(f g)(x) = f(g(x)), (f (g h))(x) = f(g(h(x))) = ((f g) h)(x).

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1 Trasformazioni geometriche di R In questo paragrafo studiamo alcune trasformazioni geometriche del piano R Per trasformazioni si intendono sempre delle applicazioni bigettive f : R R Le trasformazioni del piano si possono comporre tra loro: se f e g sono due applicazioni bigettive da R in R allora la composizione f g definita da f gx fgx è ancora un applicazione bigettiva da R in R Nota bene che f g si legge f composto g a indicare che prima si applica g al vettore x e poi si applica f al vettore gx In generale f g è diversa dall applicazione g f La composizione fra applicazioni gode della proprietà associativa: f g hx fghx f g hx Definizione Sia p un vettore di R La traslazione T p di passo p è l applicazione T p : R R data da T p x x + p In coordinate x T p x + p + p p x Le traslazioni godono delle seguenti proprietà: Fig La traslazione T p Proposizione i Siano p q R Allora T p T q T p+q T q+p T q T p In particolare la composizione di due traslazioni è ancora una traslazione ii La traslazione T è l applicazione identica iii La traslazione T p è l inversa di T p Dimostrazione i Per ogni x R vale T p T q x T p T q x T p x + q x + p + q T p+q x D altra parte per la commutatività della somma fra vettori vale anche x + p + q x + q + p T q+p x T q T p x

2 ii Per ogni x R si ha che T x x + x ossia T è proprio l applicazione identità di R iii Dal punto i segue che T p T p x T p T p x T x x cioè T p e T p sono una l inversa dell altra Un altra famiglia di trasformazioni di R sono le dilatazioni Definizione Siano λ µ R λ µ > La dilatazione D λµ di R è l applicazione D λµ : R R definita da x λx D λµ µ In notazione matriciale x D λµ λ µ x D D Fig4 La dilatazione D e l omotetia D Se λ µ > la dilatazione D λµ è semplicemente un ingrandimento di fattore λ µ Se λ e µ sono numeri positivi distinti D λµ è un ingrandimento di fattore λ nella direzione dell asse delle ascisse e di fattore µ nella direzione dell asse delle ordinate Introduciamo adesso la famiglia delle rotazioni Definizione Sia ϕ R Indichiamo con R ϕ : R R l applicazione che ad un vettore x R associa il vettore ottenuto da x dopo la rotazione di un angolo ϕ intorno all origine Se ϕ > la rotazione va intesa in senso antiorario Se ϕ < la rotazione va intesa in senso opposto cioè in senso orario

3 ϕ x Fig5 La rotazione R ϕ Teorema Sia x R e sia ϕ R Le coordinate del punto y R ϕ x sono date da y cos ϕx sen ϕ y sen ϕx + cos ϕ In notazione matriciale x R ϕ cos ϕ sen ϕ x sen ϕ cos ϕ Dimostrazione Sia α l angolo fra il vettore x e l asse delle ascisse Allora si ha x x cos α x sen α Il vettore y R ϕ x forma un angolo ϕ + α con l asse delle ascisse e quindi y x cosϕ + α x cos ϕ cos α x sen ϕ sen α y x senϕ + α x cos ϕ sen α + x sen ϕ cos α La sostituzione x x cos α e x sen α conclude la dimostrazione Esempio Per esempio la rotazione R π/4 di centro e di angolo ϕ π/4 è l applicazione x R π/4 x x x x x + x Le rotazioni godono delle seguenti proprietà Proposizione i La composizione di due rotazioni R ϕ e R ψ intorno all origine è una rotazione di angolo ϕ + ψ: R ϕ R ψ R ϕ+ψ R ψ R ϕ ii La rotazione di un angolo ϕ è l applicazione identica ossia R x x per ogni x R iii La rotazione inversa di R ϕ è R ϕ

4 Dimostrazione Tutte queste proprietà sono geometricamente evidenti ma si possono anche ottenere dalle formule del Teorema Problema Come ottenere le formule di una rotazione R ϕp di angolo ϕ intorno ad un punto p diverso dall origine? Un modo di procedere è il seguente: prima si fa una traslazione T p di passo p che porti il punto p in ; poi si fa una rotazione R ϕ intorno a e poi si fa una traslazione T p che riporti in p: In coordinate T p R ϕ T p x R ϕp T p R ϕ T p x + p T p R cos ϕ sen ϕ ϕ T + p p sen ϕ cos ϕ x + p + p cos ϕ sen ϕ x sen ϕ cos ϕ + q q q q cos ϕ sen ϕ p sen ϕ cos ϕ p + p p Esempio 4 Calcoliamo ad esempio le formule della rotazione R ϕp di un angolo ϕ attorno al punto 5 p Abbiamo 4 R ϕp x T p R ϕ T p x x 5 T p R ϕ 4 cos ϕx 5 sen ϕx T 4 p sen ϕx 5 + cos ϕ 4 cos ϕx 5 sen ϕx sen ϕx 5 + cos ϕ Introduciamo infine le riflessioni Definizione Sia ϕ R Indichiamo con S ϕ : R R l applicazione che ad un vettore x R associa il vettore ottenuto da x dopo la riflessione rispetto alla retta che passa per e forma un angolo ϕ con l asse delle ascisse l ϕ x Fig6 La riflessione S ϕ 4

5 Teorema 5 Sia x R e sia ϕ R Le coordinate del punto y S ϕ x sono date da In notazione matriciale x S ϕ y cosϕx + senϕ y senϕx cosϕ cosϕ senϕ x senϕ cosϕ Dimostrazione Sia α l angolo fra il vettore x e l asse delle ascisse Allora si ha x x cos α x sen α Si vede dalla Fig8 che il vettore y S ϕ x forma un angolo ϕ α con l asse delle ascisse e quindi y x cosϕ α x cosϕ cos α + x senϕ sen α y x senϕ α x cosϕ sen α + x senϕ cos α La sostituizione x x cos α e x sen α conclude la dimostrazione Esempio Per esempio la retta l data da x forma un angolo di π/4 con l asse delle ascisse La riflessione rispetto ad l è l applicazione S π/4 data dalle formule x S π/4 x x x Proposizione 6 i La composizione S ϕ S ϕ è l applicazione identica ii La composizione S ϕ S ψ di due riflessioni rispetto a rette distinte passanti per con ϕ ψ è una rotazione di angolo ϕ ψ Dimostrazione Calcoliamo cosϕ senϕ cosψ senψ S ϕ S ψ x x senϕ cosϕ senψ cosψ cosϕ cosψ + senϕ senψ cosϕ senψ senϕ cosψ x senϕ cosψ cosϕ senψ senϕ senψ + cosϕ cosψ cosϕ ψ senϕ ψ x senϕ ψ cosϕ ψ R ϕ ψ x In particolare se ϕ ψ + kπ k Z otteniamo l applicazione identità Osservazione Dalle formule del teorema precedente si vede anche che in generale S ϕ S ψ S ψ S ϕ Osservazione Se ϕ l applicazione S è una riflessione rispetto all asse delle ascisse; se ϕ π/ l applicazione S π/ è una riflessione rispetto all asse delle ordinate 5

6 x Fig7 La riflessione rispetto all asse delle ascisse S La composizione delle riflessioni S ed S π/ è una rotazione di angolo π ossia la riflessione rispetto all origine x Fig8 La riflessione rispetto all origine R π S S π/ Problema Come calcolare le formule della riflessione S rispetto ad una retta l che non passa per l origine? Se la retta l non passa per l origine non possiamo usare direttamente le formule del Teorema 5 ma possiamo procedere nel seguente modo Fissiamo un punto arbitrario p sulla retta l e applichiamo la traslazione T p La trasformata della retta l tramite T p è la retta l parallela ad l e passante per ; applichiamo adesso la riflessione S ϕ rispetto ad l ove ϕ è l angolo formato da l con l asse delle ascisse Applichiamo infine la traslazione inversa T p che riporta la retta l al suo posto In totale la riflessione rispetto ad l è data dalla composizione S T p S ϕ T p e non dipende dalla scelta di p l In coordinate T p S ϕ T p x x + p T p S cos ϕ sen ϕ ϕ T + p p sen ϕ cos ϕ x + p + p cos ϕ sen ϕ x sen ϕ cos ϕ + q q q q cos ϕ sen ϕ p sen ϕ cos ϕ p + p p 6

7 Esempio 7 Calcoliamo ad esempio la riflessione rispetto alla retta l di equazione x + Il punto p appartiene ad l e quindi la traslazione T p di passo p porta l nella retta l ad essa parallela e passante per l origine l è data dall equazione x e forma un angolo uguale a π/ con l asse delle ascisse La trasformazione cercata è data dunque dalla composizione S T S π/ T In coordinate S risulta Sx T S π/ T x x + T S π/ x + T x x T Concludiamo questo paragrafo introducendo l orientazione di una coppia di vettori in R Definizione L orientazione Orv w di una coppia di vettori v w R è il segno del determinante In altre parole v w det v v w w v w Orv w { + se v w v w > ; se v w v w ; se v w v w < Si dice che una coppia di vettori v e w è orientata positivamente se Orv w > Geometricamente ciò accade se ruotando il vettore v in senso antiorario fino a sovrapporlo alla retta passante per e w allora v ha la stesso verso di w e non quello opposto w w v v v v Fig9 Orientazione L orientazione Orv w cambia se cambia l ordine dei vettori v e w Si ha infatti che Orv w Orw v 7

8 Siano e ed e Allora si ha che Or + Or Una qualunque rotazione R ϕ conserva l orientazione di ogni coppia di vettori Si dice anche che le rotazioni conservano l orientazione del piano Una riflessione invece cambia l orientazione di ogni coppia di vettori Una dilatazione D λµ λ µ > conserva sempre l orientazione: λv OrD λµ v D λµ w Or µv λw µw λv µw λw µv λµorv w In generale un applicazione lineare f di R conserva l orientazione se e soltanto se detf > Esercizi A Siano p e q i Trovare le formule per la traslazione T p ii Calcolare T p T p 4 iii Calcolare T p T p 4 iv Calcolare T q T p T p T q 4 B Sia Q il trapezio in R di vertici 6 i Disegnare l immagine di Q dopo la traslazione T ii Disegnare l immagine di Q dopo la dilatazione D data dalla matrice iii Disegnare l immagine di Q dopo la riflessione S data dalla matrice iv Disegnare l immagine di Q dopo la rotazione R π data dalla matrice C Sia D 5 la dilatazione data dalla matrice 5 i Trovare una dilatazione D λµ tale che D λµ D 5 sia l applicazione identica ii Trovare una dilatazione D λµ tale che D 5 D λµ sia l applicazione identica D Per quali dilatazioni D λµ abbiamo che D λµ D λµ è l applicazione identica? E Sia Q il quadrato in R di vertici i Disegnare l immagine di Q dopo la rotazione R π/ ii Disegnare l immagine di Q dopo la rotazione R π iii Disegnare l immagine di Q dopo la rotazione R π/ 8

9 F Sia Q il quadrato in R di vertici i Disegnare l immagine di Q dopo la rotazione R π/ ii Per quali angoli ϕ la rotazione R ϕ manda il quadrato in se stesso? iii Disegnare l immagine di Q dopo la rotazione R π/4 G Siano Q Q Q Q 4 Q 5 Q 6 i punti di R di coordinate i Per quali angoli ϕ la rotazione R ϕ manda l esagono di vertici Q Q Q Q 4 Q 5 Q 6 in se stesso? H Sia p i Trovare le formule per la rotazione R di centro p ed angolo π/ ii Trovare le formule per la rotazione R di centro p ed angolo π/4 iii Sia l la retta di equazione parametrica x + t t R Calcolare un equazione parametrica della retta che si ottiene applicando R ad l iv Sia m la retta di equazione cartesiana x + 7 Calcolare un equazione parametrica della retta che si ottiene applicando R ad l I Sia l la retta di equazione x + i Calcolare le formule della riflessione rispetto ad l ii Calcolare le immagini dei punti iii Calcolare l immagine della retta di equazione parametrica 5 + t t R J Sia Q il quadrato dell EsercE Calcolare l immagine di Q dopo la riflessione rispetto i all asse delle ascisse ii all asse delle ordinate iii alla retta di equazione x K Sia Q il quadrato dell EsercF Calcolare l immagine di Q dopo la riflessione rispetto i all asse delle ascisse ii all asse delle ordinate iii alla retta di equazione x iv Trovare tutte le riflessioni S ϕ che mandano Q in se stesso L Siano Q Q Q Q 4 Q 5 Q 6 i punti dell EsercG Calcolare l immagine dell esagono di vertici Q i dopo la riflessione rispetto i all asse delle ascisse ii all asse delle ordinate iii la retta di equazione x + iv Trovare tutte le riflessioni S ϕ che mandano l esagono in se stesso M Sia S la riflessione rispetto alla retta l di equazione cartesiana x + 4 i Calcolare la tangente dell angolo ϕ formato da l con l asse delle ascisse 9

10 ii Calcolare le formule per S N Sia S la riflessione rispetto alla retta l di equazione cartesiana x + 4 i Calcolare le formule della riflessione S rispetto all asse delle ascisse ii Determinare se S R ϕ S R ϕ Suggerimento: calcolare le formule per R ϕ e per S O Sia l la retta di equazione parametrica x t t R e sia m la retta di equazione x i Trovare le formule della riflessione S rispetto ad l ii Calcolare le formule della riflessione S rispetto ad m iii Calcolare le formule della trasformazione composta iv Calcolare le formule per la trasformazione composta v Geometricamente che cosa fanno S S e S S? S S S S P Sia l la retta di equazione x e sia m la retta di equazione i Calcolare le formule della riflessione S rispetto ad l ii Calcolare le formule della riflessione S rispetto ad m iii Calcolare le formule della trasformazione composta iv Calcolare le formule della trasformazione composta S S S S v Geometricamente che cosa fanno S S e S S? Q Siano v e w i Calcolare l orientazione di v e w ii Calcolare l orientazione di w e v iii Sia S la riflessione rispetto all asse delle ascisse Calcolare OrS v S w iv Sia S ϕ la riflessione rispetto alla retta passante per e formante un angolo ϕ con l asse delle ascisse Calcolare OrS ϕv S ϕw R Siano v e w i Sia R π/ la rotazione di centro e angolo π/ Calcolare OrR π/ v R π/ w ii Sia R ϕ la rotazione di centro e angolo ϕ Calcolare OrR ϕv R ϕw S Siano v e w Siano S S S t le riflessioni rispetto a delle rette passanti per Sia S S S S t Calcolare l orientazione OrSv Sw