Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore

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1 Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore A = B = u = (1, 2, 1), [E.2] Date le due matrici e il vettore A = B = u = ( 1, 2, 2), [E.3] Date le due matrici e il vettore A = B = u = (2, 1, 1), [E.4] Date le due matrici e il vettore A = B = u = (2, 1, 1), [E.5] Date le due matrici e il vettore A = B = u = (2, 1, 3), [E.6] Date le due matrici e il vettore A = B = u = (0, 1, 2),

2 Gruppo esercizi 2: Sistemi [E.7] Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema x + (2 + 2λ) y (2 + 2λ) z = 6, (2 λ) y z = 2, 2 y (1 + λ) z = 2. [E.8] Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema x + (2 + 2λ) y + (2 + 2λ) z = 3, (3 λ) y + 2 z = 2, 3 y (2 + λ) z = 3. [E.9] Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema 2 x (4 + λ) y (3 + λ) z = 8, (4 λ) y + 2 z = 8, 6 y (3 + λ) z = 12. [E.10] Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema x (1 λ) y (1 3λ) z = 6, (1 + λ) y 2 z = 8, y + (2 λ) z = 4. [E.11] Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema x + 6λ y + (2 + 4λ) z = 19, (5 λ) y + 3 z = 6, 6 y (4 + λ) z = 12. [E.12] Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema x (3 + 3λ) y + (1 + λ) z = 0, (2 + λ) y + z = 1, 6 y + (3 λ) z = 3. [E.13] Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema x + (5 + λ) y 2 z = 4, (4 + λ) y + 2 z = 4, 4 y + (2 λ) z = 8. [E.14] Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema x (4 + 4λ) y (2 + 3λ) z = 8, (3 + λ) y 2 z = 4, 4 y + (3 λ) z = 4. [E.15] Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema x (2 + 5λ) y (2 + 3λ) z = 9, (3 λ) y + 2 z = 12, 4 y (3 + λ) z = 12. Gruppo esercizi 3: Rette del piano [E.16] Dati il vettore v = (1, 2) e i punti Q = (3, 1) e R = (0, 2), 2

3 a) scrivere le equazioni parametriche e l equazione cartesiana della retta r passante per Q con la direzione di v; [E.17] Dati il vettore v = ( 1, 2) e i punti Q = ( 3, 1) e R = (1, 2), [E.18] Dati i punti v = ( 1, 2), Q = ( 3, 0) e R = (1, 2), [E.19] Dati il vettore v = (1, 0) e i punti Q = ( 3, 1) e R = (1, 2), [E.20] Dati il vettore v = (2, 2) e i punti Q = (3, 1) e R = (1, 2), [E.21] Dati il vettore v = ( 1, 2) e i punti Q = (3, 0) e R = (0, 2), [E.22] Dati il vettore v = (2, 1) e i punti Q = (1, 1) e R = (1, 2), Gruppo esercizi 4: Teoria [E.23] (Teoria) Prodotto scalare: definizione e proprietà. [E.24] (Teoria) Prodotto vettoriale: definizione e proprietà. [E.25] (Teoria) Spazi e sottospazi vettoriali. [E.26] (Teoria) Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. [E.27] (Teoria) Operazioni tra matrici [E.28] (Teoria) Determinante: definizione e proprietà. [E.29] (Teoria) Rango: definizione e proprietà. [E.30] (Teoria) Sistemi lineari omogenei. [E.31] (Teoria) Teorema di Rouché Capelli e teorema di Cramer. [E.32] (Teoria) Rette del piano. [E.33] (Teoria) Piani dello spazio. 3

4 Gruppo esercizi 1: Retta tangente [E.1] Scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al grafico della funzione f(x) = punto x 0 = 0. [E.2] Scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al grafico della funzione f(x) = punto x 0 = 0. [E.3] Scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al grafico della funzione f(x) = punto x 0 = 0. [E.4] Scrivere l equazione cartesiana della retta tangente al grafico della funzione f(x) = punto x 0 = 0. x x + 1 ex in corrispondenza del 2x x + 2 e x in corrispondenza del x 2x 1 ex in corrispondenza del 2x x 3 ex+1 in corrispondenza del Gruppo esercizi 2: Studio di funzione (x 2)(x + 1) [E.5] Studiare la funzione f(x) = e x 1 (dominio, segno, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, concavità e convessità). (x + 2)x [E.6] Studiare la funzione f(x) = (dominio, segno, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, concavità e convessità). e 2x+1 (x + 1)x [E.7] Studiare la funzione f(x) = (dominio, segno, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, concavità e convessità). e x+2 (x 1)x [E.8] Studiare la funzione f(x) = (dominio, segno, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, concavità e convessità). [E.9] Studiare la funzione f(x) = convessità). e 2x+2 (x + 2)(x 1) e x+1 Gruppo esercizi 3: Integrali log x [E.10] Calcolare l insieme di tutte le primitive della funzione x(log x + 2). sin x cos x [E.11] Calcolare l insieme di tutte le primitive della funzione cos x + 2. sin x cos x [E.12] Calcolare l insieme di tutte le primitive della funzione sin x + 3. log(2x) [E.13] Calcolare l insieme di tutte le primitive della funzione x(log(2x) + 1). sin(2x) cos(2x) [E.14] Calcolare l insieme di tutte le primitive della funzione cos(2x) + 2. [E.15] Calcolare l insieme di tutte le primitive della funzione (dominio, segno, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, concavità e sin(2x) cos(2x) sin(2x) + 1. Gruppo esercizi 4: Teoria [E.16] (Teoria) Definizione di limite ed interpretazione grafica; esempi. [E.17] (Teoria) Definizione di primitiva e di integrale indefinito; esempi e proprietà. [E.18] (Teoria) Funzioni continue; classificazione dei punti di discontinuità; esempi. [E.19] (Teoria) Definizione di derivata e sua interpretazione geometrica. [E.20] (Teoria) Teorema di Rolle e Teorema di Lagrange. [E.21] (Teoria) Teorema di Torricelli e teorema fondamentale del calcolo integrale. [E.22] (Teoria) Definizione di integrale definito; interpretazione geometrica. [E.23] (Teoria) Funzioni derivabili e funzioni continue. [E.24] (Teoria) Punti di massimo o minimo assoluto e relativo. Teorema di Weierstrass e Teorema di Fermat. [E.25] (Teoria) Teorema di Lagrange e sue conseguenze. 1

5 Matematica 1 Prova scritta del 01/02/10 1 COGNOME: NOME: ESERCIZI Scrivere in modo sintetico lo svolgimento dei seguenti esercizi. Esercizio n. 1 Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema x (6 5λ) y + (4 3λ) z = 9, (4 λ) y 2 z = 4, 3 y (1 + λ) z = 6. Esercizio n. 2 Dati i vettori u = (1, 2, 1) e v = (3, 1, 1) ed il punto P = (1, 1, 1) a) determinare un vettore w ortogonale sia ad u che a v; b) scrivere l equazione cartesiana del piano π ortogonale a w e passante per P ; c) scrivere le equazioni parametriche della retta r passante per P e con direzione data da u; d) verificare che r è contenuta nel piano π. Esercizio n. 3 Studiare la funzione f(x) = 3 xe x (dominio, segno, limiti, crescenza e decrescenza, concavità e convessità, grafico). Esercizio n. 4 Calcolare l integrale definito 1 0 x 7 e x4 dx 1.1

6 Matematica 1 Prova scritta del 24/02/10 1 COGNOME: NOME: ESERCIZI Scrivere in modo sintetico lo svolgimento dei seguenti esercizi. Esercizio n. 1 Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema x + (5 + λ) y + 2 z = 9, (4 + λ) y 2 z = 6, 4 y + (2 λ) z = 12. Esercizio n. 2 Studiare la funzione f(x) = log(x 2 + 4) (dominio, segno, limiti, crescenza e decrescenza, concavità e convessità, grafico). Esercizio n. 3 Data la funzione f(x) = sin(2x2 + 4x) x a) calcolarne il limite in x 0 = 0; b) calcolarne la derivata prima. Esercizio n. 4 Calcolare tutte le primitive della funzione f(x) = e x e 2x + 2e x

7 Matematica 1 Prova scritta del 16/06/10 1 COGNOME: NOME: ESERCIZI Scrivere in modo sintetico lo svolgimento dei seguenti esercizi. Esercizio n. 1 Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema 2 x + λ y z = 4, (2 λ) y + z = 2, 6 y (3 + λ) z = 6. Esercizio n. 2 Dati la matrice e i vettori A = u = (1, 2, 1), v = ( 1, 1, 0) calcolare u, v A( u v). Esercizio n. 3 Calcolare tutte le primitive della funzione f(x) = x( 4 + x 2 + e 4x ). Esercizio n. 4 Studiare la funzione f(x) = ex (dominio, segno, limiti, crescenza e decrescenza, concavità e convessità, 1 + e2x grafico). 1.1

8 Matematica 1 Prova scritta del 28/06/10 1 COGNOME: NOME: ESERCIZI Scrivere in modo sintetico lo svolgimento dei seguenti esercizi. Esercizio n. 1 Discutere, al variare del parametro λ R, l insieme delle soluzioni del sistema 2 x (4 + 3λ) y + λ z = 8, (2 λ) y 2 z = 2, 4 y (4 + λ) z = 4. Esercizio n. 2 Dati il piano dello spazio π di equazione cartesiana 2x + 7y + 3z 2 = 0 ed il punto P = ( 1, 1, 3), a) scrivere le equazioni parametriche della retta r ortogonale a π e passante per P ; b) scrivere l equazione del piano parallelo a π e passante per il punto di intersezione tra la retta r ed il piano xy. Esercizio n. 3 Calcolare l integrale definito 1 0 e x log(1 + e x ) dx. Esercizio n. 4 Studiare la funzione f(x) = log(x 2 + 1) log x (dominio, segno, limiti, crescenza e decrescenza, concavità e convessità, grafico). 1.1