Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

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1 Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse (y=0): si verificano 3 casi: 1. Il discriminte è maggiore di zero: L equazione considerata ha due soluzioni distinte quindi la parabola interseca l asse delle ascisse in due punti. Esempio 1: Consideriamo la parabola: Troviamo l intersezione con l asse x risolvendo l equazione: La parabola passa per i punti: Troviamo il vertice. L ascissa del vertice è data da: Posso trovare l ordinata del vertice in due modi: Posso anche sostituire il valore di nell equazione: 1

2 Abbiamo tre punti quindi possiamo disegnare la parabola: 2. Il discriminante è uguale a zero. L equazione considerata ha come soluzione due punti coincidenti quindi la parabola interseca l asse delle ascisse in un punto (si dovrebbe dire in due punti coincidenti). Esempio 2: Consideriamo la parabola: Troviamo l intersezione con l asse x risolvendo l equazione: La parabola passa per il punto: Troviamo il vertice. L ascissa del vertice è data da: Posso trovare l ordinata del vertice in due modi: 2

3 Posso anche sostituire il valore di nell equazione: Il vertice coincide con l intersezione con l asse x. (D altra parte era prevedibile...). Troviamo altri due punti della parabola. Poniamo x=0: Poniamo x=1: La parabola passa per i punti: Disegnamo la parabola. 3. Il discriminante è minore di zero: La parabola non interseca l asse delle ascisse. Esempio 3: Consideriamo la parabola: Troviamo l intersezione con l asse x risolvendo l equazione: 3

4 L equazione non ha soluzioni. Disegnamo la parabola. Troviamo il vertice. L ascissa del vertice è data da: Posso trovare l ordinata del vertice in due modi: Posso anche sostituire il valore di nell equazione: Troviamo altri due punti della parabola. Poniamo x=0: Poniamo x=1: La parabola passa per i punti: Disegnamo la parabola. 4

5 Esercizio 1: a. Determinare a,b,c, in modo che la parabola passi per i punti A,,. b. Trovare le coordinate del vertice e del fuoco, l equazione dell asse, della direttrice e le intersezioni con gli assi coordinati. c. Determinare gli intervalli in cui la parabola ha segno positivo o negativo. d. Disegnare il grafico. Svolgimento: a) La parabola deve passare per i punti dati quindi devo determinare i valori a, b e c che soddisfano il seguente sistema: La parabola cercata è: b) L ascissa del vertice è data da. L ordinata del vertice è sostituendo questo valore nell equazione della parabola: Se non ricordo la formula posso trovare l ordinata 5

6 Le coordinate del fuoco sono: ascissa ordinata:. La parabola ha asse di simmetria verticale quindi l equazione dell asse è: L equazione della direttrice è: Per trovare le intersezioni con l asse x risolvo il sistema: È un equazione di secondo grado. Cerco le soluzioni: Soluzioni:. La parabola interseca l asse delle ascisse in e Per trovare l intersezione con l asse y risolvo il sistema; Intersezione con l asse y in. c) Per trovare il segno della parabola risolvo la disequazione: Le soluzioni dell equazione associata sono quindi posso scrivere: 6

7 La parabola è positiva per d) Grafico 7

8 Esercizio 2: a. Determinare a,b,c, in modo che la parabola passi per il punto A e abbia vertice in. b. Trovare le coordinate del fuoco, l equazione dell asse, della direttrice e le intersezioni con gli assi coordinati. c. Determinare gli intervalli in cui la parabola ha segno positivo o negativo. d. Disegnare il grafico. Svolgimento: a) La parabola deve passare per il punto A ed avere il vertice in V quindi devo determinare i valori a, b e c che soddisfano il seguente sistema: Nella terza equazione ho diviso ambo i membri per a. Posso farlo perché è sicuramente a 0 altrimenti l equazione data non rappresenterebbe una parabola. La parabola cercata è: b) Le coordinate del fuoco sono: ascissa ordinata:. La parabola ha asse di simmetria verticale quindi l equazione dell asse è: L equazione della direttrice è: Per trovare le intersezioni con l asse x risolvo il sistema: 8

9 Intersezione con l asse x nei punti Q Per trovare l intersezione con l asse y risolvo il sistema; Intersezione con l asse y nel punto. c) Per studiare il segno della parabola risolvo la disequazione: Dal grafico si vede che la parabola assume valori positivi per x<0 e x>2. d) Grafico 9

10 Esercizio 3: a. Determinare l equazione della parabola in modo che abbia direttrice la retta e vertice nel punto b. Trovare le coordinate del fuoco e l equazione dell asse. c. Determinare gli intervalli in cui la parabola ha segno positivo o negativo. d. Disegnare il grafico. Svolgimento: a) Impongo le condizioni date: Equazione della parabola: b) Le coordinate del fuoco sono: ascissa ordinata: 10

11 La parabola ha asse di simmetria verticale quindi l equazione dell asse è: c) Per studiare il segno della parabola risolvo la disequazione: La parabola è sempre positiva. d) Grafico 11

12 Esercizio 4: Data la parabola di equazione: si scrivano le equazioni delle tangenti passanti per il punto perpendicolari tra loro. e verificare se sono Svolgimento: Scrivo l equazione di un fascio di rette generico: Impongo la condizione di passaggio per il punto P: La retta deve avere punti in comune con la parabola. Per trovarli scrivo il sistema: La retta tangente ha come punti di intersezione con la parabola due punti coincidenti quindi devo determinare m in modo da avere il discriminante dell equazione di secondo grado uguale a zero. Adesso posso scrivere le equazioni delle due rette tangenti: Prima retta : Seconda retta : Le due rette sono perpendicolari perché i due coefficienti angolari sono l uno l inverso del reciproco dell altro. Infatti i coefficienti angolari sono: 12

13 13

14 Esercizio 5: Data la parabola di equazione: Trovare il vertice, il fuoco e le equazioni dell asse e della direttrice. Determinare i punti di intersezione con gli assi cartesiani. Dato il fascio proprio di rette di equazione: Scrivere l equazione della retta tangente alla parabola. Disegnare il grafico. Svolgimento: Trovo le coordinate del vertice: Trovo le coordinate del fuoco: Equazione dell asse: Equazione della direttrice: Per trovare l intersezione con l asse x devo risolvere il sistema: 14

15 La parabola interseca l asse x in due punti: Per trovare l intersezione con l asse y risolvo il sistema: La parabola interseca l asse y in un punto: Per determinare la retta appartenente al fascio dato tangente alla parabola si imposta il seguente sistema: La retta tangente e la parabola hanno in comune due punti coincidenti quindi devo trovare m (il coefficiente angolare della retta) tale che il discriminante dell equazione di secondo grado del sistema sia nullo. Ci sono due rette appartenenti al fascio dato e tangenti alla parabola: Punti di tangenza con la retta y=7x+2: Il primo membro dell equazione di secondo grado del sistema rappresenta il quadrato di un binomio. Punti di tangenza con la retta y=-x+2: Il primo membro dell equazione di secondo grado del sistema rappresenta il quadrato di un binomio. 15

16 Grafico: 16

17 Esercizio 6: Siano dati l equazione della parabola e il punto. Determinare l equazione delle rette r ed s tangenti alla parabola e passanti per il punto P. Determinare le coordinate dei punti di contatto. Detti A e B i punti di contatto delle tangenti con la parabola, determinare l equazione della retta t passante per tali punti. Svolgimento: Scrivo l equazione di un generico fascio proprio di rette: Individuo il fascio proprio di centro P: Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema: Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due punti coincidenti. Calcolo i valori di m: Scrivo le equazioni delle due rette tangenti: Per trovare le coordinate dei punti di contatto devo risolvere due sistemi. Punti di contatto con la retta r: Come ci aspettavamo troviamo due punti coincidenti Punti di contatto con la retta r: 17

18 Risolvo il secondo sistema per calcolare i punti di contatto con la retta s: I due punti sono Punti di contatto con la retta s: Determino ora la retta passante per i due punti A e B. Scrivo l equazione del fascio improprio di rette con centro A: Tra tutte le rette del fascio individuo quella passante per B: Equazione della retta t: 18

19 Esercizio 7: Data la parabola di equazione: Determinare le eventuali intersezioni con la retta di equazione Determinare le tangenti alla parabola nei punti di intersezione. Determinare le coordinate del punto di intersezione delle due tangenti. Svolgimento: Per determinare le intersezioni della parabola con la retta risolvo il sistema: Tangenti alla parabola nel punto : Scrivo l equazione di un generico fascio proprio di rette: Individuo il fascio proprio di centro A: Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema: Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due punti coincidenti. Calcolo i valori di m notando che quindi. Retta tangente alla parabola nel punto A: 19

20 Tangenti alla parabola nel punto B : Individuo il fascio proprio di centro B: Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema: Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due punti coincidenti. Calcolo i valori di m notando che Retta tangente alla parabola nel punto B: quindi Per determinare le coordinate del punto di intersezione delle due tangenti risolvo il sistema: 20

21 Esercizio 8: Siano dati l equazione della parabola e i due punti e. tracciare dal punto A le tangenti r ed s alla parabola ottenendo i punti di contatto P e Q; tracciare dal punto B le tangenti t ed u alla parabola ottenendo i punti di contatto R ed S; trovare le coordinate del punto di intersezione tra la retta che passa per P e Q e la retta che passa per R ed S; trovare l equazione della retta per i due punti A e B. Svolgimento: Tangenti alla parabola nel punto : Scrivo l equazione di un generico fascio proprio di rette: Individuo il fascio proprio di centro A: Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema: 21

22 Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due punti coincidenti. Calcolo i valori di m: Ho trovato due valori di m quindi esistono due rette passanti per il punto A e tangenti alla parabola data. Ora tra le infinite rette appartenenti al fascio proprio individuo quelle tangenti alla parabola. L equazione della retta r si ottiene sostituendo il valore: all equazione del fascio proprio di rette con centro il punto A. L equazione della retta s si ottiene sostituendo il valore: rette con centro il punto A. all equazione del fascio proprio di Per trovare i punti di contatto si risolve il sistema costituito dall equazione della retta e da quella della parabola. Determino il punto P (intersezione della parabola con la retta r): Determino il punto Q (intersezione della parabola con la retta s): 22

23 Tangenti alla parabola nel punto B : Scrivo l equazione di un generico fascio proprio di rette: Individuo il fascio proprio di centro A: Per individuare le rette del fascio che hanno punti in comune con la parabola imposto il sistema: Per trovare le rette tangenti devo determinare m in modo che il discriminante di questa equazione sia nullo: la condizione di tangenza, infatti, impone che ciascuna retta incontri la parabola in due punti coincidenti. Calcolo i valori di m: Ho trovato due valori di m quindi esistono due rette passanti per il punto B e tangenti alla parabola data. Ora tra le infinite rette appartenenti al fascio proprio individuo quelle tangenti alla parabola. L equazione della retta t si ottiene sostituendo il valore: all equazione del fascio proprio di rette con centro il punto B. L equazione della retta u si ottiene sostituendo il valore: di rette con centro il punto B. all equazione del fascio proprio Per trovare i punti di contatto si risolve il sistema costituito dall equazione della retta e da quella della parabola. Determino il punto R (intersezione della parabola con la retta t): 23

24 Determino il punto S (intersezione della parabola con la retta u): Equazione della retta passante per i punti : Scrivo l equazione di una generica retta: Imposto il sistema per trovare m e q: Equazione della retta: Equazione della retta passante per i punti R : Scrivo l equazione di una generica retta: Imposto il sistema per trovare m e q: Equazione della retta: Intersezione tra queste due rette: Il punto cercato ha coordinate. Equazione della retta passante per i punti : Scrivo l equazione di una generica retta: Imposto il sistema per trovare m e q: 24

25 Equazione della retta: 25

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