TEOREMA DI GREEN ( ) D ; C è il contorno orientato del dominio D considerato

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1 Le formule f d dy = f (, y ) dy TEOEMA I GEEN [] f d dy = f (, y ) d [] note come formule di Green sono due relazioni semplici ma molto importanti fra gli integrali estesi ad un dominio piano e gli integrali estesi alla frontiera del medesimo. Nelle suddette formule f è di classe ( ) ; è il contorno orientato del dominio considerato come una superficie con orientazione data da n $ = k. Pertanto è orientato positivamente se quando si percorre secondo il suo orientamento il dominio si trova alla sua sinistra. Per dimostrare la validità delle formule [] e [] supponiamo che in un primo momento che il dominio sia y-semplice ovvero che sia delimitato dalle due rette verticali e delle funzioni rispettivamente di equazioni y = ϕ e y ϕ = con a b ove ϕ e ϕ si suppongono continue con le loro derivate prime. Premesso che nelle suddette ipotesi risulta i ottiene d d ϕ ϕ ϕ ϕ e ϕ ϕ = a, y = b e dai grafici. ' ' ϕ ϕ ϕ ϕ f, y dy = f, y dy + f, f, f d dy d f y dy a ϕ b ϕ ) (, ) d d ϕ = = ' ' b =,,, a f y dy f ϕ ϕ + f ϕ ϕ d = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ' ' ( ϕ ) ϕ ( ϕ ) ϕ b a b b = f b, y dy f a, y dy + f, d f, d = b a a a (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) = f y dy + f y dy + f y d + f y d = f y dy 4 Negli integrali curvilinei precedenti e 4 denotano i segmenti delle rette = b e = a che appartengono alla frontiera del dominio ϕ ) f d dy = b d f, b y y dy = ( f, ϕ ( ) f, ϕ ( ) ) d = f (, y ) d a ϕ a Nel caso in cui il dominio è -semplice si hanno forme analoghe, e la dimostrazione (con le opportune modifiche) è la stessa.

2 Passiamo ora la caso generale: ia un dominio con frontiere regolare a tratti e che possiede la proprietà seguente: la sua chiusura può essere suddivisa, da rette parallele agli assi coordinati e y in numero finito di sottodomini k ciascuno dei quali è un dominio y-semplice, -semplice o entrambi (i domini rettangolari). f f d dy = d dy = f (, y) dy k k k k La frontiera generale per tutti i domini k è composta da e da un numero finito di segmenti, ciascuno dei quali appartiene a ed è comune a due domini vicini. Pertanto ogni segmento è percorso due volte in direzioni opposte, perciò gli integrali curvilinei corrispondenti a questi percorsi si compensano mutuamente e resta solo l integrale esteso. Pertanto (, ) = (, ) f y dy f y dy k k e la dimostrazione è completa. alle formule di Green segue il Teorema di Green. Teorema di Green iano,,, n n curve semplici, chiuse, lisce a pezzi con le seguenti proprietà: ) Le curve non hanno punti comuni; ) Le curve,, n stanno all interno di ; ) La curva i sta nell esterno della curva j, i j dove i =,,..., n, j =,,..., n. ia la regione costituita dall unione di con quella parte dell interno di che non è interna a,,, n. ia = F (, y) + F (, y) allora F i j un campo vettoriale liscio in un aperto Ω contenente, n F F d dy = F (, y ) d + F (, y ) dy F (, y ) d + F (, y ) dy k = k Fig. In particolare se è una regione limitata semplicemente connessa e è la sua frontiera allora

3 F F d dy = F (, y ) d + F (, y ) dy In questa formula si deve considerare come una superficie orientata con normale k. e è una regione connessa chiusa e limitata del piano y il suo contorno è costituito da più curve chiuse semplici, lisce a pezzi, e che sono orientate positivamente. In particolare se è un dominio semplicemente connesso, allora sarà orientata nel verso orario; se ha dei buchi in tal caso il contorno dei buchi sarà orientato nel verso orario. (vedi figura) omunque se indichiamo con Tˆ la tangente unitaria a e con Nˆ la normale unitaria a che punta all esterno di, a causa dell orientamento di questi settori devono soddisfare l equazione vettoriale Nˆ = Tˆ kˆ. Pertanto se è parametrizzata per mezzo della lunghezza d arco, allora r dr ds d = Tˆ = iˆ + ds dy ds ˆj Nˆ iˆ d = Tˆ kˆ = ds ˆj dy ds kˆ = dy ds iˆ d ds ˆj e risulta r F Tˆ = d dy dy d F + F = F + ds ds ds ds ( F ) = ( F iˆ F ˆj ) Nˆ La forma vettoriale della formula precedente, ovvero r r F dr = ( F ) r kda ˆ r ( F ) ( kˆ ) da e è orientata positivamente () e è orientata negativamente () 4

4 () () corrisponde al teorema di tokes nel piano (vedi paragrafo successivo). Esempio N on l ausilio delle formule di Green, calcolare + y + y I = ye + y e d dy dove è quella parte del disco + y che sta nel quadrante. volgimento Osservato che Utilizziamo la formula Allora dove è costituita dagli archi ( ) ye + y e = ye + y ye = y e dy + y + y + y + y + y f d dy = f (, y ) d. f I = d dy = f (, y) d : = t, y = t : = cos t, y = sin t π t : =, y = t t Poiché su è (,) (, ) f t = e che su è d =, si ha: y f y = y e + f, y d = f, y d = sin t sin t dt = cos t sin t dt = π π ( ) 5

5 quindi I =. Per verificare l esattezza del risultato ottenuto calcoliamo l integrale doppio. isulta + y y I = d y e dy = d = = Un applicazione del teorema di Green L integrale doppio che dà l area a() di una regione piana si può esprimere nella forma: Q P a( ) =ddy = ( ) ddy dove P=P(,y) e Q=Q(,y) sono tali che Q P = Per esempio se nella formula che specifica il teorema di Green prendiamo F=j abbiamo: pertanto se Q= e P= si ottiene ddy = a ( ) dy = dy e prendiamo F=-yj abbiamo: ddy = yd pertanto se Q= e P=-y si ottiene a ( ) = yd Infine, da quanto precede, si evince anche la formula a( ) = yd + dy. 6

6 Esempio N Applicare il teorema di Green per calcolare l integrale dove è la curva di equazioni parametriche I = y d + dy = cos t, y = sin t t π volgimento Per il teorema di Green è I = y d + dy = ( y) d dy = d dy in quanto, per simmetria è isulta y d dy =. sin t d dy = 4 d dy = 4 sin t d da cui, tenuto presente che = cos t e t π, si ha π 4 d dy = 4 sin t ( sin t) dt. Utilizzando la formula di ricorrenza (che si deduce integrando per parti) si ottiene che quindi Oppure k cos t sin t k k sin t dt = + sin k k 6 π 4 sin t dt = π, π sin 6 k t dt 5 t dt = π 5 I y d dy 4 = + = π = π 6 4. sin t sin t cos t dt = sin t sin t cos t dt = sin t dt = 4 π π π 4 π cos 4t ( cos t ) sin t dt π 8 dt 8 π = = = 7

7 TEOEMA I TOKE Il teorema di tokes costituisce una generalizzazione del teorema di Green relativa a superfici dello spazio tridimensionale non necessariamente piane. ia una superficie orientata dello spazio tridimensionale, liscia a pezzi, avente campo normale unitario n $ il cui contorno consiste di una o più curve chiuse, continue a pezzi con orientazione ereditata da. e F è un campo vettoriale liscio, definito su un insieme aperto contenente, allora: F n$ d = F dr tabiliremo la validità della formula per una superficie liscia che abbia una proiezione normale biunivoca sul piano y e che il campo della sua normale unitaria punti verso l alto. Pertanto su, z è una funzione di classe (,y)., definita per (,y) appartenente a una regione del piano y : z = f I contorni di e * di sono entrambi orientati in senso antiorario, guardando dall alto lungo l asse z.in questo caso è: $ f f n d = i - j + k d dy Pertanto: $ F F F F F F F n d = + + da Poiché z è una funzione di e y,su abbiamo dz = d + dy. Quindi: F d r (,, ) (,, ) (,, ) = F y z d + F y z dy + F y z d + dy = F (, y, z) + F (, y, z) d + F (, y, z) + F (, y, z) dy. 8

8 Applicando ora il teorema di Green nel piano y e ricordando che z è funzione di e y otteniamo: = F d r = F (, y, z) + F (, y, z) F (, y, z) + F (, y, z) da = F F F F z z F F da = F F F F = + + da = F F F F F F = $ F n d La dimostrazione è così completata. OEVAZIONE e F = in un dominio dotato della proprietà che ogni curva chiusa semplice e liscia a pezzi contenuta in, allora il teorema di tokes assicura che F d r = per qualunque curva di questo tipo, per cui F deve essere conservativo. Un dominio semplicemente connesso ha effettivamente la proprietà appena specificata: una curva chiusa di un dominio semplicemente connesso è la frontiera di una superficie di. ome per il teorema della divergenza, l importanza maggiore del teorema di tokes risiede nell essere uno strumento teorico. Tuttavia esso permette di semplificare il calcolo di integrali di circuitazione come illustrato dai seguenti esempi. EEMPIO N alcolare F d r dove y + z F = - i j k, e è la curva d intersezione del cilindro + y = e del piano + y + z =, orientata in modo da avere una proiezione con orientamento antiorario sul piano y. volgimento è il contorno orientato di un disco ellittico che si trova nel piano + y + z = e che ha il disco circolare : + y come proiezione sul piano y. u abbiamo $ d = ( + ) n i + j k d dy, 9

9 inoltre F = + y k Quindi per il teorema di tokes $ π F dr = F n d = ( + y ) d dy = π ρ ρ dρ = EEMPIO N alcolare F d r, dove: F = ye i + + e j+ z k = t [,π ] : = + cost y = + sin t z sin t cost volgimento i) Per il teorema di tokes è F dr = F n$ ds ove è la parte del piano di equazione z = y interna al cilindro di equazione: = + cost, y = + sin t t [, rπ ]. Pertanto essendo i evince che $ d = ( + + ) n i j k d dy e F = k F dr = F n$ ds = d dy = π T {, : + } ove T è la proiezione di sul piano y ovvero ( y) ( ) ( y ) F = ye i + e j+ z k + j = F + j e che F è conservativo, segue che ii) Osservato che

10 iii) π F dr = F dr + dy = + cost cost dt = π F d r = + ( + ) + ye d e dy z dz π { cos cos ( sin ) t t e + t e sin t + ( + cost + ee ) cost + [ (sin cos )] (sin cos ) } t t t t dt = In quanto π π cos t π cos t cos t ee e e sin t dt + π + e e cost dt = π π e cost cost π cost π cost dt = sin t e + e sin t π cost dt e sin t = dt π sin t + cost sin t cost dt =. EEMPIO N isegnare la curva : r t = sin t i + sin t j t π e calcolare F d r dove y F = ye i + e j volgimento a = sin t e y = sin t = sin t cost segue = sin t, y / = cost. a cui + y / 4 = Ovvero y = y = I cui grafici sono rispettivamente: - -

11 unque è la frontiera di una regione unione di due regioni e. Osservato che t = (, ), π t =,, 4 π t = (, ) t = π, 4, t = π (, ), 5 t = π,, 4 t = π (, ), t = π (,) i evince che la frontiera di è percorsa a partire da (,) nel verso positivo (antiorario), le frontiere di è percorsa nel verso negativo (orario). Allora su è n $ = k, su è n $ = k Poiché e sono simmetriche rispetto all asse y e è pari in, abbiamo Quindi y ( ) rot F = F = e e k F n$ d = F n $ d F dr = F n d = + = EEMPIO N 4 e è il contorno orientato positivamente di una regione piana avente area A e centroide (, y ), interpretare geometricamente l integrale di linea F d r dove: a) F = j; b) F = y j ; c) F = y i + y j. volgimento Per il teorema di tokes (essendo una regione piana) ho Allora a) F dr = da = A b) F dr = da = A F dr = F F da

12 c) F dr ( ) = y y da = Ay EEMPIO N 5 alcolare ( y d + yz dy + z dz) lungo il contorno del triangolo con vertici (,,), (,,), (,,), orientato in senso orario guardandolo dal punto(,,). volgimento giace sul piano z = y ed è il contorno di quella parte del piano la cui proiezione sul piano y è il dominio limitato T che ha come frontiera il triangolo con vertici (,), (,) e (,). Ovviamente Per il teorema di tokes è Essendo y d + yz dy + z dz = F d r dove = y + yz + z = y z F i j k, $ = ( + + ) + y + z =, si ha F dr = F n$ d F i j k. n i j k e d = d dy e tenuto presente che su è Quindi F n $ d = ( + y + z) d = d dy = T y d + yz dy + z dz = EEMPIO N 6 alcolare ( y d dy + z dz)

13 Lungo la curva d intersezione delle superfici cilindriche in senso antiorario vista dall alto lungo l asse z. z = y e + y = 4 ; la curva è orientata volgimento La curva è il contorno di quella parte della superficie cilindrica z = y la cui proiezione T sul piano y è il disco + y 4. Ovviamente Per il teorema di tokes è essendo risulta quindi y d dy + z dz = F d r dove = F dr = F n$ d F k, $ = ( y + ) F = y i j + z k n j k e d = 5 d dy 5 $ F dr = F n d = d = d dy = ( 4π ) 5 : T y d dy + z dz = 8π. EEMPIO N 7 alcolare $ F n d ove è la semisfera + y + z = a con normale esterna crescente e F = y i z j+ y k volgimento Il contorno di ovvero la circonferenza T : + y a e z =. Allora + y = a e anche il contorno del disco 4

14 essendo ( ) = z F n$ d = F dr = F k da T T F k e z = su T segue che T = = π F k da d dy a. T EEMPIO 8 alcolare $ F n d ove è la superficie + y + z = 6, z, n $ è la normale esterna (rispetto all origine) su, e ( cos ) z y z F = z y z i + e j + yz e + + k volgimento Il contorno di ovvero + y = 4 è anche il contorno del disco T : + y 4 e z =. Allora Essendo = + z F k e y cos z e a cui, usando le coordinate polari, si ha F n$ d = F dr = F k da z = su T segue che F k da = + y d dy T π $ F n d = dσ ρ dρ = 4π EEMPIO N 9 ia la curva y + 4 = 6 + y + z = orientata in senso antiorario quando guardata dall alto dall asse z. ia 5

15 calcolare volgimento ( z y sin ) ( y z) ( z yz) F = + + i + + j+ + k. F d r è la frontiera, orientata nel verso antiorario, del disco ellittico che sta sul piano + y + z =, ovvero sul piano z = y +. ha normale unitaria Essendo 6 n$ = ( i + j+ k ) i ha ( z ) F = i + z j $ ( 5z ) F dr = F n d = 6 d F Osservato che ha una proiezione biunivoca su T: y + la cui area è 4 π = 8π 6 4 segue che F dr = 5( y) 6 d dy = ( 5y) d dy 6 T T Osservato che le coordinate del centroide di T sono = e y =, si evince che y d dy = d dy = T T 6

16 quindi d dy F dr = = area di T area di T T EEMPIO N Mediante il teorema di tokes dimostrare che y d + z dy + dz = π a ove è l intersezione, orientata convenientemente, delle superfici: + y + z = a e + y + z =. volgimento Il cerchio, intersezione della sfera disco che sta sul piano + y + z =. Osservando che + y + z = a con il piano + y + z =, è la frontiera del d d y d + z dy + dz = y i + z j+ k r = F r (ovviamente è F = y i + z j+ k ) per il teorema di tokes risulta: $ $ F dr = F n d = i + j+ k n d Essendo su (che sta sul piano di equazione z = y ) segue che n$ = ± ( i + j+ k ) F dr = d = π a 7

17 i è tenuto conto del fatto che l integrale al secondo membro è l area del disco. Ignorando ciò si può procedere come segue. Poiché + y + z = a + + = + y + z = z = ( + y) y z a egue che il disco si proietta sul piano y nel dominio T la cui frontiera è la conica di equazione + y + y = a () icordando (vedi rotazione di assi coordinati) che un equazione del tipo = (4) A By y Ey F B in un sistema di coordinate u,v ottenuto rotando (intorno all origine) gli assi,y di un angolo θ tale che assume la forma A - B cotg θ = B = au cv du ev f ottenuta sostituendo le equazioni della rotazione degli assi: = u cosθ vsinθ y = u sinθ + v cosθ nell equazione () ne consegue che le equazioni (vedi Osservazione*) = ( u v ) y = ( u + v ) trasformano l equazione () nell equazione u ( a ) + = 8 v a

18 a ovvero in una ellisse di area aπ. Quindi a d = ddy = π = πa T T (*) Osservazione. Nel caso dell equazione π π è cotg θ = quindi θ =. 4 + y + y = a v y u y P θ u v θ 9