Compito del 27 Gennaio Esercizio 1 Sono dati i vettori u = (2, 1, 3) e v = ( 1, 4, 2), nonché le matrici

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1 Compito del 27 Gennaio 2015 Sono dati i vettori u = (2, 1, 3) e v = ( 1, 4, 2), nonché le matrici , B = a) Calcolare det(a B T ) b) Calcolare un vettore perpendicolare sia a u che a v. c) I vettori u e v sono tra loro perpendicolari? Discutere tramite il criterio di Rouché-Capelli se il seguente sistema algebrico ammette un unica soluzione { x y = 0 3x 2y = 2 2x 4y = 4 Determinare l equazione parametrica della retta passante per il punto P 0 = (2, 1, 1) e perpendicolare al piano 2x 3y + 5z 6 = 0 Determinare il dominio e calcolare la derivata della funzione log x x 1 Determinare gli eventuali punti di minimo e massimo stazionari della seguente funzione x e 1 2x2 Esercizio 6 Determinare il polinomio di Taylor di secondo grado della funzione sin x + 2x + 1 per x 0 = π/2.

2 Esercizio 7 (solo per Pianificazione) Calcolare le derivate f xx e f yy nel punto (1, 1) della funzione f(x, y) = x 2 y 2 4x 2 y 3 + e x y Esercizio 8 Determinare tramite un integrale definito l area della porzione nel piano x 0 individuata dalla parabola y = x e dalle rette y = x e x = 0. Esercizio 9 (solo per Architettura) Una serie di 100 dati continui è stata raggruppata nelle seguenti tre classi con le seguenti frequenze: 25, 40, 35. Calcolare il valor medio approssimato. [2, 8) [8, 10) [10, 14] Compito del 12 Febbraio 2015 Sono dati i vettori u = (2, 1, 3) e v = ( 1, 4, 2), nonché le matrici 4 1, B = a) Determinare un vettore perpendicolare a entrambi i vettori u e v. b) I vettori u e v sono tra loro perpendicolari? c) Determinare la matrice (A B) 1 Dato il sistema algebrico { x ky = 1 3x 2y = 1 a) determinare per quale valore di k il sistema non ammette soluzioni b) posto k = 5 calcolarne la soluzione utilizzando la regola di Cramer. Determinare l equazione del piano passante per il punto P 0 = (1, 1, 1) e perpendicolare al vettore u = (2, 1, 4).

3 Determinare il dominio e calcolare la derivata della funzione x x2 1 Determinare gli eventuali punti di minimo e massimo stazionari della seguente funzione x 1 + x 2 Esercizio 6 Determinare l equazione della retta tangente alla funzione cos x + 2x + 1 per x 0 = π/2. Esercizio 7 (solo per Pianificazione) Calcolare le derivate prime e il gradiente nel punto (1,1) della funzione f(x, y) = x 2 y 4x 2 y 3 + 2x y Esercizio 8 Determinare tramite un integrale definito l area della porzione di piano individuata dalla parabola y = x e dalla retta y = 1. Esercizio 9 (solo per Architettura) È data la seguente serie di 10 dati statistici 4, 3, 2, 6, 1, 6, 6, 5, 4, 5. Determinare le frequenze assolute, la moda, e la media, disegnandone il diagramma a colonne.

4 Compito del 23 Giugno 2015 (versione A) Utilizzando il criterio di Rouché-Capelli, determinare k in modo che il seguente sistema abbia un unica soluzione { kx + 2y = 2 3x 2y = 2 x + 3y = , B = Calcolare (A B) 1 Sono date le funzioni: sin x e g(x) = 1/ x a) determinare f(g(x)) e g(f(x)) b) calcolare la derivata di f(g(x)). Determinare la retta tangente alla funzione x 2 4x log(2 x) per x 0 = 1. Determinare gli eventuali punti di minimo e massimo stazionario della funzione x e 2x. Esercizio 6 (solo per Pianificazione) Calcolare nel piano x 0, tramite un integrale definito, l area effettiva della porzione di piano compresa tra la parabola y = x e la retta y = 1. Esercizio 7 (solo per Architettura) Una serie di 100 dati continui è stata raggruppata nelle seguenti tre classi [2, 8) [8, 10) [10, 14] con le seguenti frequenze: 20, 50, 30. Disegnare il l istogramma e calcolare il valor medio approssimato.

5 Compito del 23 Giugno 2015 (versione B) Utilizzando il criterio di Rouché-Capelli, determinare k in modo che il seguente sistema abbia un unica soluzione { kx + 3y = 2 x 2y = 2 3x y = , B = Calcolare (A B) 1 Sono date le funzioni: tan x e g(x) = 1 x a) determinare f(g(x)) e g(f(x)) b) calcolare la derivata di f(g(x)). Determinare la retta tangente alla funzione 4x 3x 2 e 2 x per x 0 = 2. Determinare gli eventuali punti di minimo e massimo stazionario della funzione x e 3x. Esercizio 6 (solo per Pianificazione) Calcolare nel piano x 0, tramite un integrale definito, l area effettiva della porzione di piano compresa tra la parabola y = x e la retta y = 5. Esercizio 7 (solo per Architettura) Una serie di 100 dati continui è stata raggruppata nelle seguenti tre classi [2, 8) [8, 10) [10, 14] con le seguenti frequenze: 20, 50, 30. Disegnare l istogramma e calcolare il valor medio approssimato.

6 Compito del 7 Luglio 2015 (versione A) Calcolare (A B 2B T ) 1 1 2, B = Determinare, usando la regola di Cramer, la soluzione del seguente sistema algebrico sottospecificato { x 3y + z = 1 3x + 2y + 2z = 2 Determinare il dominio della funzione e x x 1 4 x 2 Determinare gli eventuali punti di minimo, massimo e flesso della seguente funzione 2x 3 3x Determinare l equazione della retta tangente alla funzione sin 2 x cos x + x per x 0 = π/2. Esercizio 6 (solo per Pianificazione) Determinare nel piano x 0, tramite un integrale definito, l area della porzione individuata dalle parabole y = x e y = x 2. Esercizio 7 (solo per Architettura) È data la seguente serie di 20 dati statistici 4, 3, 2, 6, 1, 6, 6, 5, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 4, 2, 1, 2, 4. Determinare le frequenze assolute, la moda, e la media, disegnandone il diagramma a colonne.

7 Compito del 7 Luglio 2015 (versione B) Calcolare (A B + B 1 ) T ( ), B = Determinare, usando la regola di Cramer, la soluzione del seguente sistema algebrico sottospecificato { x y + 4z = 1 3x 2y + z = 2 Determinare il dominio della funzione e x+1 x log(4 + x) Determinare gli eventuali punti di minimo, massimo e flesso della seguente funzione x 3 4x Determinare l equazione della retta tangente alla funzione cos 2 x sin x + 2x per x 0 = π. Esercizio 6 (solo per Pianificazione) Determinare nel piano x 0, tramite un integrale definito, l area della porzione individuata dalle parabole y = x 2 6 e y = 2x 2. Esercizio 7 (solo per Architettura) È data la seguente serie di 20 dati statistici 4, 3, 2, 6, 1, 6, 6, 5, 4, 5, 5, 6, 3, 4, 4, 4, 2, 1, 2, 4. Determinare le frequenze assolute, la moda, e la media, disegnandone il diagramma a colonne.

8 Compito dell 8 Settembre , B = Determinare il rango della matrice C = A B T Discutere tramite il criterio di Rouché-Capelli se il seguente sistema algebrico ammette o non ammette un unica soluzione { x y = 0 3x 2y = 2 2x 4y = 2 a) Determinare il dominio e calcolare la derivata della funzione e x 1 log(x + 3). b) Il dominio della funzione derivata è uguale a quello della funzione assegnata? a) Determinare i punti critici della seguente funzione x 2 e 1 x2. b) La funzione per x = 0 è concava o convessa? a) Determinare l equazione della retta tangente alla funzione sin x + tan x + 3 per x 0 = 0. Esercizio 6 (solo per studenti del Corso di Laurea in Pianificazione) Determinare tramite un integrale definito l area della porzione nel piano x 0 individuata dalla parabola y = x e dalle rette y = x e x = 0. Esercizio 7 (solo per studenti del Corso di Laurea in Architettura) Una serie di 100 dati continui è stata raggruppata nelle seguenti tre classi con le seguenti frequenze: 25, 40, 35. Calcolare il valor medio approssimato. [2, 8) [8, 10) [10, 14]