Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 T Totale

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1 Es Es Es 3 Es 4 T Totale Analisi e Geometria COMPITO A Docenti: P Antonietti, F Cipriani, F Colombo, F Lastaria, G Mola, E Munarini, PTerenzi, C Visigalli Ingegneria Industriale Prova del /9/009 Cognome Nome Matricola Punteggi: Es=7 punti, Es=7 punti, Es3=4 punti, Es4= punti Istruzioni: Nello spazio sottostante gli esercizi devono essere riportati sia i risultati che i calcoli Tempo a disposizione: due ore Punteggio minimo per superare la prova: 8 punti Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore + x x dx Posto f(x) = x, si noti che f(x) > 0 sull intervallo di intgrazione (, + ) Di conseguenza è possibile utilizzare il criterio del confronto asitotico Si vede facilmente x che e f(x) (x ) / per x + f(x) x 3/ per x + Poichè, in virtù dei criteri generali di convergenza, le funzioni g(x) = (x ) / e x 3/ sono integrabili in senso generalizzato (sugli intervalli (, x 0 ) e (x 0, + ) rispettivamente, ove x 0 è un valore arbitrario strettamente compreso tra e + ), ne segue che f è integrabile in senso generalizzato su (, + ) Per calcolare il valore esatto dell integrale, procediamo al calcolo di una primitiva di f Operando la sostituzione t = x, con semplici conti si vede che x x dx = t + dt = / ( ) dt = t/ + Quindi + = ( arctan t/ ) + cost = x arctan + cost x x dx = lim M arctan M + lim m arctan m + = π

2 Sia data la seguente equazione differenziale y (t) = t [ y(x) + ] i) Esibire una formula di rappresentazione per la generica soluzione; ii) calcolare la soluzione del problema di Cauchy avente come dato iniziale y(0) = ; iii) in questo caso, specificare l intervallo massimale di definizione della soluzione i) Poichè l equazione è a variabili separabili, allora abbiamo che y (t) y(x) + dt = tdt arctan [y(t)] = t + c y(t) = tan ( t + c ), ove t I, intervallo che dipende dal dato iniziale ii) Imponendo nella formula trovata sopra il dato y(0) =, si vede che tan c = c = π 4 di conseguenza la soluzione ammette la formula di rappresentazione ( y(t) = tan t + π ) 4 iii) E necessario imporre la limitazione t + π 4 < π, da cui si deduce facilmente che t I = ( π, π )

3 3 Si consideri la curva tridimensionale di equazione r(t) = t i + cos t j + sin t k, t [0, π] Si calcoli la massa totale del corpo avente come supporto r e come densità lineare di massa δ(x, y, z) = x Si ha e, di conseguenza ṙ(t) = t i sin t j + cos t k, ṙ(t) = 4t +, Quindi la massa totale può essere calcolata come M = π 0 = δ(r(t)) ṙ(t) dt = π 0 t [0, π] t 4t + dt = 8 t [0, π], π [ (4t + ) ] 3/ π = [ (6π + ) ] 3/ 3/ 0 0 8t 4t + dt 3

4 4 Studiare la funzione f(x) = 3 e x Riportare in tabella i risultati e sul retro del foglio tracciare il grafico e riportare i calcoli Dominio di f: La funzione è definitita su tutto R Limiti agli estremi del dominio: lim f(x) = lim x f(x) = + x + Asintoti: la retta y = è un asintoto orizzontale Non esistono asintoti obliqui f f (x) = e x 3(e x ) /3 Dominio di f e classificazione dei punti di non derivabilità: il dominio di f è dato da R\{0}, f non è derivabile nel punto x = 0 in quanto lim x 0 f (x) = +, e il punto x = 0 è un punto a tangente verticale Segno di f : f (x) > 0 per ogni x R \ {0} Punti di massimo e minimo: f non ha punti di massimo e minimo f : Per ogni x R \ {0} si ha f (x) = 4 9 ex e x 3 (e x ) 5/3 Segno di f e punti di flesso: Risulta f (x) = 0 per x = log(3)/ e f (x) > 0 per x (, 0) (log(3)/, + ) Quindi il punto x = log(3)/ è un punto di flesso 4

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6 Es Es Es 3 Es 4 T Totale Analisi e Geometria COMPITO B Docenti: P Antonietti, F Cipriani, F Colombo, F Lastaria, G Mola, E Munarini, PTerenzi, C Visigalli Ingegneria Industriale Prova del /9/009 Cognome Nome Matricola Punteggi: Es=7 punti, Es=7 punti, Es3=4 punti, Es4= punti Istruzioni: Nello spazio sottostante gli esercizi devono essere riportati sia i risultati che i calcoli Tempo a disposizione: due ore Punteggio minimo per superare la prova: 8 punti Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore + 5 x x 5 dx Posto f(x) = x, si noti che f(x) > 0 sull intervallo di intgrazione (5, + ) Di conseguenza è possibile utilizzare il criterio del confronto asitotico Si vede facilmente x 5 che e f(x) 5(x 5) / per x + f(x) x 3/ per x + Poichè, in virtù dei criteri generali di convergenza, le funzioni g(x) = 5(x 5) / e x 3/ sono integrabili in senso generalizzato (sugli intervalli (5, x 0 ) e (x 0, + ) rispettivamente, ove x 0 è un valore arbitrario strettamente compreso tra 5 e + ), ne segue che f è integrabile in senso generalizzato su (5, + ) Per calcolare il valore esatto dell integrale, procediamo al calcolo di una primitiva di f Operando la sostituzione t = x 5, con semplici conti si vede che x x 5 dx = t + 5 dt = / 5 ( ) 5 dt = t/ 5 + Quindi + 5 = ( arctan t/ ) 5 + cost = x arctan cost x x 5 dx = lim M + M arctan 5 5 lim m arctan m 5 = π 5 6

7 Sia data la seguente equazione differenziale y (t) = y(x) + i) Esibire una formula di rappresentazione per la generica soluzione; ii) calcolare la soluzione del problema di Cauchy avente come dato iniziale y(0) = ; iii) in questo caso, specificare l intervallo massimale di definizione della soluzione i) Poichè l equazione è a variabili separabili, allora abbiamo che y (t) y(x) + dt = dt arctan [y(t)] = t + c y(t) = tan (t + c), ove t I, intervallo che dipende dal dato iniziale ii) Imponendo nella formula trovata sopra il dato y(0) =, si vede che tan c = c = π 4 di conseguenza la soluzione ammette la formula di rappresentazione ( y(t) = tan t π ) 4 iii) E necessario imporre la limitazione π < t π 4 < π, da cui si deduce facilmente che t I = ( π4, 34 π ) 7

8 3 Si consideri la curva tridimensionale di equazione r(t) = t i + cos t j + sin t k, t [0, π] Si calcoli la massa totale del corpo avente come supporto r e come densità lineare di massa δ(x, y, z) = x Si ha ṙ(t) = t i sin t j + cos t k, t [0, π], e, di conseguenza ṙ(t) = 4t + 4, t [0, π] Quindi la massa totale può essere calcolata come M = π 0 δ(r(t)) ṙ(t) dt = π 0 t t + dt = = [ (t + ) ] 3/ π 3 = [ (π + ) ] 3/ 3/ 0 3 8

9 4 Studiare la funzione f(x) = 5 e 4x Riportare in tabella i risultati e sul retro del foglio tracciare il grafico e riportare i calcoli Dominio di f: La funzione è definitita su tutto R Limiti agli estremi del dominio: lim f(x) = lim x f(x) = + x + Asintoti: la retta y = è un asintoto orizzontale Non esistono asintoti obliqui f f (x) = 4e 4x 5(e 4x ) 4/5 Dominio di f e classificazione dei punti di non derivabilità: il dominio di f è dato da R\{0}, f non è derivabile nel punto x = 0 in quanto lim x 0 f (x) = +, e il punto x = 0 è un punto a tangente verticale Segno di f : f (x) > 0 per ogni x R \ {0} Punti di massimo e minimo: f non ha punti di massimo e minimo f : Per ogni x R \ {0} si ha f (x) = 6 5 e4x e 4x 5 (e 4x ) 9/5 Segno di f e punti di flesso: Risulta f (x) = 0 per x = log(5)/4 e f (x) > 0 per x (, 0) (log(5)/4, + ) Quindi il punto x = log(5)/4 è un punto di flesso 9

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