quando il limite delle somme di Riemann esiste. In tal caso diciamo che la funzione è integrabile sul rettangolo.

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1 Integrali multipli Consideriamo, inizialmente il caso degli integrali doppi. Il concetto di integrale doppio è l estensione della definizione di integrale per una funzione reale di una variabile reale al caso di una funzione reale di due variabili reali efinizione L integrale doppio di f sul rettangolo R è f(x, y) = lim f(x δp ij, y ij ) A ij n m i= j= quando il limite delle somme di Riemann esiste. In tal caso diciamo che la funzione è integrabile sul rettangolo. Chiamiamo volume (con segno) della regione solida V compresa tra il grafico di z = f (x, y) e il rettangolo R il valore del limite. Nel caso di funzioni positive l integrale definisce il volume del solido V: f Volume (V) = f(x, y)a seconda del dominio di integrazione e della funzione integranda, la risoluzione dell integrale doppio può risultare più o meno facile Teorema. Una funzione limitata è integrabile sul rettangolo se e soltanto se l estremo superiore delle somme inferiori, fra tutte partizioni del rettangolo, è uguale all estremo inferiore delle somme superiori fra le partizioni. Tali estremi sono a loro volta uguali all integrale doppio. Per calcolare gli integrali doppi, così come capita per quelli semplici, non si applica praticamente mai la definizione di somma di Riemann, ma ci si riduce al calcolo di due integrali semplici. Per fare questa riduzione occorre la nozione di integrazione parziale, operazione che corrisponde alla derivazione parziale. ata la funzione f: [a, b] [c, d] R integrare parzialmente rispetto a x significa integrare rispetto a y [c, d] la famiglia delle tracce di f ad x [a, b] fissato..

2 Teorema ata una funzione f è continua su un rettangolo R = [a, b] [c, d] ;essa è integrabile e l integrale doppio è uguale all integrale iterato: [a,b] [c,d] d f(x, y) = ( f(x, y)dy) dx = ( f(x, y)dx)dy a b c Tuttavia, nella maggior parte dei casi, si ha a che fare con domini in cui la x e/o la y sono compresi tra due funzioni, così come appare schematizzato c d a b Come appare evidente dai grafici riportati, nei primi due casi, la x è compresa tra due valori costanti, nel terzo caso, invece, la y è compresa tra due valori costanti. Questa discriminazione è molto importante perché ci suggerire la variabile rispetto a cui integrare per prima, così come meglio stabilito dalle seguenti definizioni efinizione Una regione R è detta y semplice se è compresa tra i grafici di due funzioni della variabile x, cioè se è del tipo = {(x, y) R : a x b, g (x) y g (x)} Quindi l area di una regione semplice è data dalla formula: Analogamente si definisce una regione x-semplice. b Area () = [g (x) g (x)]dx a Per ogni funzione f continua su un insieme semplice è integrabile su, valgono le seguenti formule, dette formule di riduzione degli integrali doppi (o di Fubini): Esercizio n g (x) y semplice f(x, y) = ( f(x, y)dy)dx a b g (x) h (x) x semplice f(x, y) = ( f(x, y)dx)dy c d h (x) Si calcoli il seguente integrale

3 dove = {(x,y) R : x, y x} (x + y) Si tratta di un caso molto semplice in cui il dominio può essere considerato sia normale rispetto a x sia normale rispetto a y. Risolviamolo considerando il dominio normale rispetto a x: (x + y) = dx x (x + y)dy = [xy + y ] x dx = ( x + )dx = Esercizio n Si calcoli il seguente integrale y + xy con = {(x, y) R : x ; y } In questo caso, ho come dominio un rettangolo. Pertanto posso scegliere indistintamente di integrare prima rispetto a x o a y. Tuttavia, integrando prima rispetto a x, la risoluzione dell integrale si presenta molto più agevole: y = dy + xy y + xy dx Quest ultimo integrale può essere risolto per parti: log( + y)dy = [log( + xy)] dy = log( + y)dy = [ylog( + y)] y + y dy = [ylog( + y)] y + + y dy = = [ylog( + y) y + log( + y)] = log

4 Esercizio n Si calcoli il seguente integrale xy dove = {(x, y) R : x, x y x} xy = dx x xydy x x = [ xy ] x dx = (x x5 ) dx = Esercizio n 5 Si calcoli il seguente integrale y dove è la parte di piano racchiusa dalla circonferenza di centro (,) e raggio La circonferenza ha equazione: da cui si ricava: Pertanto: y = dy = y (x ) + y = y ; y x + y + y y dx = [x y + y ] y y ( + y + y ) dy = ( y )dy = [y y ] = 8 Integrali doppi su domini non semplici Teorema. Supponiamo che gli insiemi semplici,,, k non abbiano, a due a due, punti in comune oltre ad una parte della frontiera. Allora ogni funzione continua sull unione = k è integrabile e si ha: f(x, y) = f(x, y) + + f(x, y) Possiamo usare il Teorema di additività rispetto al dominio per estendere le nostre capacità di calcolo a tutte le regioni che non sono necessariamente semplici, ma che possono essere suddivise in un numero finito di sottoregioni semplici.tali domini verranno detti semplicemente decomponibili.

5 Esercizio n 5 Si calcoli l area della regione di piano individuata in figura Il dominio può essere visto come unione di tre domini semplici, così definiti: = {(x, y): x, y + x }, = {(x, y): x, y x} = {(x, y): x, x y + x } L area può essere calcolata sfruttando la proprietà di additività dell integrale Area () Con semplici calcoli si ottiene il valore. Calcolare i seguenti integrali nei domini indicati in figura = + + e arctgx y( + x )( x + ) (x + ) y (x + ) x + x + ( e ) log + 5

6 (ex + )(x + )e x y (x + )(e x + e x + ) log e e (e + ) e + 5 x + x + y ( x) x( + y ) + log + arctg 7 8log cosx cosy 7 xey e y + log 8 x + + y (5 5 8) 9 x + log xey y + 8 (e 5) sin x + ( )

7 x( + y) xy( + y) (ey + )e y (e y + x + ) + 7 log 5 5 ye x ( + ye x ) x(x + x) log 9 log 7 (x + )(x + )y (log + ) 8 (x + ) (x y + ) 9 x cos y 7

8 xy x( y) ( + x) y( + y) x ( + x ) xy y sin x cos x(x + tgx)cos y 5 y sin x cosx cosy (sin x + x ) coshx 7 x + y ( + x )( x + arctgx ) ( ) 8

9 8 (x + logy)y (ylogy + )( + log y) 9 (y x) tgx ( cosx x)cos x x + y settsinhx x + x settsinh x settsinh log settsinh y + x + log 8 + siny + log y 5 9 (x y) x 9

10 5 y y y x( + y ) 8 log 7 e y sin(x + y) α 5α + + (cosα cosα) 8 e y e 9 x(y + y + ) 9 y x x + 5x x y sinx + cosx Calcolare il volume del solido che giace sotto la funzione f(x, y) = x + y e sopra la regione del piano (x, y) limitata dalle curve g(x) = x e h(x) = x 7/7

11 Calcolare il volume del solido che giace sotto la funzione f(x, y) = x + 9y e sopra la regione del piano (x, y) limitata dalle curve g(x) = x e h(x) = x 5 Calcolare il volume del solido che giace sotto la funzione f(x, y) = x + y e sopra la regione del piano (x, y) limitata dalle curve g(x) = x e h(x) = x Calcolare (y x)e y nella porzione di piano contenuta nel primo quadrante, racchiusa tra l asse x = e le rette y = x e y = x+ 7 Calcolare (x + y)( + x ) nel dominio esteso al primo quadrante delimitato dalla retta x = e dai grafici delle funzioni y = e x x e y = e x x 8 ato il dominio limitato dalle rette y =, y =, x = e dalla curva di equazione x = y determinare il seguente integrale: 9 eterminare x logy x y ey nel dominio = {(x, y) R : x, x y x} 5 eterminare (x + y + ) nel dominio = {(x, y) R : x, y x} 5 eterminare x (x ) (y ) dove = {(x, y) R : x, y x } 5 eterminare + x x dove = {(x, y) R : x, y x} 5 eterminare x y dove l integrale si intende nel dominio, parte del piano racchiusa tra le curve di equazioni y = sinx e y = cosx, per x / 75/5 e e log 5 + log89 e log (7 + ) + arcsin Cambiamento di variabili Quando il dominio T è un disco, una corona, un settore circolare, per risolvere l integrale doppio, conviene utilizzare le coordinate polari. In questo modo le regioni corrispondono, attraverso il cambiamento di variabili T(ρ, θ) = (ρcosθ, ρsinθ) a rettangoli del piano ρθ detti anche rettangoli polari.

12 La trasformazione in coordinata polari ha jacobiano: (x, y) (ρ, θ) = cosθ sinθ ρsinθ ρcosθ = ρ Lo jacobiano è dunque una funzione limitata sui limitati del piano ρθ ed è diverso da zero tranne nei punti con ρ =. La trasformazione è biunivoca, tranne nei punti del piano ρθ con ρ =, che vengono tutti mandati nell origine del piano xy. unque sono soddisfatte le ipotesi del Teorema relativo al cambiamento di variabili nell integrale. Teorema Sia T(ρ, θ) = (ρcosθ, ρsinθ). Sia S (, + ) (, ) un aperto misurabile del piano ρθ e sia T = T(S). Allora F: T R integrabile su T, vale la relazione f(x, y) = f(ρcosθ, ρsinθ)ρdρdθ T S Esercizio n Si risolva il seguente integrale: x x + y dove = {(x,y) R : x + y, x > } Il dominio può essere rappresentato come segue:

13 Si può procedere ad un cambiamento di variabili in coordinate polari: Lo Jacobiano vale: x = ρcosθ; y = ρsinθ (x, y) J = (ρ, θ) = cosθ sinθ ρsinθ ρcosθ = ρ Il dominio, rispetto alle nuove variabili sarà un rettangolo polare: T = {(ρ, θ) R : ρ ; θ } x x + y = ρcosθ T ρ cos θ + ρ sin ρdρdθ = cosθdρdθ θ T Esercizio n 7 Si risolva il seguente integrale: = dρ cosθdθ = xy dove = {(x, y) R : x y x ; x ; y } Il dominio è rappresentato in figura;

14 esso può essere suddiviso in due domini: la parte di piano del primo quadrante racchiusa dalla circonferenza x + y =, sia esso e l ellisse di equazione x xy = xy xy Il dominio può essere trasformato in coordinate polari nel dominio T x = ρcosθ; y = ρsinθ + y =, sia esso (x, y) J = (ρ, θ) = cosθ sinθ ρsinθ ρcosθ = ρ Così T = {(ρ, θ) R : ρ ; θ } Il dominio può essere trasformato in coordinate polari nel dominio T x = ρcosθ; y = ρsinθ Quindi: (x, y) J = (ρ, θ) = cosθ sinθ ρsinθ ρcosθ = ρ xy Esercizio n 8 = ρcosθρsinθρdρdθ ρcosθρsinθρdρdθ T T = ρ sinθcosθdρdθ ρ sinθcosθdρdθ = ρ sinθcosθdρdθ = ρ dρ Si risolva il seguente integrale: dove è il dominio in figura sinθ = [ρ ] [ cosθ] x + y xy = 8

15 Il dominio è compreso tra la retta di equazione y = x + e la circonferenza di raggio e centro l origine degli assi, di equazione x + y =. Passando a coordinate polari si ha che la retta assume equazione polare: ρ = mentre la circonferenza ha equazione polare ρ =. Il nuovo dominio in coordinate polari sarà T: sinθ + cosθ T = {(x, y) R : θ ; ρ } sinθ + cosθ Applicando la formula del cambiamento di variabili si ha: x + y = ρ cos θ + ρ sin θ dρdθ = xy ρcosθsinθ = = = T sinθcosθ [ρ ] sinθcosθ sinθ+cosθ (sinθ + cosθ) dθ dθ = (sinθ + cosθ) (sinθ + cosθ) dθ = sinθcosθ dθ sinθ+cosθ ρdρdθ sinθcosθ [ (sinθ + cosθ) ]dθ = dθ = + sinθcosθ sinθcosθ sinθcosθ (sinθ + cosθ) dθ dθ + sinθ L ultimo integrale può essere risolto per sostituzione, ponendo tgθ = t; dθ = dt In definitiva, si ottiene: dθ + sinθ = dt ( + t) = [ + t ] = +t Calcola i seguenti integrali doppi sin (x + y ) 5

16 xy(x + y ) ( + x + y ) 8 ( + arctg) x(x y ) + [(x ) + (y ) ] log xy x + y 5 xylog(x + y ) log + ( 5 + 8log8) x + y ( arcsinh) 7 x y x + y = {(x, y) R: x + y, y x, x y} 8 9 y ( + x) = {(x,y) R : 9 x + y, x y, x } y (x + y ) = {(x,y) R : x + y x, y x} ( log) x + y = {(x, y) R: x + y, y } (x + y ) x x y x + y = {(x,y) R : x + y, x y} ( ) + x + y x + y = {(x, y) R : x + y 9, y x } xy = {(x,y) R : x + y, x + y } log

17 y + x + y = {(x,y) R: x + y, y x} ( )( + log5) 8 5 x + y log( + ) (x + y ) / (5 ) 8 7 x + y 8 8 arcsin x + y x + y 7 7 ( ) 9 y 7

18 y arctg y x ( y x ) y x x + y xy y x 8

19 5 y A A x y 7 x + y (x y ) 8 x y 9 (x + y) Il dominio è la parte di corona circolare delimitata da x + y = e x + y = compresa fra le rette y = x y = x

20 e y x x y (e e) x y x + y x y x + y