Le trasformazioni geometriche nel piano cartesiano. x = ϕ(x', y') τ 1 : G(x', y') = 0. la sua inversa.

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1 τ : P P' oppure P'=τ(P) P immagine di P trasformato di P secondo τ se α è una figura geometrica α =τ(α) è la figura geometrica trasformata x' = f (x, y) τ : y' = g(x, y) espressione analitica della trasformazione x = ϕ(x', y') τ 1 : y' = φ(x', y') trasformazione inversa sostituzione associata alla trasformazione Si dice punto unito della trasformazione un punto P tale che P τ P' P Si dice figura unita della trasformazione una figura α tale che α τ α ' α Grafico Trasformato F(x, y) = 0 τ G(x', y') = 0 Teorema sulla trasformazione dei grafici Sia γ una curva di equazione F(x, y) = 0, τ una trasformazione di espressione analitica x' = f (x, y) x = ϕ(x', y') τ : e sia τ 1 : la sua inversa. y' = g(x, y) y = φ(x', y') L equazione della curva γ ' = τ(γ ) trasformata di γ è F(ϕ(x, y);φ(x, y)) = 0 che si ottiene dall equazione F(x, y) = 0 di γ sostituendo al posto di x e y rispettivamente le espressioni x = ϕ(x', y') della ascissa e dell ordinata del generico punto (x,y) espresse in funzione delle y = φ(x', y') coordinate del suo trasformato. Isometrie Una trasformazione t si dice trasformazione isometrica o isometria se, presi due punti qualunque A e B del piano, e considerate le loro immagini A' = τ(a) e B'=τ(B), si ha AB = A' B' cioè: Le isometrie sono quelle trasformazioni che CONSERVANO le distanze. Le traslazioni Dato un vettore v r nel piano, si definisce traslazione di vettore v r, quella uuu r r trasformazione che ad un punto P del piano associa il punto P tale che PP' = v pag.1/8

2 x ' = x + a τ(a,b): y' = y + b x = x ' a τ 1 (a,b): y = y' b traslazione di vettore v r = (a,b) Data una curva γ di equazione F(x, y) = 0 si ottiene l equazione della curva traslata γ F(x, y) = 0 F(x a, y b) = 0 x x a τ (a,b): y y b Una traslazione non ha punti uniti (tranne l identità, che è una traslazione di vettore nullo) possono esistere rette unite? dato il grafico di una funzione y=f(x), come si ottiene il grafico di 1. y=f(x)+b 2. y=f(x-a) [R.] si possono considerare rispettivamente come il grafico trasformato secondo la traslazione 1) di un vettore v r = (0,b) 2) di un vettore v r = (a,0) SIMMETRIA CENTRALE Le simmetrie pag.2/8

3 Si dice che il punto P è simmetrico di P rispetto al punto C, se C è il punto medio del segmento PP La trasformazione σ C che assegna ad ogni punto P del piano il suo simmetrico P rispetto a C, si definisce simmetria centrale di centro C. σ C = x ' = 2x C x y' = 2y C y σ 1 C = x = 2x C x ' y = 2y C y' la simmetria centrale è una trasformazione involutoria cioè coincide con la sua inversa Simmetria rispetto all origine σ C = x ' = x y' = y Data una curva γ di equazione F(x,y)=0, l equazione della sua simmetrica γ O rispetto all origine è F(-x,-y)=0. F(x, y) = 0 F( x, y) = 0 σ Ox x y y equazione di γ equazione di γ O Esistono punti uniti, rette unite o figure unite? SIMMETRIA ASSIALE pag.3/8

4 Si dice che il punto P è simmetrico di P rispetto alla retta r, se r è l asse del segmento PP La trasformazione σ r che assegna ad ogni punto P del piano il suo simmetrico P rispetto alla retta r, si definisce simmetria assiale e la retta r è detta asse della simmetria. Non si danno le equazioni generali della simmetria assiale, vista la loro complessità ma si può risalire ad esse, in ogni caso specifico, imponendo che le coordinate (x,y ) del trasformato soddisfino le seguenti condizioni a) Detto M il punto medio del segmento PP, per definizione M deve appartenere all asse di simmetria Se l equazione dell asse è y=mx+q, le coordinate di M devono soddisfare l equazione della retta per cui M x + x' 2, y + y' 2 y + y' =m x + x' + q (1) 2 2 b) Il segmento PP deve essere perpendicolare all asse di simmetria, per cui il coefficiente angolare della retta passante per PP deve essere m' = 1 / m da cui segue y' y x' x = 1 (2) m Mettendo a sistema le due condizioni (1) e (2) si determinano le equazioni della trasformazione x ' = f (x, y) σ r = y' = g(x, y) Esistono punti uniti, rette unite o figure unite? Il seguente schema riassume le equazioni delle simmetrie rispetto ad assi in posizioni particolari pag.4/8

5 Le rotazioni Dato un punto C ed un angolo orientato α, si dice rotazione r O,α la trasformazione che associa, ad un generico punto P del piano il punto P, tale che PC = PC ' e PĈP' = α Si dice che il punto P è simmetrico di P rispetto al punto C, se C è il punto medio del segmento PP Le equazioni della rotazione sono date da x ' = x cosα ysinα r O,α = y' = x sinα + y cosα Le omotetie Dato un numero reale k diverso da zero, si definisce omotetia di rapporto k e centro nell origine, e si indica con ω O,k, quella trasformazione che ad un punto P di coordinate (x,y) fa corrispondere il punto P di coordinate (kx, ky) x ' = kx ω(o, k): y' = ky x = 1 k x ' ω 1 (O, k): y = 1 k y' pag.5/8

6 Una omotetia di centro C si ottiene dalla precedente mediante una traslazione dell origine nel punto C x' x C = k(x x C ) ω(c, k): in generale y' y C = k(y y C ) x' = kx + a ω(c, k): (1) y' = ky + b è l'equazione di una omotetia di centro C a 1-k, b 1-k (2) Una omotetia con k=1 coincide con identità Una omotetia con k=-1 coincide con la simmetria rispetto al centro Una omotetia con k 1 ha come punto unito solo il centro possono esistere rette unite? si può determinare il centro dell omotetia di equazione (1) con la formula (2) oppure determinando l unico punto unito della trasformazione. PROPRIETA Una omotetia trasforma un segmento in un segmento proporzionale Una omotetia conserva le ampiezze degli angoli Una omotetia trasforma una retta in una retta ad essa parallela Componendo due omotetie dello stesso centro C si trova una omotetia di centro C e rapporto k=k1*k2 Le similitudini Le omotetie fanno parte di un gruppo di trasformazioni più esteso detto similitudini pag.6/8

7 Si definisce similitudine una trasformazione che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti: comunque si scelgano A e B, considerati A e B i loro trasformati risulta A' B' = k con k detto rapporto di similitudine AB PROPRIETA Una similitudine trasforma un segmento in un segmento proporzionale e conserva il rapporto tra le lunghezze Una similitudine conserva le ampiezze degli angoli Una similitudine trasforma retta parallele in rette parallele e rette perpendicolari in rette perpendicolari Una similitudine si può sempre ottenere componendo una traslazione con una omotetia Le affinità Tutte le trasformazioni viste finora sono sottoinsiemi di un insieme più esteso di trasformazioni che sono rappresentate da equazioni lineari: detto affinità Si definisce affinità ogni trasformazione geometrica che ha equazioni del tipo x' = ax + by + c y' = a' x + b' y + c' a b con = ab' a'b 0 a' b' a b dove = ab' a'b indica il determinante della matrice dei coefficienti del sistema. a' b' Il numero positivo ab' a'b è detto rapporto o costante di affinità PROPRIETA Una trasformazione geometrica del piano è una affinità solo se trasforma rette in rette, segmenti in segmenti e poligoni in poligoni con lo stesso numero di lati Una affinità è una collineazione, cioè conserva l allineamento Una affinità trasforma rette parallele in rette parallele La forma delle figure non è invariante Il rapporto S /S tra l area S della trasformata F di una figura F e la sua area S è il rapporto di affinità ab' a'b Se se a a' a a' b b' > 0 l'affinità si dice diretta e conserva l orientamento dei vertici di un poligono b < 0 l'affinità si dice indiretta ed inverte l orientamento b' pag.7/8

8 CLASSIFICAZIONE Se a 2 + a' 2 = b 2 + b' 2 = ab' a'b =r 2 l affinità è una similitudine di rapporto r Se a 2 + a' 2 = b 2 + b' 2 = ab' a'b =r 2 l affinità è una isometria INVARIANTI DI UNA TRASFORMAZIONE AFFINITA SIMILITUDINI ISOMETRIE tutte le precedenti + rapporti tra lunghezze ampiezze degli angoli perpendicolarita allineamento appartenenza ad un segmento parallelismo incidenza rapporto tra aree tutte le precedenti + lunghezze estensione delle superfici Le dilatazioni Tra le affinità sono particolarmente importanti le dilatazioni Si definisce dilatazione di rapporti h e k e centro in C una affinità che ha equazioni del tipo x' = hx + p y' = ky + q con C( p 1-h, q 1 k ) se p=q=0 la dilatazione ha il centro nell origine degli assi Se h=1 e k 1 la dilatazione di dice verticale Se h 1 e k =1 la dilatazione di dice orizzontale Data una funzione y=f(x) il grafico di y=kf(x) si ottiene applicando al grafico una dilatazione verticale di rapporto k il grafico di y=f(x/h) si ottiene applicando al grafico una dilatazione orizzontale di rapporto h pag.8/8

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