determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

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1 PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad r tale che il punto medio del segmento PP sia sulla retta r. determinare la retta s passante per P e perpendicolare ad r. m r = quindi m s = = mr sfruttando l equazione del fascio proprio ( y = y0 + m( x x0 ) )si ha s: y = ( x + ) cioè x + y = 0 determinare l intersezione tra r ed s per trovare il punto medio M del segmento PP x y = 0 risolvendo il sistema si ottiene M (;) x + y = 0 determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si xp + xp' = xm xp' = ha: da qui yp + yp' = y yp' = M Suggerimenti per altre possibili soluzioni Il punto P può essere visto anche come il punto sulla retta s che ha da r la stessa distanza di P. Il punto P può essere visto anche come il punto sulla retta s che ha da M la stessa distanza di P. PROBLEMA Scrivere l equazione della circonferenza che passa per A(-6;0) e B(0;0) e ha il centro sulla retta y=x+. Scrivere poi le equazioni delle rette tangenti in tali punti e, detto D il punto di intersezione di tali tangenti, determinare l area del triangolo ABD. Soluzione Il centro della circonferenza appartiene all asse del segmento AB e alla retta r indicata nel testo, è quindi possibile determinarlo come punto di intersezione tra le due rette. Trovato il centro C si può trovare il raggio come lunghezza di BC e quindi si trova l equazione della circonferenza Determinare l asse s del segmento AB Dal disegno si osserva facilmente che è x=-. Determinare le coordinate del centro come intersezione tra r e s. y = x + y = si ottiene x = x = Determinare il raggio della circonferenza come distanza tra B e C R = ( xb xc ) + ( yb yc ) = Scrivere l equazione della circonferenza Verifica di matematica del 8 settembre 008 classe G

2 C ) + ( y yc ) = ( x x R cioè x + y + 6x 8y = 0 Per determinare l equazione delle ratta tangente alla circonferenza in un suo punto si può ricordare che la tangente è la retta passante per il punto, perpendicolare al corrispondente raggio. Determinare il coefficiente angolare della retta CA e della retta CB yc y A yc yb m CA = = m CB = = xc x A xc xb Determinare il coefficiente angolare delle corrispondenti tangenti m tan A = = m tan B = = m m CA CB Determinare l equazione delle tangenti sfruttando l equazione del fascio proprio ( y = y + m x ) ) 0 ( x0 9 Tangente in A: y = 0 ( x + 6) y = x Tangente in B: y = 0 + ( x 0) y = x Per calcolare l area del triangolo ABD è sufficiente calcolare base e altezza, scelta come base AB l altezza sarà il modulo dell ordinata del punto D. Determinare il punto D y = x 9 x = x 9 y = x = Determinare l area del triangolo Area = = Suggerimenti per altre possibili soluzioni L equazione della circonferenza può essere determinata a partire dall equazione della forma x + y + ax + by + c = 0 utilizzando come condizioni il passaggio per A, per B e l appartenenza del a b centro (che ha coordinate ( ; ) ) alla retta r. Le equazioni delle tangenti si possono determinare anche intersecando il fascio proprio passante per A (o per B), con l equazione della circonferenza e ponendo uguale a 0 il discriminante dell equazione di secondo grado che si ottiene risolvendo il sistema. PROBLEMA Scrivere l equazione della circonferenza che è tangente nel punto A(0;) alla retta r: x+8=y e ha il centro sulla retta s di equazione y+x=. Tra le rette parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante trovare quelle che, intersecando la circonferenza, determinano una corda lunga. Soluzione Verifica di matematica del 8 settembre 008 classe G

3 Il centro della circonferenza appartiene alla retta s, ma anche alla retta passante per A perpendicolare ad r. Trovato il centro C, si può calcolare il raggio come distanza AC determinare la retta t passante per A e perpendicolare ad r. m r = quindi m t = = mr sfruttando l equazione del fascio proprio ( y = y0 + m( x x0 ) )si ha t: y = ( x 0) cioè x + y 6 = 0 determinare le coordinate del centro come intersezione tra s e t. y + x = risolvendo il sistema si ottiene C ( ;0) x + y 6 = 0 Determinare il raggio della circonferenza AC R = ( x A xc ) + ( y A yc ) = Scrivere l equazione della circonferenza C ) + ( y yc ) = ( x x R cioè x + y x = 0 Le rette parallele alla bisettrice del - quadrante sono quelle del fascio improprio, ponendole a sistema con la circonferenza si trovano i punti di intersezione (in funzione di un parametro); imponendo che la distanza tra i due punti di intersezione sia come richiesto, si trova il valore del parametro. Scrivere le rette parallele alla bisettrice del - quadrante y = x + k Trovare i punti di intersezione tra il fascio e la circonferenza e la distanza tra questi due punti k + ± + k k y = x + k x, = risolvendo si ottiene: ; la distanza tra i punti P x + y x = 0 k m + k k y, = + k k e P è quindi: P P = ( xp xp ) + ( yp yp ) = Determinare il valore di k imponendo che P P = + k k = risolvendo si trova: k = k = Suggerimenti per altre possibili soluzioni L equazione della circonferenza può essere determinata a partire dall equazione della forma x + y + ax + by + c = 0 utilizzando come condizioni il passaggio per A, l appartenenza del centro a b (che ha coordinate ( ; ) ) alla retta s e la tangenza alla retta r. L ultima condizione si imposta Verifica di matematica del 8 settembre 008 classe G

4 mettendo a sistema l equazione generale della circonferenza con la retta r e ponendo uguale a 0 il discriminante dell equazione di secondo grado che si ottiene risolvendo il sistema. Per determinare l equazione della retta parallela alla bisettrice del - quadrante che intercetta la corda di lunghezza, si può anche procedere per via geometrica, guardando il disegno e ricordando che il raggio della circonferenza è. PROBLEMA In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse y, passante per A( ;0) e avente vertice V( ;) b) l equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto di ascissa c) l equazione della retta parallela all asse x sulla quale la parabola stacca una corda di lunghezza Soluzione La parabola da determinare è la parabola del fascio di parabole con asse verticale e vertice V, passante per A. Determinare l equazione delle parabole con asse verticale e vertice V Dalla relazione y = y + a x x ) si ha: y = + a( x + ) V ( V Determinare la parabola passante per A, imponendo la condizione di passaggio: 0 = + a ( + ) quindi a =. Svolgendo i calcoli si ottiene l equazione: y = x x Per determinare l equazione della retta tangente si procede mettendo a sistema il fascio passante per il punto B della parabola di ascissa con l equazione della parabola stessa e ponendo uguale a 0 il delta dell equazione di secondo grado che si ottiene risolvendo il sistema. Determinare il fascio di rette per B () y B = () = quindi y = + m( x ) Determinare il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola in B y = + mx m y = x x sostituendo si ottiene l equazione di secondo grado in x con parametro m x + x( + m) m = 0 ; imponendo = 0 si trova m = L equazione della retta tangente è quindi: y = ( x ) y = x + Per determinare la corda parallela all asse x di lunghezza basta mettere a sistema la generica retta orizzontale con la parabola, trovare le coordinate dei punti di intersezione P e P e quindi imporre che P P = Verifica di matematica del 8 settembre 008 classe G

5 Scrivere le rette orizzontali y = k Trovare i punti di intersezione tra il fascio di rette e la parabola e la distanza tra questi due punti y = k y = x x risolvendo si ottiene: x, = ± k ; la distanza tra i punti P e P è quindi: y, = k P P = x x = k Determinare il valore di k imponendo che P P = k = risolvendo si trova: k =. Suggerimenti per altre possibili soluzioni L equazione della parabola può essere determinata a partire dall equazione della forma y = ax + bx + c, imponendo il passaggio per il vertice V, per il punto A e imponendo che l ascissa del vertice sia -. FUNZIONE y = x Elimino la radice mettendo le condizioni di esistenza, quelle di concordanza ed elevando al quadrato x 0 x y 0 N.B. mi ricordo alla fine di considerare solo la parte sopra l asse delle ascisse y = x l equazione di secondo grado ottenuta è quella di un ellisse riferita agli assi: x + y = ; va riportata alla forma canonica dividendo tutto per, si ottiene: x + y = 6 ( a = b = ). [ ; ] [ 0;] f : non è iniettiva, ma è suriettiva Verifica di matematica del 8 settembre 008 classe G

6 FUNZIONE y = x + 6 Poiché la funzione ha il modulo su tutte le x presenti posso dedurne il grafico tracciando quello ditracciare il grafico di y = x +, Elimino la radice mettendo le condizioni di esistenza, quelle di concordanza ed elevando al quadrato x + 0 y 0 y = x + x N.B. mi ricordo alla fine di considerare solo la parte sotto l asse delle ascisse l equazione di secondo grado ottenuta rappresenta una parabola con asse orizzontale x = y V(-; 0) Poiché il grafico della funzione di partenza aveva il modulo sulle x, devo considerare la parte a destra dell asse verticale più la sua simmetrica. 6 ( ; ] f : R non è iniettiva, ma è suriettiva 6 Verifica di matematica del 8 settembre 008 classe G

7 FUNZIONE y = x Poiché il modulo non è presente né su tutte le x, né sull intera espressione, devo studiarlo e distinguere i due casi: x 0 x x x < 0 < x < y = x + parabola con V (0; ) y = x parabola con V (0; ) 7 6 ( ] f : R ; non è iniettiva, ma è suriettiva FUNZIONE y = x + Elimino la radice mettendo le condizioni di esistenza, quelle di concordanza ed elevando al quadrato x + 0 x y 0 N.B. mi ricordo alla fine di considerare solo la parte sopra l asse delle ascisse y = x + l equazione di secondo grado ottenuta rappresenta un iperbole con i fuochi sull asse y: x y = ( a = ; b = ) 6 [ + ) f :R ; non è iniettiva, ma è suriettiva Verifica di matematica del 8 settembre 008 classe G

8 DISEQUAZIONE x > 8 x Per risolvere graficamente devo tracciare, sullo stesso riferimento i grafici delle funzioni: y = x e y = x. Per tracciare il primo metto le condizioni di esistenza, di concordanza ed elevo alla seconda: x 0 x y 0 N.B. mi ricordo alla fine di considerare solo la parte sopra l asse delle ascisse y = x L equazione di secondo grado ottenuta è quella di una circonferenza x + y = con centro C(0;0) e raggio R=. Il grafico della seconda funzione lo deduco da quello di y = x. Dal grafico si deduce che la semicirconferenza si trova sopra la spezzata per < x < 0 0 < x < DISEQUAZIONE x x < x + Per risolvere graficamente devo tracciare, sullo stesso riferimento i grafici delle funzioni: y = x +. y = x x e Il grafico della prima funzione si può dedurre da quello di y = x x, ribaltandone le parti negative (poiché c è il modulo su tutta l espressione). La seconda equazione rappresenta una retta. Verifica di matematica del 8 settembre 008 Da questo grafico sembrerebbe che curva e retta si incontrino solo in un punto di ascissa negativa (α), in realtà provando a riportare qualche punto con ascisse più grandi si osserva che c è un ulteriore intersezione con ascissa positiva (β). classe G

9 Da questo grafico si deduce che la retta si trova al di sopra della curva 0 Verifica di matematica del 8 settembre 008 classe G