Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. 1. Disegnare il graco della funzione: [10 punti]

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1 Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. Metodi Matematici per l'economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 202/203 7 gennaio 203. Disegnare il graco della funzione: [0 punti] f(x) = (2x 2 3x) e x La funzione rappresenta per x > 2 la domanda di un bene in funzione del tempo x espresso in anni. Dall'esame del graco di f, al trascorrere del tempo, cosa si deduce riguardo alla domanda di quel bene? 2. Calcolare il seguente integrale indenito. [6 punti] ln(5x 3) dx Inoltre, determinare la primitiva che per x = 5 vale Discutere, al variare di k R, il sistema: [7 punti] Ax = B essendo A = k k k 2, B = k 0 Risolvere poi il sistema per k = 3.. Il ricavo totale e il costo totale derivanti dalla produzione e dalla vendita di un bene sono espressi dalle funzioni: [ punti] R(x) = 8x x C(x) = 2x + 20 dove x è la quantità prodotta. Determinare: a) la funzione del protto; b) la quantità da produrre e da vendere per conseguire il massimo utile; c) i limiti della produzione per non essere in perdita. 5. Dimostrare che la funzione [ punti] f(x) = ln(x + 2) soddisfa le ipotesi del Teorema di esistenza degli zeri nell'intervallo [ ; 2]. Dire, inoltre, se lo zero della funzione è positivo o negativo.

2 Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. Metodi Matematici per l'economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 202/203 7 gennaio 203. Disegnare il graco della funzione: [0 punti] f(x) = (3x 2 8x) e x La funzione rappresenta per x > 3 la domanda di un bene in funzione del tempo x espresso in anni. Dall'esame del graco di f, al trascorrere del tempo, cosa si deduce riguardo alla domanda di quel bene? 2. Calcolare il seguente integrale indenito. [6 punti] ln(x + 3) dx Inoltre, determinare la primitiva che per x = 2 vale Discutere, al variare di k R, il sistema: [7 punti] Ax = B essendo A = k k k 2, B = k Risolvere poi il sistema per k = 2.. Il ricavo totale e il costo totale derivanti dalla produzione e dalla vendita di un bene sono espressi dalle funzioni: [ punti] R(x) = 6x x C(x) = 3x + 30 dove x è la quantità prodotta. Determinare: a) la funzione del protto; b) la quantità da produrre e da vendere per conseguire il massimo utile; c) i limiti della produzione per non essere in perdita. 5. Dimostrare che la funzione [ punti] f(x) = ln(x + 3) soddisfa le ipotesi del Teorema di esistenza degli zeri nell'intervallo [ 2; ]. Dire, inoltre, se lo zero della funzione è positivo o negativo.

3 Tempo massimo 2 ore. Consegnare solamente la bella copia. Metodi Matematici per l'economia A-K Corso di Laurea in Economia - anno acc. 202/203 7 gennaio 203. Disegnare il graco della funzione: [0 punti] f(x) = (x 2 + x + ) e x La funzione rappresenta per x > 0 la domanda di un bene in funzione del tempo x espresso in decine di anni. Dall'esame del graco di f, al trascorrere del tempo, cosa si deduce riguardo alla domanda di quel bene? 2. Calcolare il seguente integrale indenito. [6 punti] ln(3x 7) dx Inoltre, determinare la primitiva che per x = 8 3 vale Discutere, al variare di k R, il sistema: [7 punti] Ax = B essendo A = k k 2 3, B = 0 k Risolvere poi il sistema per k =.. Il ricavo totale e il costo totale derivanti dalla produzione e dalla vendita di un bene sono espressi dalle funzioni: [ punti] R(x) = 7x x C(x) = 3x + 20 dove x è la quantità prodotta. Determinare: a) la funzione del protto; b) la quantità da produrre e da vendere per conseguire il massimo utile; c) i limiti della produzione per non essere in perdita. 5. Dimostrare che la funzione [ punti] f(x) = ln( + x) soddisfa le ipotesi del Teorema di esistenza degli zeri nell'intervallo [ 3; ]. Dire, inoltre, se lo zero della funzione è positivo o negativo.

4 Brevi risposte ai quesiti I compiti presentano le stesse dicoltà e sono, in parte, uguali: pertanto si riportano solo le risposte relative al primo compito.. f(x) = (2x 2 3x) e x Dominio: R Intersezione con gli assi: (0; 0) A( 3 2 ; 0) Segno: f(x) > 0 2x 2 3x > 0 x < 0, x > 3 2 Limiti ed asintoti: lim x + (2x2 3x) e x = 0 quindi y = 0 è asintoto orizzontale per x + non esiste l'asintoto orizzontale per x + Ricerca asintoto obliquo: lim x (2x2 3x) e x = + (2x 2 3x) e x lim x x lim 2x x e x = Non esiste l'asintoto obliquo. Derivata prima: f (x) = ( 2x 2 + 7x 3) e x f (x) 0 2x 2 7x Soluzione: 2 x 3 La funzione è strettamente crescente in ] 2 ; 3[ e strettamente decrescente in ] ; 2 [ ]3; + [ x = 2 punto di minimo relativo (e assoluto) x = 3 punto di massimo relativo. Le coordinate dei punti di massimo e minimo relativo sono: m( 2 ; e ) M(3; 9 e 3 ). Derivata seconda: f (x) = (2x 2 x + 0) e x f (x) 0 2x 2 x Soluzione: x = x 2 = + Pertanto la funzione ha due punti di esso in x =, 5 di ordinata f(x ) 0, 25 e x 2 = +, 35 di ordinata f(x 2 ) 0, 32. La funzione è convessa in ] ; [ ] + ; + [ ed è concava in ] ; + [.

5 Graco: y m 3 2 F M F 2 x La domanda del bene per x > 2 è crescente no a raggiungere il massimo dopo 3 anni. Per x > 3 la domanda decresce no a tendere a zero per x ln(5x 3) dx = ln(5x 3) dx Integrando per parti si ottiene: x ln(5x 3) x 5 dx = x ln(5x 3) 5x 3 5x = x ln(5x 3) dx = x ln(5x 3) 5x 3 = x ln(5x 3) x 3 ln(5x 3) + c 5 5x 5x 3 dx = dx 3 5x 3 dx = Sostituendo alla x il valore 5 si ricava 0 = 5 + c da cui c = Si ha che deta = k 2. Risolvendo l'equazione di II grado associata, si trova subito che se k ±, allora deta 0, il sistema è di Cramer e quindi ha una sola soluzione.

6 Se k = il rango di (A/B) e il rango di A sono uguali a 2, il sistema ammette soluzioni. Se k = il rango di (A/B) è 3 e il rango di A è 2, dunque il sistema è incompatibile e non ammette soluzioni. Ponendo k = 3 il sistema è di Cramer, quindi esiste una sola soluzione (ottenuta applicando la regola di Cramer) S = {( 5 2, 3 2, 3)}.. La funzione protto è f(x) = R(x) C(x) = 8x x (2x + 20) = 8x x 20 Il massimo protto si ottiene studiando il segno della derivata prima della funzione, ossia f (x) = 6x Ponendo f (x) 0 si ottiene che x , 6. Dunque x = , 6 è il punto di massimo relativo e assoluto della funzione in corrispondenza del quale si ottiene il massimo protto. Equivalentemente, si poteva risolvere il problema gracamente, osservando che, la funzione y = 8x x 20 ha come graco una parabola con la concavità rivolta verso il basso e vertice nel punto di ascissa x = 29, che corrisponde al punto di massimo assoluto. 8 Per determinare i valori di x per cui non si è in perdita, bisogna porre la funzione protto maggiore o uguale a zero: f(x) 0 8x 2 58x , 36 x 6, Il dominio della funzione f(x) = ln(x + 2) è ] 2; + [. Poiché f è continua nel suo dominio, allora f è continua in [ ; 2]; inoltre abbiamo che f( ) = ln() = < 0 f(2) = ln() 0, 386 > 0 Dunque f soddisfa le ipotesi del teorema di esistenza degli zeri in [ ; 2], quindi esiste x 0 ] ; 2[ tale che f(x 0 ) = 0. Troviamo ora il valore di x 0 : Lo zero della funzione in ]-;2[ è positivo. ln(x + 2) = 0 ln(x + 2) = x + 2 = e x = e 2 0, 72 > 0