Modulo di Matematica

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1 Università degli Studi di Udine nno ccademico 5/6 Corso di Laurea in Biotecnologie Modulo di Matematica Esame del 4/7/6 N.B.: scrivere nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio consegnato. Tempo a disposizione:.5 ore Se x x fx) = + e x x gx) =, allora x x fx) gx) è B + C non ci sono elementi sufficienti per rispondere Se f è una funzione derivabile due volte in ]a, b[ e tale che f x ) =, f x ) < con x ]a, b[, allora B C x è punto di minimo relativo per f x è punto di massimo relativo per f x è punto di massimo assoluto per f nessuna delle precedenti 3 L equazione differenziale y = ty + y ) è B C un equazione lineare del primo ordine un equazione lineare del secondo ordine un equazione non lineare del primo ordine un equazione non lineare del secondo ordine 4 La funzione fx) = log /9 x è definita per x R B è integrabile in [7, 475] C è una funzione crescente è una funzione decrescente e concava 5 are la definizione di primitiva di una funzione f in un intervallo I.

2 6 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti proprietà: gx) = + x gx) = x gx) = x + gx) = 7 a) Enunciare il Teorema dei due carabinieri b) per ciascuno dei seguenti casi x + 5x + 3 gx) 3x3 sen 5x, con x +, + x x 3x gx) x, con x applicare il teorema nel caso fosse possibile farlo. 8 ata la funzione gx) = ex x a) determinare il dominio e il segno di g. Studiare in quali punti la funzione è continua e in quali derivabile; b) calcolare i iti agli estremi del dominio e trovare gli eventuali asintoti; c) determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, quelli in cui è decrescente, e gli eventuali punti di massimo/minimo relativo e/o assoluto; d) determinare gli intervalli in cui la funzione è concava e quelli in cui è convessa; e) trovare l equazione della retta tangente al grafico nel punto x = ; f) disegnare un grafico approssimativo di g. 9 ato il problema di Cauchy y = y4 + t 3 y) = a) dire se la funzione yt) = e t ) è soluzione del problema per t > ; b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui al punto precedente; oppure, alternativamente b ) calcolare i seguenti integrali [ 5 x + ) ] dx 4 x x 3x + x + 4 dx. Calcolare il polinomio di Taylor di grado di fx) = ln + x ) nel punto x =.

3 Soluzioni dell ppello di Matematica per Biotecnologie 4 luglio 6 Soluzioni dei quesiti dell esame del 4 luglio 6 C; ; 3 ; 4 B; 5 consultare il libro di testo. 6 In neretto si evidenziano le informazioni date dai iti. Il grafico della funzione è quindi completato a piacere linea sottile), per esempio: gx) x 7 a) consultare il libro di testo; b) nel primo caso si ha x + 5x + 3 = + /x 5 + 3/x = 5, 3x 3 5x + = e il teorema non può essere applicato, mentre nel secondo x x =, x sen x x 3x = sen x x x per cui il teorema può essere applicato e si ha x gx) =. x 3 /x3 5 + /x = +, 3x = =, 8 a) La funzione è definita se x cioè x /, perciò il dominio è = R \ {/} e la funzione, essendo quoziente di funzioni derivabili, è ivi continua e derivabile. Il numeratore è sempre positivo dunque la funzione è positiva per x < /, negativa per x > /. b) Ha senso andare a studiare i iti in / e a ±. Si ha [ ] [ e ] gx) = =, x + gx) = x /) ± =, quindi la funzione non ammette massimo né minimo, mentre, utilizzando il ite fondamentale e x /x p = +, p >, oppure, alternativamente, il Teorema di de L Hôpital) si ha gx) = e x /x /x = [ ] + =. Per quanto appena visto, la retta di equazione x = / è un asintoto verticale, mentre l asse x è un asintoto orizzontale a. Essendo gx) x = e x /x [ ] + /x = =, la funzione non ammette asintoti obliqui a +.

4 Soluzioni dell ppello di Matematica per Biotecnologie 4 luglio 6 c) La derivata prima è g x) = ex x) e x ) x) = 4ex x) x ). Poiché i fattori e x e x ) sono sempre positivi nel dominio, si ottiene <, se x ], + [, g x) =, se x =, >, se x ], /[ ]/, [, perciò la funzione è decrescente in ], + [, mentre è crescente in ], /[ e in ]/, [. In x = ammette un massimo relativo. Chiaramente, per il punto b) la funzione non ammette massimo né minimo assoluti. 8 4,5 - -,5,5, d) La derivata seconda è [ e g x x) e x] x ) e x x)x ) x) = 4 x ) [ 4 e x x) e x] x ) e x x)4 = 4 x ) 3 = 4ex 4x 8x + 5) x) 3. Poiché il polinomio 4x 8x + 5 è sempre positivo, la derivata seconda è positiva se e solo se x) 3 > cioè x < /. In definitiva g x) > se x ], /[ e g x) < se x ]/, + [ perciò la funzione è convessa in ], /[, mentre è concava in ]/, + [. e) L equazione della retta tangente al grafico nel generico punto x, gx )) di derivabilità per la funzione è y = x x )g x ) + gx ). Poiché g ) = e /3 e g ) = 8e /9, l equazione della retta tangente è y = 8 x + ) + 9e 3e. 9 a) Si ha y t) = e t ) e sostituendo si ottiene l equazione e t ) = e8t ) + e 6t ) t 3

5 Soluzioni dell ppello di Matematica per Biotecnologie 4 luglio 6 3 che non è identicamente soddisfatta per t > per esempio, per t = si ottiene 3). La funzione non è dunque soluzione. Si osservi che la funzione soddisfa invece la seconda condizione, essendo y) =. b) Scrivendo y = dy dt e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha y 4 + dy = t 3 dt e, siccome /t 3 = t 3, integrando y 4 + dy = t 3 dt = y 4 + dy = t + c, dove c è la generica costante d integrazione. Per le tabelle y 4 + dy = 8 8 y 4 + dt = y 4 + ) 8 y 4 + dt = 8 lny4 + ), e poiché yt) è positiva vicino a t = si ottiene 8 lny4 + ) = t + c y = 4 exp 8c 4 ) ) t. Imponendo la condizione y) = nella prima equazione) si ha ln 3/8 = /8 + c, da cui si ricava c = + ln 3)/8. Una soluzione è data dunque da yt) = 4 3 exp 4 ) ) t. lternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva per le equazioni a variabili separabili insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale) y z 3 t [ ] y [ z 4 + dz = s 3 ds = 8 lnz4 + ) = ] t s = 8 lny4 + ) 8 ln 3 = 8 t che risolta rispetto a y fornisce la soluzione cercata. b ) alle tabelle si ottiene [ 5 x + ) ] dx = 5 4 x x x x x dx 4 dx 4 x dx = 5 arcsen x x3 3 4x3/ 3/ 4 ln x + c = 5 arcsen x x x x 4 ln x + c, con c costante arbitraria. Per il Teorema fondamentale del calcolo e le tabelle si ha 3x + x + 4 dx = 3 x x + 4 dx + x + 4 dx+ = [ 3 lnx + 4) + arctg x ] = 3 ln Si ha f x) = x e f x) = +x ) xx = x da cui f ) = ln, f ) =, +x +x ) +x ) f ) = perciò il polinomio di Taylor cercato è P x) = fx ) + f x )x x ) + f x ) x x ) = ln x + ). + π 8.