y (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y (f) f(x, y) = cos(x 2 + y 2 )

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1 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI. Siano date le seguenti funzioni: (a) f(x, y) = 3x + y (c) h(x, y) = x y (b) g(x, y) = xy (d) k(x, y) = x + y Determinare e disegnare nel piano cartesiano il dominio delle funzioni date. Disegnarne gli insiemi di livello, al variare di k R. Dire se le funzioni sono limitate (superiormente o inferiormente) e se hanno massimo o minimo assoluto. Calcolarne, ove possibile, il gradiente.. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, disegnarlo, e calcolarne le derivate parziali nei punti interni al dominio: (a) f(x, y) = y (b) f(x, y) = y log x sin x (c) f(x, y) = tan y (d) f(x, y) = e x y x ( (e) f(x, y) = + x) y (f) f(x, y) = cos(x + y ) (g) f(x, y) = xy xy (h) f(x, y) = log(x y xy ). 3. Determinare i punti in cui si annulla il gradiente delle seguenti funzioni: (a) f(x, y) = (x y)e (x +y ) (b) f(x, y) = sin x sin y (c) f(x, y) = (x y)[3 (x y) ] 4. (i) Scrivere l equazione del piano tangente al grafico della funzione (a) nel punto (/, 0, f(/, 0)). (ii) Calcolare la derivata di f nella direzione del vettore v = ı + j, nel punto (/, 0). 5. (i) Scrivere l equazione del piano tangente al grafico della funzione (b) nel punto (e, 3, f(e, 3)). (ii) Calcolare la derivata di f rispetto al vettore v = ı + 3j, nel punto (e, 3). 6. Calcolare la direzione di massima pendenza del grafico della funzione (c) nel punto (4,, f(4, ) e calcolare la derivata di f rispetto a tale direzione. 7. (i) Scrivere l equazione del piano tangente al grafico della funzione (d) nel punto P (,, f(, ). (ii) Calcolare la derivata nella direzione di massima pendenza del grafico di f in P. (a) f(x, y) = (c) f(x, y) = xy (b) f(x, y) = sin x + y x log y x y + x y y + x 3 (d) arcsin x y x+y

2 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI: SOLUZIONI Esercizio. Indichiamo con I k l insieme di livello k della funzione studiata. a) f(x, y) = 3x + y è un polinomio, quindi è definito e derivabile infinite volte in tutto R. k < 0, I k = {(x, y) : 3x + y = k} =. k = 0, I 0 = {(0, 0)} k > 0, I k ellisse di centro (0, 0) e semiassi k 3, k. f è limitata inferiormente; infatti f(x, y) 0 nel dominio e f(0, 0) = 0. f è illimitata superiormente; infatti f(x, 0) = 3x + per x +. f ha minimo assoluto, uguale a 0. Ha un unico punto di minimo assoluto nell origine: min {f(x, y) : (x, y) R } = 0 = f(0, 0). f(x, y) = (6x, 4y). b) g(x, y) = xy è un polinomio, quindi è definito e derivabile infinite volte in tutto R. k = 0, I 0 = {(x, y) : xy = 0} = {(x, y) : x = 0} {(x, y) : y = 0} k 0, I k iperbole di asintoti gli assi cartesiani.. g(x, y) è illimitata sia superiormente che inferiormente, infatti g(x, ) = x ± per x ±. g(x, y) = (y, x). c) h(x, y) = x y è un polinomio, quindi è definito e derivabile infinite volte in tutto R. k = 0, I 0 = {(x, y) : x y = (x y)(x + y) = 0} = {(x, y) : x = y} {(x, y) : x = y} k 0, I k = {(x, y) : x y = k}, iperbole di asintoti le rette x = y e x = y. h(x, y) è illimitata sia superiormente che inferiormente, infatti h(x, 0) = x + per x ±, mentre h(0, y) = y per x ±. h(x, y) = (x, y). d) k(x, y) = x + y è definita e continua per x+y 0, mentre è di classe C per x+y > 0. k < 0, I k = k = 0, I 0 = {(x, y) : x + y = 0} k > 0, I k = {(x, y) : x + y = k } k(x, y) è limitata inferiormente, infatti x + y 0, in ogni punto del dominio, mentre è illimitata superiormente, infatti k(x, 0) = x + per x +. k(x, y) ha minimo assoluto uguale a 0, raggiunto in tutti i punti della retta x + y = 0. k(x, y) = ( x+y, x+y ).

3 Esercizio. (a) dom(f) = {(x, y) R : x k, k Z}, cioè è l insieme di tutti i punti di R ad eccezione dei punti sulle rette verticali di equazione x = k. Inoltre: cos x (x, y) = y x sin x, (x, y) = y sin x (b) dom(f) = {(x, y) R : x > 0}, cioè è il semipiano delle x strettamente maggiori di 0. Inoltre, x (x, y) = y x, (x, y) = log x y (c) dom(f) = { (x, y) R : x 0, y dell asse y e tutti i punti delle rette indicate. x (x, y) = y ( + tan y ), x x } + k x, k Z, cioè tutto R tranne i punti y (x, y) = ( + tan y ) x x (d) dom(f) = {(x, y) R : y 0}, cioè tutti i punti del piano tranne i punti dell asse x. Inoltre, x (x, y) = y e x y, y (x, y) = x y e x y (e) Ricordiamo che per le funzioni del tipo g(t) h(t) si utilizza spesso l identità: g(t) h(t) = e log(g(t)h(t)) = e h(t) log g(t). Il dominio di questo tipo funzioni è dato dai punti del dominio di g per cui g(t) > 0. La rappresentazione in base e risulta particolarmente utile nel calcolo delle derivate. Allora: dom(f) = {(x, y) R : + } x > 0 = {(x, y) R : x < } {(x, y) R : x > 0}. Inoltre [ (x, y) = e y log(+ x) ] = e y log(+ x) x x y + x x = y x +x y + x, (x, y) = y + y x log + x. (f) dom(f) = { (x, y) R : cos(x + y ) 0 } = { = (x, y) R : x + y } { (x, y) R 3 : + k x + y 5 } + k, k N, ed è quindi l unione del cerchio di centro l origine e raggio / con la successione di corone circolari di centro l origine e raggi R k = 3 + k e Rk = 5 + k, con k N. Inoltre: x (x, y) = x sin(x + y ) cos(x + y ), y (x, y) = y sin(x + y ) cos(x + y ). 3

4 (g) dom(f) = {(x, y) R : xy } = = {(x, y) R : x < 0, y x } {(x, y) R : x > 0, y x }. Questo insieme è l unione della parte del terzo quadrante che sta sotto l iperbole di equazione y = con la parte di primo quadrante che sta al di sopra dell iperbole y =. x x La funzione ammette derivate parziali solo quando y. In questi punti: x y(xy ) (x, y) = x xy(xy ), y x(xy ) (x, y) = xy(xy ). (h) dom(f) = {(x, y) R : x y xy = xy(x y) > 0} = = {(x, y) R : x < 0, y > 0} {(x, y) R : y < x < 0} {(x, y) R : 0 < y < x}, che rappresenta il secondo quadrante, unito alla parte di terzo quadrante sottostante alla retta y = x, unito alla parte del primo quadrante sottostante alla retta y = x, esclusi gli assi cartesiani. Inoltre: Esercizio 3. xy y (x, y) = x x y xy = x y x xy, y (x, y) = x xy x y xy = x y xy y. (a) (x, y) = +y ) x e (x [ x + xy] = 0 y (x, y) = e (x +y ) [ + y xy] = 0 Questo sistema è equivalente a quello che si ottiene dividendo per l esponenziale e sostituendo ad una delle due righe la somma delle due: { x + y = 0 x + xy = 0 Questo sistema si scinde nei due sistemi: { x = y x + xy = 0 { x = y x + xy = 0. Il primo dei due sistemi non ha soluzioni, mentre il secondo ha soluzioni per x = ±. Dunque il gradiente di f è uguale al vettore nullo nei punti ( P, ) ( e P, ) (b) (x, y) = cos x sin y = 0 x Questo sistema si scinde nei due sistemi: { cos x = 0 sin x cos y = 0 (x, y) = sin x cos y = 0 y 4 { sin y = 0 sin x cos y = 0.

5 Dato che le funzioni seno e coseno non si annullano mai contemporaneamente, il primo sistema è equivalente a: { cos x = 0 cos y = 0 { x = + h, h Z y = + k, k Z { x = + h, h Z y = 4 + k, k Z. Il secondo sistema è invece equivalente a: { sin x = 0 sin y = 0 { x = m, m Z y = n, n Z { x = m, m Z y = n, n Z. Abbiamo perciò un insieme infinito di punti in cui si annulla il gradiente, diviso in due famiglie: { ( P h.k = + h, ) } { 4 + k, (h, k) Z Z Q h.k = (m, n ) }, (m, n) Z Z. (c) Derivando la funzione f(x, y) = (x y) [3 (x y) ] = 3(x y) (x y) 3 otteniamo (x, y) = 6 [ (x x y) ] = 0 y (x, y) = 3 [ (x y) ] = 0. Dunque il gradiente si annulla se e solo se (x y) = 0. L insieme dei punti che soddisfa questa equazione è l unione dei punti appartenenti alle due rette x y = e x y = ; cioè: { (x, y) R : x y = } { (x, y) R : x y = }. Esercizio 4. Ricordiamo che se una funzione f è di classe C su un insieme aperto A, allora per ogni (x 0, y 0 ) A esiste il piano tangente al grafico di f nel punto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). L equazione cartesiana del piano è: z f(x 0, y 0 ) = x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Inoltre, in ogni punto di A esiste la derivata nella direzione di un versore w e vale la regola del gradiente: w (x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) w. Nel caso assegnato la funzione è di classe C in un intorno di (/, 0). (i) f, 0 = 0, x, 0 = 0 y, 0 =. Pertanto l equazione del piano tangente è: z = y (ii) Poiché il vettore assegnato non ha modulo, per calcolare la derivata nella direzione di v bisogna considerare il versore w ottenuto dividendo v per il suo modulo. 5

6 Poiché v = ( ) + = 5 abbiamo che w, 0 = v f, 0 (, ) = (0, ) (, ) =. 5 5 Esercizio 5. (i) Anche in questo caso la funzione è di classe C nel suo dominio. Dato che f(e, 3) = 3 log e = 3, f(e, 3) = (3/e, ), abbiamo che l equazione del piano tangente è z 3 = 3 (x e) + (y 3), da cui ricaviamo e z = 3x + y 3 e (ii) Anche in questo caso possiamo applicare la regola del gradiente, dividendo il vettore assegnato per il suo modulo v = (3) + = 0: 3 (e, 3) = f(e, 3) (, 3) = w v 0 e, (, 3) = 3 + 3e e 0. Esercizio 6. Ricordiamo che quando una funzione è di classe C in un intorno di un punto P, la direzione di massima pendenza in P èla direzione del gradiente della funzione in quel punto. Nel nostro caso, f(4, ) = ( /8, /). Dunque la direzione di massima pendenza, scritta in componenti, è: ( w = f(4, ) f(4, ) = , ) ( ) = + 6, La derivata nella direzione di w invece è: w (4, ) = f(4, ) f(4, ) f(4, ) = f(4, ) f(4, ) = f(4, ) = Esercizio 7. (i) f(, ) = e, f(, ) = (e, e). Dunque l equazione del piano tangente è: z e = e(x ) e(y ), da cui ricaviamo: z = ex ey e (ii) Come osservato nell esercizio precedente, il gradiente dà la direzione di massima pendenza, mentre la derivata nella direzione w di massima pendenza è uguale al modulo del gradiente stesso. Quindi: w (, ) = f(, ) = e + e = e. 6