio. Il segno. Gli intervalli in cui cresce o decresce. Minimi e massimi
DettagliSTUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) =
STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE Studiamo la funzione f di una variabile reale, a valori in R, definitada. Il dominio di f. f() = Z Denotiamo con g la funzione integranda. Allora g(t) = numeri reali tali
DettagliANALISI MATEMATICA 1. (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte
ANALISI MATEMATICA 1 (Ingegneria Industriale, corsi A e B) Esempi di prove scritte Rispondere ai quesiti a risposta multipla Qi, risolvere gli esercizi Ei, enunciare le definizioni Di e svolgere le dimostrazioni
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA 1. Prova scritta del 14 gennaio 2017 Fila 1.
Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica ANALISI MATEMATICA Prova scritta del gennaio 207 Fila. Esporre il procedimento di risoluzione degli esercizi in maniera completa e leggibile.. (Punti 6) Determinare
DettagliMatematica per le Applicazioni Economiche I (M-P)
Matematica per le Applicazioni Economiche I (M-P) Corsi di Laurea in Economia Aziendale, Economia e Commercio, a.a. 06-7 Esercizi su Calcolo Differenziale. Per la seguente funzione, dato 0, si utilizzi
DettagliCriterio di Monotonia
Criterio di Monotonia Criterio di monotonia: se f è una funzione derivabile in (a,b), si ha: f (x) 0 x (a,b) f è debolmente crescente in (a,b) f (x) 0 x (a,b) f è debolmente decrescente in (a,b) Nota:
DettagliGli asintoti di una funzione sono rette, quindi possono essere: rette verticali o rette orizzontali o rette oblique.
Asintoti Gli asintoti di una funzione sono rette, quindi possono essere: rette verticali o rette orizzontali o rette oblique. Asintoti verticali Sia 0 punto di accumulazione per dom(f). La retta = 0 è
DettagliDERIVATE. 1.Definizione di derivata.
DERIVATE Definizione di derivata Sia y = f( una funzione continua Fissato un punto o appartenente all insieme di definizione della funzione y = f(,sia Po = (; f(o il punto di ascissa o appartenente al
DettagliMatematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)
Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (24/06/20) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 200/ Tema A Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O,
DettagliPrimo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 18 Gennaio Soluzioni
Primo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 8 Gennaio 06 Soluzioni Esercizio Siano z e z due numeri complessi con modulo e argomento rispettivamente (ρ, θ ) e (ρ, θ ) tali
Dettagli1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, () December 30, / 26
ANALISI 1 1 UNDICESIMA LEZIONE DODICESIMA LEZIONE TREDICESIMA LEZIONE Derivata - definizione e teoremi di calcolo delle derivate Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat Teorema di Lagrange Monotonia
DettagliEsercizi sullo studio di funzione
Esercizi sullo studio di funzione Seconda parte Come visto nella prima parte, per poter descrivere una curva, data la sua equazione cartesiana esplicita y f () occorre procedere secondo l ordine seguente:
DettagliIn un piano, riferito ad uni sistema cartesiano ortogonale Oxy, si considerino le parabole di equazione:
Maturità scientifica 966/967 Sessione estiva In un piano, riferito ad uni sistema cartesiano ortogonale Oy, si considerino le parabole di equazione: y m m essendo m un parametro diverso da zero. (a) Si
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliSCIENTIFICO COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA PROBLEMA 2. Figura 1
www.matefilia.it SCIENTIFICO COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA 216 - PROBLEMA 2 Nella figura 1 è rappresentato il grafico Γ della funzione continua f: [, + ) R, derivabile in ], + ), e sono indicate le coordinate
DettagliEsercizi proposti 4 (capitolo 8)
Esercizi proposti 4 capitolo 8). [8., #5 p. 9] Calcolare i possibili punti di estremo di gx) = x ln x, per x 0, + ). Soluzione. Ricordiamo che un punto di estremo è un punto del dominio della funzione
Dettaglidato da { x i }; le rette verticali passanti per
Schema riepilogativo per lo studio di una funzione reale di una var. reale. Studio grafico-analitico delle funzioni reali di variabile reale y = f ( Sequenza dei passi utili allo studio di una funzione
DettagliIL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero
IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno
DettagliPolitecnico di Torino Prima Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche-I. f(x) = e 2x e 2.
Politecnico di Torino Prima Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche-I A COGNOME e NOME Rondoni (01BJV, W0033) Corgnier Esercizio 1. Sia data la funzione f(x) definita da f(x) = e 2x
DettagliEsercizi 6: limiti di funzioni e applicazioni. Calcolare i seguenti limiti. Esercizio 1. lim x x. 2 x. Soluzione. 0. Esercizio 2.
Matematica ed Informatica+Fisica ESERCIZI Modulo di Matematica ed Informatica Corso di Laurea in CTF - anno acc. 2013/2014 docente: Giulia Giantesio, gntgli@unife.it Calcolare i seguenti limiti. Esercizio
Dettagli1) D0MINIO. x x 4x + 3 Determinare il dominio della funzione f (x) = x Deve essere
) DMINIO + 3 Determinare il dominio della funzione f ) + 3 Deve essere Ovviamente, inoltre: se > + 3 ) 3) quindi < o 3 se < + 3, + 3 quindi 7 Determinare il dominio della funzione f ) + 5 Deve essere +
DettagliI TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE 1. DEFINIZIONI. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.1 TEOREMA DELL ESTREMANTE LOCALE. TEOREMI DI ROLLE, CAUCHY, LAGRANGE.3 TEOREMI CONSEGUENTI AL T. DI LAGRANGE 3. DETERMINAZIONE
DettagliIstituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na)
LO STUDIO DI FUNZIONE Lo studio di funzione è una delle parti più interessanti dell analisi perché permette di utilizzare le numerose conoscenze acquisite nel corso degli anni in un unico elaborato. Se
DettagliConsorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni
Consorzio Nettuno - Corso di Matematica 1 Schede di lavoro guidato per le esercitazioni A cura di Sebastiano Cappuccio SCHEDA N 20 ARGOMENTO: Grafici di funzioni numeriche reali Asintoti orizzontali, verticali,
DettagliTeoremi fondamentali dell'analisi Matematica versione 1
Teoremi fondamentali dell'analisi Matematica versione 1 Roberto Boggiani 7 novembre 2012 1 Richiami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo che dati due punti del piano A(x
DettagliLinee guida da seguire per lo svolgimento dello studio di funzione Studiare la seguente funzione: Insieme di definizione: f(x) < 0
Linee guida da seguire per lo svolgimento dello studio di funzione Studiare la seguente funzione: Insieme di definizione: f(x) > 0 f(x) = 0 f(x) < 0 Limiti significativi per f: Equazione degli asintoti
DettagliIngegneria civile - ambientale - edile
Ingegneria civile - ambientale - edile Analisi - Prove scritte dal 7 Prova scritta del 9 giugno 7 Esercizio Determinare i numeri complessi z che risolvono l equazione Esercizio (i) Posto a n = n i z z
DettagliLiceo Classico D. Alighieri A.S Studio di Funzione. Prof. A. Pisani. Esempio
Liceo Classico D. Alighieri A.S. 0-3 y Data la funzione: Studio di Funzione tracciatene il grafico nel piano cartesiano. Prof. A. Pisani Esempio ) Tipo e grado della funzione La funzione è analitica, data
DettagliEstremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima.
Estremi 1. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = e x (x 1)(y 1) + (y 1).. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = y (y + 1) cos x. 3. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = xye x +y..
DettagliCOMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA QUESTIONARIO QUESITO 1
www.matefilia.it COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA 7 - QUESTIONARIO QUESITO Definito il numero E come: E = xe x dx, dimostrare che risulta: x e x dx = e E esprimere x e x dx in termini di e ed E. Cerchiamo
DettagliIV Liceo Artistico Statale A.Caravillani. Anno Scolastico 2016/2017. Programmazione Didattica. Matematica
IV Liceo Artistico Statale A.Caravillani Anno Scolastico 2016/2017 Programmazione Didattica Matematica Classe V sez. D Modulo 1 Modulo 2 Modulo 3 Modulo 4 Titolo Funzioni Limiti Derivate Lo studio delle
DettagliFUNZIONI ALGEBRICHE PARTICOLARI
FUNZIONI ALGEBRICHE PARTICOLARI (al massimo di secondo grado in x) Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4 B) September 9, 003 1. FUNZIONI
Dettagli