CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI

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1 CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA ANALISI MATEMATICA I MODULO, I E II MODULO, II MODULO II PROVA SCRITTA DI GENNAIO 2006: SOLUZIONI Notiamo che lo studio delle funzioni assegnate f,..., f 4 si riduce a considerare rispettivamente i casi: p, q dispari; p pari, q dispari; p dispari, q pari; p, q pari dello studio del seguente prototipo (con p, q numeri naturali maggiori di 2): ESERCIZIO - Data la funzione f(x) = x p log q x, si chiede di: a) calcolare il dominio di f; (2 punti) b) studiare la positività e le intersezioni con gli assi; (2 punti) c) stabilire se f ha asintoti orizzontali, verticali, obliqui; (4 punti) d) calcolare f ; (3 punti) e) studiare la crescenza e la decrescenza di f. (4 punti) a) La variabile x dev essere positiva e diversa da (il denominatore dev essere diverso da zero). Pertanto il dominio (o campo di esistenza) di f è: ]0, [ ], + [. b) Nel caso in cui q è pari, f è sempre positiva. Se invece q è dispari, allora f è positiva per x >, negativa per 0 < x < e non si annulla mai. In tutti i casi, comunque, non esistono intersezioni né con l asse delle y (in quanto f(0) non è definita) né con l asse delle x (in quanto f non si annulla mai). c) Veniamo agli asintoti orizzontali. Si ha: x + f(x) = x + x p log q x = 0. Quindi la retta y = 0 è un asintoto orizzontale per la nostra funzione (dalla parte di + ). Siccome f ammette un asintoto orizzontale, allora f non ha asintoti obliqui. Veniamo ora allo studio degli asintoti verticali. Si ha: f(x) = x + x + x p log q x = 0 + = +.

2 Quindi possiamo già affermare che la retta x = è un asintoto verticale per f. Inoltre si ha: nel caso q pari; nel caso q dispari; f(x) = x x x p log q x = 0 + = + f(x) = x x x p log q x = 0 = f(x) = x 0 + x 0 + x p log q x = 0 + (+ ) = 0 + = + nel caso q pari (il logaritmo perde sempre ); f(x) = x 0 + x 0 + x p log q x = 0 + ( ) = 0 = nel caso q dispari (il logaritmo perde sempre ). Pertanto le rette x = ed x = 0 sono i due asintoti verticali per la funzione f. d) ed e) Si ha: ( ) f (x) = D x p log q x = D(xp log q x) x 2p log 2q x = pxp log q x + qx p log q x x 2p log 2q x = xp log q x(p log x + q) x 2p log 2q. x Quindi studiare il segno della derivata è equivalente a studiare il segno della quantità x p log q x (p log x + q), ossia quello di log q x (p log x + q). Distinguiamo i due casi: q dispari; q pari. Nel primo caso è sufficiente studiare il segno della quantità (p log x + q). Si ha: p log x + q > 0 p log x > q log x > q p x > e q p. Quindi, in questo caso, f è crescente in ]0, e q p ], mentre f è decrescente in [e q p, [ ed è decrescente in ], + [. Nel secondo caso, invece, c è da 2

3 considerare anche il segno di log q x, cioè, sostanzialmente, il segno di log x, in quanto q è pari. Quindi, rispetto al caso q dispari, il segno della derivata resta inalterato per x >, mentre cambia per 0 < x <. Pertanto, se q è pari, f è decrescente in ]0, e q p ], è crescente in [e q p, [ ed è decrescente in ], + [. ESERCIZIO - (7 punti) Siano p e q rispettivamente il numero delle lettere del vostro nome e quello del vostro cognome. Studiare il comportamento della seguente serie: q n + pn (2q + ) n + 4n n= Innanzi tutto, osserviamo che la nostra serie risulta essere a termini positivi. Inoltre, per via del criterio del confronto asintotico e per il principio di sostituzione degli infiniti, la nostra serie si comporta come la serie n= q n (2q + ) n = n= ( ) q n, 2q + serie geometrica di ragione strettamente compresa tra 0 ed, e quindi convergente. ESERCIZIO - (7 punti) Siano p e q rispettivamente il numero delle lettere del vostro nome e quello del vostro cognome. Studiare il comportamento della seguente serie: p n + qn p + 5 (p + ) n + 2n n= Innanzi tutto, osserviamo che la nostra serie risulta essere a termini positivi. Inoltre, per via del criterio del confronto asintotico e per il principio di sostituzione degli infiniti, la nostra serie si comporta come la serie n= p n (p + ) n = n= ( ) p n, p + serie geometrica di ragione strettamente compresa tra 0 ed, e quindi convergente. ESERCIZIO - (7 punti) Siano p e q rispettivamente il numero delle lettere del vostro nome e quello del vostro cognome. Studiare il comportamento 3

4 della seguente serie: n= (q + ) n + 2n p+q + q n + 3n Innanzi tutto, osserviamo che la nostra serie risulta essere a termini positivi. Inoltre, per via del criterio del confronto asintotico e per il principio di sostituzione degli infiniti, la nostra serie si comporta come la serie n= (q + ) n q n = ( ) q + n, q n= serie geometrica di ragione strettamente maggiore di, e quindi divergente. Alla stessa conclusione si perviene studiando il ite del termine generale, osservando che, per il principio di sostituzione degli infiniti, si ha: n + (q + ) n + 2n p+q + q n + 3n 22 = + 7 (q + ) n ( ) q + n q n = = +, n + q n + e pertanto la serie data diverge. ESERCIZIO - (7 punti) Siano p e q rispettivamente il numero delle lettere del vostro nome e quello del vostro cognome. Studiare il comportamento della seguente serie: (3p + ) n + 2n p + 23 p n + 3n q n= Innanzi tutto, osserviamo che la nostra serie risulta essere a termini positivi. Inoltre, per via del criterio del confronto asintotico e per il principio di sostituzione degli infiniti, la nostra serie si comporta come la serie n= (3p + ) n p n = ( ) 3p + n, p n= serie geometrica di ragione strettamente maggiore di, e quindi divergente. Alla stessa conclusione si perviene studiando il ite del termine generale, osservando che, per il principio di sostituzione degli infiniti, si ha: n + (3p + ) n + 2n p + 23 p n + 3n q + 29 = 4

5 n + (3p + ) n e pertanto la serie data diverge. p n = n + ( ) 3p + n = +, ESERCIZIO (8 punti) - Siano s il numero delle lettere del vostro cognome, ed h (x) = arcsin x log s x, x ]0, ]. a) Calcolare L x 0 + h (x). b) Sia h (x) = h (x) se x ]0, ], h (x) = L se x = 0. Verificare se h soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle e quelle del teorema di Lagrange in [0, ], oppure no. a) Si ha: L = x 0 + arcsin x logs x = x 0 + (iti notevoli; inoltre il logaritmo perde ) = 0 = 0. p arcsin x x x 0 + x logs x = b) Le ipotesi del teorema di Lagrange sono verificate nell intervallo [0, ], in quanto la funzione h risulta essere continua in [0, ] (per costruzione) e derivabile in ]0, [. Per quanto riguarda le ipotesi del teorema di Rolle, bisogna solamente confrontare i due valori h (0) ed h (), e vedere se sono uguali oppure no. Si ha: h () = 0 = L = h (0), e pertanto le ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [0, ] sono verificate. ESERCIZIO ed (8 punti) - Siano r il numero delle lettere del vostro nome, h 2 (x) = tan x log r x, x ]0, ]. a) Calcolare L x 0 + h 2 (x). b) Sia h 2 (x) = h 2(x) se x ]0, ], h 2 (x) = L se x = 0. Verificare se h 2 soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle e quelle del teorema di Lagrange in [0, ], oppure no. a) Si ha: L = x 0 + tan x logr x = x tan x x x 0 + x logr x =

6 (iti notevoli; inoltre il logaritmo perde ) = 0 = 0. b) Le ipotesi del teorema di Lagrange sono verificate nell intervallo [0, ], in quanto la funzione h 2 risulta essere continua in [0, ] (per costruzione) e derivabile in ]0, [. Per quanto riguarda le ipotesi del teorema di Rolle, bisogna solamente confrontare i due valori h 2 (0) ed h 2 (), e vedere se sono uguali oppure no. Si ha: h 2() = 0 = L = h 2(0), e pertanto le ipotesi del teorema di Rolle nell intervallo [0, ] sono verificate. ESERCIZIO (8 punti) Risolvere, con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, la seguente equazione differenziale: (supponendo x > 0, y > 0) 3e3x + 6 cos 6x e 3x + sin 6x (6x5 + 0x 9 ) (e 3x + sin 6x + 23) Si tratta di un equazione differenziale lineare del primo ordine. Studiamo dapprima l equazione omogenea associata: 3e3x + 6 cos 6x e 3x + sin 6x Quest ultima equazione risulta essere a variabili separabili: risulta pertanto e si ha y = dx = y 3e3x + 6 cos 6x e 3x + sin 6x e 3x + 6 cos 6x e 3x + sin 6x + 23 dx y = 3e3x + 6 cos 6x e 3x + sin 6x + 23 dx log y = log(e3x + sin 6x + 23) + log C y = C(e 3x + sin 6x + 23). L integrale generale dell equazione omogenea associata è pertanto y = C(e 3x + sin 6x + 23). Ora, applicando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, cerchiamo un integrale particolare del tipo y(x) = C(x) (e 3x + sin 6x + 23). 6

7 Si ha: y (x) = C (x) (e 3x + sin 6x + 23) + C(x) (3e 3x + 6 cos 6x). Si deve avere, affinché y sia una soluzione dell equazione differenziale di partenza: cioè y (x) = 3e3x + 6 cos 6x e 3x + sin 6x + 23 y(x) + (6x5 + 0x 9 ) (e 3x + sin 6x + 23) C (x) (e 3x + sin 6x + 23) + C(x) (3e 3x + 6 cos 6x) = C(x) 3e3x + 6 cos 6x e 3x + sin 6x + 23 (e3x + sin 6x + 23) + (6x 5 + 0x 9 ) (e 3x + sin 6x + 23), ossia C (x) = 6x 5 + 0x 9, e quindi C(x) = (6x 5 + 0x 9 ) dx = x 6 + x 0 (non serve qui la costante additiva +c, in quanto stiamo prendendo una particolare funzione). Pertanto y(x) = C(x)(e 3x + sin 6x + 23) = (x 6 + x 0 ) (e 3x + sin 6x + 23) è un integrale particolare dell equazione differenziale data, e quindi l integrale generale dell equazione differenziale di partenza è: y = (C + x 6 + x 0 ) (e 3x + sin 6x + 23). ESERCIZIO (8 punti) Risolvere, con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, la seguente equazione differenziale: (supponendo x > 0, y > 0) 9e9x 4 sin 4x e 9x + cos 4x (ex + cos x) (e 9x + cos 4x + 27) Si tratta di un equazione differenziale lineare del primo ordine. Studiamo dapprima l equazione omogenea associata: 9e9x 4 sin 4x e 9x + cos 4x

8 Quest ultima equazione risulta essere a variabili separabili: risulta pertanto e si ha y = dx = y 9e9x 4 sin 4x e 9x + cos 4x e 9x 4 sin 4x e 9x + cos 4x + 27 dx y = 9e9x 4 sin 4x e 9x + cos 4x + 27 dx log y = log(e9x + cos 4x + 27) + log C y = C(e 9x + cos 4x + 27). L integrale generale dell equazione omogenea associata è pertanto y = C(e 9x + cos 4x + 27). Ora, applicando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, cerchiamo un integrale particolare del tipo Si ha: y(x) = C(x) (e 9x + cos 4x + 27). y (x) = C (x) (e 9x + cos 4x + 27) + C(x) (9e 9x 4 sin 4x). Si deve avere, affinché y sia una soluzione dell equazione differenziale di partenza: cioè y (x) = 9e9x 4 sin 4x e 9x + cos 4x + 27 y(x) + (ex + cos x) (e 9x + cos 4x + 27) C (x) (e 9x + cos 4x + 27) + C(x) (9e 9x 4 sin 4x) = C(x) 9e9x 4 sin 4x e 9x + cos 4x + 27 (e9x + cos 4x + 27) + (e x + cos x) (e 9x + cos 4x + 27), ossia C (x) = e x + cos x, e quindi C(x) = (e x + cos x) dx = e x + sin x (non serve qui la costante additiva +c, in quanto stiamo prendendo una particolare funzione). Pertanto y(x) = C(x)(e 9x + cos 4x + 27) = (e x + 8

9 sin x) (e 9x +cos 4x+27) è un integrale particolare dell equazione differenziale data, e quindi l integrale generale dell equazione differenziale di partenza è: y = (C + e x + sin x) (e 9x + cos 4x + 27). ESERCIZIO (8 punti) Risolvere, con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, la seguente equazione differenziale: (supponendo x > 0, y > 0) 2e2x 8e 8x e 2x + e 8x ( 3x 2 x ) (e2x + e 8x + 35) Si tratta di un equazione differenziale lineare del primo ordine. Studiamo dapprima l equazione omogenea associata: 2e2x 8e 8x e 2x + e 8x Quest ultima equazione risulta essere a variabili separabili: risulta pertanto dx = y 2e2x 8e 8x e 2x + e 8x + 35 y = 2e2x 8e 8x e 2x + e 8x + 35 dx e si ha y = 2e 2x 8e 8x e 2x + e 8x + 35 dx log y = log(e2x + e 8x + 35) + log C y = C(e 2x + e 8x + 35). L integrale generale dell equazione omogenea associata è pertanto y = C(e 2x + e 8x + 35). Ora, applicando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, cerchiamo un integrale particolare del tipo y(x) = C(x) (e 2x + e 8x + 35). Si ha: y (x) = C (x) (e 2x + e 8x + 35) + C(x) (2e 2x 8e 8x ). 9

10 Si deve avere, affinché y sia una soluzione dell equazione differenziale di partenza: cioè y (x) = 2e2x 8e 8x e 2x + e 8x + 35 y(x) + ( 3x 2 x ) (e2x + e 8x + 35) C (x) (e 2x + e 8x + 35) + C(x) (2e 2x 8e 8x ) = C(x) 2e2x 8e 8x e 2x + e 8x + 35 (e2x + e 8x 3x ) + ( x ) (e2x + e 8x + 35), ossia C (x) = 3x2 x 3 + 3, e quindi C(x) = 3x 2 x dx = log x3 + 3 = log(x 3 + 3) (in quanto abbiamo supposto x > 0; inoltre non serve qui la costante additiva +c, in quanto stiamo prendendo una particolare funzione). Pertanto y(x) = C(x)(e 2x + e 8x + 35) = (log(x 3 + 3)) (e 2x + e 8x + 35) è un integrale particolare dell equazione differenziale data, e quindi l integrale generale dell equazione differenziale di partenza è: y = (C + log(x 3 + 3) ) (e 2x + e 8x + 35). ESERCIZIO (8 punti) - Calcolare il seguente integrale indefinito: I = (3x 2 + 4) (x 3 + 4x) 2 e x3 +4x dx. Si tratta di un integrale del tipo f (x) (f(x)) 2 e f(x) dx. Posto f(x) = x 3 + 4x = t, si ha che il nostro integrale si riduce a I = t 2 e t dt = t 2 (e t ) dt = t 2 e t 2t e t dt = t 2 e t 2t e t + 2 e t dt = t 2 e t 2t e t + 2e t + c. 0

11 Si ottiene quindi: I = (x 3 + 4x) 2 e x3 +4x 2(x 3 + 4x)e x3 +4x + 2e x3 +4x + c. ESERCIZIO - Data la funzione si chiede di: g(x, y) = 5y 2 0x 2 y + 4x 5 23, (x, y) R 2, a) calcolare le derivate parziali prime e seconde di g; (2 punti) b) determinare i punti stazionari (o critici) di g; (6 punti) c) determinare, con il test dell hessiano, gli (eventuali) punti di massimo relativo, di minimo relativo e di sella per g relativamente a quei punti stazionari CHE SONO DIVERSI DA (0, 0). (6 punti) a) Si ha: g x = 20xy + 20x 4 = 20x(x 3 y); g y = 0y 0x 2 = 0(y x 2 ); g xx = 20y + 80x 3 ; g yy = 0; g xy = g yx = 20x. b) Imponiamo la condizione dell annullamento del gradiente g x = g y = 0. Si deve avere: x(x 3 y) = 0, y = x 2, e quindi x 4 = x 3, da cui x = 0 (ed in corrispondenza y = 0) oppure x = (ed in corrispondenza y = ). I punti (0, 0) ed (, ) sono i punti stazionari di g. c) Si ha: H(x, y) = 200y + 800x 3 400x 2 (x, y) R 2. Valutiamo ora l hessiano nel punto stazionario (, ) (NON E RICHIESTO LO STUDIO DELL HESSIANO NEL PUNTO (0, 0), CHE COMUNQUE VIENE ZERO!!). Si ha: H(, ) = 200 > 0; g yy (, ) = 0 > 0; pertanto, in virtù del test dell hessiano, si ottiene che (, ) è un punto di minimo relativo.