Problemi sulla parabola

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1 1 equazione della parabola ordinate, che passa per i punti AA( ; 1), BB(; ), CC 0; 1 5. yy = xx ordinate, avente vertice nel punto VV(0; 1) e passante per PP(1; ). yy = xx 1 Determina l equazione della parabola che ha fuoco FF(1; ) e vertice VV(4; ). xx = yy 1 + yy ascisse, avente il vertice nel punto VV(; ) e che interseca l asse x nel punto di ascissa 4. xx = yy 4 + yy Determina l equazione della parabola con asse parallelo all asse delle ascisse averte il vertice nel punto VV 1 ; 4 e congruente alla parabola yy = xx e con la concavità rivolta verso sinistra. Una parabola ha vertice nell origine degli assi cartesiani, asse coincidente con l asse delle ordinate e direttrice di equazione yy = 4. Dopo aver individuato le coordinate del fuoco, scrivi l equazione della parabola. xx = yy yy 5 FF(0; 4 xx ); yy = 7 Determina l equazione della parabola avente fuoco FF 1 ; 1 e 4 direttrice yy = 5. yy = 1 xx 4 xx Scrivi l equazione della parabola, con asse parallelo all asse y, avente asse di equazione xx =, vertice appartenente alla retta di equazione xx yy = 0 e passante per l origine degli assi. yy = xx 9 + xx 9 10 Scrivi l equazione della parabola, con asse parallelo all asse y, tangente all asse x nel punto di ascissa e passante per il punto AA(0; 1). Determina l equazione della parabola, con asse parallelo all asse x, che interseca l asse y nei punti di ordinata e e ha direttrice di equazione xx = 1. yy = xx 4 xx + 1 yy xx = 5 yy xx = yy yy Determina l equazione della parabola, con asse parallelo all asse x, passante per l origine degli assi, avente vertice di ascissa e che stacca sull asse y una corda di lunghezza 4. Determina l equazione della parabola, con asse parallelo all asse y, che interseca l asse x nei punti A e B di ascissa e 5 e l asse y nel punto C di ordinata 10. xx = yy ± yy yy = xx + xx + 10 v di 5

2 Una parabola ha il vertice nell origine e il fuoco di coordinate 0; 1 ; una seconda parabola ha il vertice nell origine degli assi e direttrice di equazione xx = 1. Determina le equazioni delle due parabole e i punti di intersezione. Determina per quale valore del coefficiente a nell equazione yy = aaxx, la parabola: a) passa per il punto PP( ; ); b) ha fuoco nel punto FF(0; 5); c) ha direttrice di equazione yy = 4 Determina per quale valore del coefficiente aa nell equazione yy = aaxx, la parabola: a) ha fuoco di ordinata negativa con distanza dalla direttrice uguale a ; b) ha la concavità rivolta verso il basso e fuoco distante dall origine degli assi yy = 4xx xx = yy (0; 0), ( 4 ; 4 4 ) aa) aa = ; bb) aa = 1 0 ; cc) aa = 1 aa) aa = ; bb) aa = Determina la parabola di equazione yy = aaxx + bbbb + cc che passa per AA(0; ), ha come asse la retta di equazione xx = e due suoi xx punti BB e CC, entrambi di ordinata 1 yy = sono tali che BBBB = 4. + xx 17 1 posizioni reciproche di rette e parabole Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione yy = xx + xx + 4, condotte dal punto PP 1 ; 7 e le coordinate dei punti di tangenza. Determina l equazione di una parabola, con asse parallelo all asse y, sapendo che passa per i punti AA(0; ), BB(1; 4) ed è tangente alla retta di equazione 6xx + yy 19 = 0. 4xx yy + 5 = 0; xx + yy = 0; ( 1; 1); (; 4) yy = xx + xx + ; yy = 49xx + 50xx + 19 Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione yy = xx xx nei suoi punti di intersezione con l asse x. xx + yy = 0; xx yy = Scrivi l equazione della parabola, con asse parallelo all asse y, che passa per i punti AA(1; ), BB(; 0), sapendo che, in questo punto, la tangente alla parabola ha coefficiente angolare 1. Data la parabola di equazione yy = xx + 4xx, determina l equazione della retta ad essa tangente, parallela a quella di equazione 4xx yy + 6 = 0. Determina poi le coordinate del punto di tangenza. Le parabole di equazioni yy = xx + 5xx 4 e yy = 4 4xx + 6xx sono entrambe tangenti alla retta di equazione yy = xx 1. Determina la distanza dei due punti di tangenza. yy = xx 5xx + 6 1xx 9yy = 0; ( 4 ; 14 9 ) 5 5 v di 5

3 Determina le equazioni delle tangenti comuni alle due parabole yy = xx 4 e yy = xx 4. yy = ± 4xx 4 5 Date le due parabole yy = (xx 1)(xx + 1) e yy = (xx + 1)(xx + ), scrivi l equazione della retta che passa per i loro punti di intersezione e determina la misura della corda intercettata dalle parabole su questa retta. Date la parabola di equazione yy = xx + xx 7 e la retta yy = xx, che taglia la parabola nei punti P e Q, calcola l area del trapezio che ha come basi le perpendicolari condotte da P e da Q all asse delle x. yy = 5xx + 5; Scrivi l equazione della retta tt tangente alla parabola di equazione yy = xx 4xx + 1 nel punto PP(; ). Indica poi con Q il punto in cui t interseca l asse y e calcola area e perimetro del triangolo QPO. yy = xx ; aaaaaaaa = 1; pp = Data la parabola di equazione yy = xx 6xx +, scrivi l equazione della retta ad essa tangente nel suo punto P di ascissa 1. Indicato con A il punto di intersezione della parabola con l asse y, calcola l area del quadrilatero concavo APVO, essendo V il vertice della parabola e O l origine del sistema di riferimento. Una parabola, con asse parallelo all asse y, passa per i punti AA(0; 6), BB( 1; 1) ed è tangente alla retta di equazione yy = xx. Dopo aver individuato l equazione della parabola, determina l ascissa dei punti PP della parabola per i quali PPPP = PPPP, essendo CC il punto di intersezione della parabola con l asse x avente ascissa minore. Trova i punti di intersezione della parabola yy = xx + xx 5 con la retta yy = xx. Determina l area del trapezio rettangolo che ha come basi le ordinate di questi punti e gli altri due lati, rispettivamente, sulla retta e sull asse x. Scrivi l equazione della tangente alla parabola yy = xx nel suo punto di ascissa 1. Inoltre, dopo aver condotto una seconda retta per questo punto, inclinata di 150 sul semiasse positivo delle x, determina l area del triangolo limitato da queste rette e dall asse x. Data la parabola di equazione yy = xx + 4xx + 5, determina: a) le intersezioni della parabola con la retta di equazione yy = xx + 5 e indicale con AA e BB, con AA punto di ascissa minima; b) un punto P sull arco di parabola AAAA in modo che il triangolo OPB abbia area 0. Data la parabola di equazione yy = xx 1xx + 10, siano A e B i punti in cui essa incontra l asse x (con xx AA < xx BB ) e C il punto in cui incontra l asse y. Determina il perimetro e l area del trapezio ABCD dove D è il punto d incontro con l asse y della retta parallela a BC che passa per il punto A. yy = xx ; aaaaaaaa = yy = xx + 5xx 6; ± 4 (1; ); (5; 10); aaaaaaaa = 4 yy = xx ; yy = xx ; aaaaaaaa = aa) AA(0; 5) ee BB(5; 0); bb) PP1(1; ), PP(; ) ; aaaaaaaa = 4 v di 5

4 Determina l equazione della parabola simmetrica rispetto all asse y e tangente nel punto (1; 1) alla bisettrice del primo e terzo quadrante. Stabilisci la natura del triangolo che ha come vertici i punti della parabola di ascissa, 1 e e calcolane l area. yy = xx + 1; tttttttttttttttttt rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr; aaaaaaaa = 15 4 Determina l equazione della parabola con asse parallelo all asse y che passa per l origine O degli assi ed è tangente nel punto AA( 4; 0) alla retta di equazione yy = 4xx +. Determina poi i punti BB della parabola per i quali il triangolo ABO è rettangolo in B. yy = xx 4xx BB( ± ; 1 5 Determina l equazione della parabola con asse parallelo all asse y che passa per AA 1 ; 7 ed è tangente nell origine O del sistema di 4 riferimento alla retta di equazione yy = 4xx. Detto B l ulteriore punto di intersezione della parabola con l asse delle ascisse, determina i punti C della parabola per i quali il triangolo OCB ha area 6. yy = 4xx xx ; CC1(1; ); CC(; ); CC,4 ( ± 7; ) fasci di parabole Studia il fascio di parabole di equazione: yy = (kk )xx + ( 5kk)xx 4 + 7kk e determina poi per quale valore del parametro k la parabola del fascio: passa per il punto PP(; ); ha il vertice sull asse delle ordinate Studia il fascio di parabole di equazione: (mm + 1)xx 4(mm + 1)xx (mm + 1)yy mm = 0 e determina poi la parabola del fascio avente il vertice sulla retta di equazione xx yy 4 = 0. Studia il fascio di parabole di equazione (1 kk)xx ( + kk)xx + (1 + kk)yy 6 kk = 0 e determina l equazione della parabola del fascio che ha asse di simmetria di equazione xx = 1. Considera il fascio di parabole di equazione: (mm + 1)yy + (mm 1)xx + (mm 1)yy = 0 e studia le sue principali caratteristiche. Determina poi la parabola del fascio: a) tangente alla retta xx yy = 0; b) che intercetta sul semiasse positivo delle ordinate un segmento di lunghezza. pppppppppppppppp ssssssssssssss; pppppppppppppppp dddddddddddddddd pppppp kk = ; pppppppppp bbbbbbbb: AA(1; 0)ee BB 7 ; 9 ; aa)kk = ; bb) kk = 5 pppppp mm 1 pppppppppp cccccccccccccccccccc cccccc aaaaaaaa dddd ssssssssssssssssss xx =, ssssssssss pppppppppp iiii cccccccccccc; yy = xx 4xx + 4 pppppppppppppppp ssssssssssssss; pppppppppp bbbbbbbb: AA( 1; ) ee BB(1; ) yy = xx + xx + pppppp mm 1 pppppppppp cccccccccccccccccccc cccccc aaaaaaaa dddd ssssssssssssssssss yy = cccccccc tttttttttttttttt iiii OO aaaaaaaa rrrrrrrrrr xx + yy = 0; aa)xx = yy yy; bb) xx = yy yy 40 Nel fascio definito dalle parabole di equazioni yy = xx xx + 1 e yy = xx + 4xx + 1, determina l equazione delle parabole degeneri. yy = xx + 1; xx = 0, xx = v di 5

5 41 Nel fascio individuato dalle parabole di equazioni yy = xx + xx 1 e yy = xx + xx, determina la parabola: a) avente il fuoco di ascissa 7 ; b) avente asse di simmetria di equazione xx = 1. aa) 4yy = xx + 7xx 1 bb) yy = 5xx + 5xx Nel fascio individuato dalle parabole di equazioni yy = xx xx + 4 e yy = xx +, determina la parabola: a) avente vertice di ascissa 1 ; 4 b) tangente alla retta di equazione yy = xx + 4. aa) yy = xx + xx + 1 bb) yy = xx xx + ee yy = xx xx Scrivi l equazione del fascio di parabole, con asse parallelo all asse y, passanti per AA(0; 0) e BB(1; 4). Determina l equazione del fascio di parabole, con asse parallelo all asse y, passanti per i punti AA( 1; 1) e BB(1; 1). Trova poi la parabola del fascio con concavità verso l alto e con il vertice sulla retta di equazione yy = xx 4. yy = kkxx + (4 kk)xx yy = kkxx xx kk; yy = xx xx 1 45 Scrivi l equazione del fascio di parabole con asse parallelo all asse y tangenti nel punto TT(; 7) alla retta di equazione yy = xx +. yy = kkxx + (1 kk)xx + + 4kk 46 Nell equazione yy = xx + bbbb 1 determina b in modo tale che la 6 parabola passi per il punto MM ; 5. bb = Determina a e b in modo tale che la parabola yy = aaxx + bbbb 10 passi per il punto PP(1; 0) e per il punto QQ( ; ). Determina b e c in modo tale che la parabola yy = xx + bbbb + cc passi 4 per i punti MM ; 5 5 e NN 1;. 1 Determina per quali valori di k la parabola di equazione yy = xx + kkkk + 4 è tangente all asse delle ascisse. Scrivi le equazioni delle parabole corrispondenti ai valori trovati e calcola l area della parte di piano individuata dalle tangenti a esse nel punto di ascissa nulla e dall asse delle x. Data l equazione della parabola yy = aaxx + bbbb + cc, con asse di simmetria xx =, determina i coefficienti a, b e c in modo tale che la parabola passi per AA( 1; 4) e sia tangente alla retta di equazione 4xx 4yy + 7 = 0. aa = ; bb = 1 bb = ; cc = 4 kk = ±4; yy = xx ± 4xx + 4; aaaaaaaa = 4 yy = xx + 6xx + ; yy = xx 64 + xx v di 5