Liceo Scientifico Severi salerno

Dimensione: px

Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Liceo Scientifico Severi salerno"

Nicoletta Lentini
5 anni fa
Visualizzazioni

1 Liceo Scientifico Severi salerno VERIFICA ORALE MATEMATICA Docente: Pappalardo Vincenzo Data: /0/09 Classe: B. Determina per quali valori del parametro k le seguenti equazioni rappresentano una affinità: x' kx (k )y + y' kx + (k )y + Bisogna prima controllare che le equazioni della trasformazione siano lineari nelle variabili x e y: lo sono. La trasformazione è un affinità se il determinante della matrice associata è diverso da zero: k (k ) k k k(k )+ k(k ) 0 soluzione k 0 k La trasformazione è un affinità per k 0 e k.. Con la traslazione di vettore v(;) trasformare i punti P(0;) e Q(;) e giustificare che la traslazione è un isometria. Le equazioni della traslazione sono: x' x + y' y + e x x' y y'

2 . I punti A(-;0), B(4;), C(8;-) sono i vertici di un triangolo T. a) Determinare il perimetro e l area di T. (Nota: per il calcolo dell area usare entrambe le procedure) b) Trovare il baricentro, circocentro e ortocentro di T. (Circocentro: centro del cerchio circoscritto al triangolo, dato dall incontro degli assi dei lati di T. Ortocentro: punto d incontro delle altezze di T; Baricentro: incontro delle tre mediane). I coefficienti angolari delle rette BC, AC, AB, sono: m BC m AC 5 m AB Le equazioni dei lati sono: retta passante per due punti x x x x y y y y retta BC: x+y-60 retta AC: x+5y+0 retta AB: x-y+0 a) Le misure dei lati sono: formula distan za tra due punti d (x x ) + (y y ) AB 0 BC 4 CA 6 e quindi il perimetro vale: P Detta h la misura dell altezza BH relativa al lato AC, si ha: h ax + by + c a + b per cui, l area vale:

b h A 6 6 6 6 Noti i vertici del triangolo ABC, l area può essere calcolata anche nel seguente modo: A (x y + y x + x y ) (y x + x y + y x 6 b) Le coordinate del baricentro sono: xg x A + x B + xc +

y x x y y retta CM x + 7y 0 0 retta AN y 0 retta BP x y 0 0 Si verifica immediamente che le coordinate del baricentro soddisfano le equazioni delle tre mediane, per cui G è il punto per cui passano

3 b h A Noti i vertici del triangolo ABC, l area può essere calcolata anche nel seguente modo: A (x y + y x + x y ) (y x + x y + y x 6 b) Le coordinate del baricentro sono: xg x A + x B + xc yg ya + yb + yc I punti medi dei lati AB, BC, AC sono: xm x + x coordinate punti medi y +y ym M (;) N (6;0) P (; ) Le equazioni delle mediane sono: retta passante per due punti x x y y x x y y retta CM x + 7y 0 0 retta AN y 0 retta BP x y 0 0 Si verifica immediamente che le coordinate del baricentro soddisfano le equazioni delle tre mediane, per cui G è il punto per cui passano le tre mediane. Il circocentro Q (centro del cerchio circoscritto al triangolo) è il punto d incontro degli assi dei tre lati del triangolo. L asse di un lato è la retta perpendicolare a un lato passante per il punto medio: retta passante per il punto medio M (x0 ; y0 ) e perpendicolare a una retta data di coeff. angolare m (x x0 ) m equazione asse lato AB x + y 4 0 equazione asse lato CB x y 6 0 y y0 Risolvendo il sistema formato dalle equazioni dei due assi, troviamo le coordinate del circocentro Q: "x + y 4 0 & 5 7) Q ( ; + # ' * $x y 6 0 L ortocentro K è il punto d incontro delle altezze:

4 retta passante per un punto e perpendicolare a una retta data y y 0 m (x x 0) equazione retta passante per A e perpendicolare al lato BC x y + 0 equazione retta passante per B e perpendicolare al lato AC 5x y 8 0 Risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due altezze, troviamo le coordinate dell ortocentro K: " x y + 0 # $ 5x y 8 0 K ( 5;7) 4. Se A (-; -) è il centro di un fascio di rette, determinare: a) l equazione del fascio; b) la retta del fascio che incontra l asse x nel punto di ascissa ; c) l equazione della retta r del fascio che passa per P (;); d) l equazione della retta s perpendicolare a r che passa per P e indica con Q il suo punto d intersezione con l asse delle ascisse; e) l equazione della retta t del fascio perpendicolare a AQ; f) le coordinate del punto C di intersezione di t e s; g) l area e il perimetro del triangolo ACQ. a) Scegliamo come rette generatrici quelle parallele agli assi cartesiani passanti per le coordinate del centro A (-;-) del fascio: x x + 0 y y + 0 Pertanto l equazione del fascio proprio di rette di centro A è dato da: a x + + k(y + ) 0 x + ky + k + 0 m b k b) Intersechiamo l equazione del fascio con l asse x: x + ky + k + 0 P ( k ;0) y 0 Il punto P ha ascissa se e solo se: k k 4 Quindi, la retta del fascio che incontra l asse delle x nel punto P(;0) è: x 4y 0

5 c) La condizione di appartenenza di P (;) al fascio ci consente di determinare il valore di k in corrispondenza del quale la retta r del fascio passa per P: + + k( + ) 0 k r: x y + 0 d) s è la retta passante per P (;) e perpendicolare ad una retta r data: s:y y 0 (x x 0) y (x ) s:x+ y 0 m Il punto Q è dato dall intersezione della retta s con l asse delle ascisse: x + y 0 Q (;0) y 0 e) Retta passante per due punti A (-;-) e Q (;0): y y x x y + x + a x 5y 0 m y y x x 0+ + b 5 Applichiamo la condizione di perpendicolarità per determinare il valore di k, e quindi la retta t, in corrispondenza del quale la retta t è perpendicolare alla retta passante per A e B: m m k t: x+ + (y+ ) 0 5x+ y+ 0 k f) Le coordinate del punto C si determinano dall intersezione delle rette t e s: 5x + y C ; x + y 0 g) Disegniamo il triangolo ACQ e calcoliamo area e perimetro: 7 AC CQ ( ) ( ) AQ P AC+ CQ+ AQ Essendo il triangolo rettangolo in A, allora l area è data da: 6 6 AQ AC 9 A

Documenti analoghi

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico Prova di Matematica : Piano cartesiano e retta Alunno: Classe: 2 C

Liceo Scientifico G. Galilei Trebisacce Anno Scolastico 010-011 Prova di Matematica : Piano cartesiano e retta Alunno: Classe: C 10.03.011 prof. Mimmo Corrado Dato il triangolo di vertici: 6; 3, ; 1, 4;