la funzione assume valore per qualsiasi valore di x, quindi il suo dominio è R.

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1 Data la funzione f (x)=a x 3 +b, trova per quali valori di a e di b il grafico di f (x) passa per i punti (; 1) e ( ; 4). Rappresenta f (x), indicandone il dominio e il codominio. Troca i punti di intersezione di f (x) con gli assi cartesiani, calcola l'area del triangolo da essi formato e il raggio r della circonferenza circoscritta. Affinchè la funzione passi per (;1) e (-;4) deve essere a 3 + b=1 e 4=a 3 + b e quindi deve essere a+b=1 4=a+b b=1 a 4=a+ 1 a b=1 a 3 a+ 1=4 b=1 = 1 a=1 e quindi la funzione diventa f (x)= x 3 1 la funzione assume valore per qualsiasi valore di x, quindi il suo dominio è R. Per il calcolo del codominio, stabiliamo che la funzione assuma valore k. Deve essere x 3 +1=k x 3 =k 1 che ha soluzione solo se k 1 0, se k 1. Il codominio è quindi [1;+ ] Per trovare le intersezioni con gli assi cartesiani, risolviamo il sistema

2 y= x 3 1 y=0 x 3 =1 y=0 x 3 0 x 3=1 oppure x 3< 0 x +3=1 x 3 0 x=4 oppure x 3<0 x= e quindi i punti di intersezione sono A(4;0), B(;0) e C(0;). L'area del triangolo ABC è. Il cerchio circoscritto ha come centro l'intersezione degli assi, L'asse di AB ha equazione x=3, l'asse di AC passa per M(;1) ed ha come coefficiente angolare, quindi la sua equazione è y 1=(x ) y 1= x 4 y= x 3 che messa a sistema con x=3 restituisce D(3;3). Il raggio del cerchio circoscritto è quindi DB= (1) +3 = 10

3 Verifica che il quadrilatero di vertici A(3;0) B(13;4) C(9;6) D(4;4) è un trapezio e che il segmento che congiunge i punti medi dei lati obliqui è parallelo alle basi e congruente alla loro semisomma. Individuiamo la coppia di lati paralleli m AB = = m AC = = 3 m AD = = 4 m BC = = 1 m BD =0 m CD = I lati paralleli son o CD e AB. Il quadrilatero è convesso quindi è un trapezio di lati obliqui BC e AD. Calcoliamo i punti medi dei lati obliqui M BC = ( ; 4+ 6 ) =(11 : ) M AD = ( 3+ 4 ; ) = ( 7 ; ) il coefficiente angolare della retta che congiunge i due punti medi è +

4 3 ( 11 7 ) = ( 1 ) = che risulta parallelo alle basi e M AD M BC = ( ) = 4 + 9= 61 4 = 3 9 CD= +4= 9 AB= = 116= 9 si ha quindi che AB+CD M M AD BC

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6 Si determinino i vertici e l'area del parallelogramma ABCD che ha due lati consecutivi sulle rette di equazioni 3 x+ y =0 x y 11=0 e un vertice nel punto A(4;1) Scriviamo in forma esplicita le equazioni delle due rette y= 3x e y= x 11 La prima retta ha coefficiente angolare -3, la seconda. Le rette giaciture per A hanno equazione y 1= 3(x 4) e y 1=( x 4) Troviamo le intersezioni con le rette iniziali y 1= 3(x 4) y= x 11 y 1= 3 x+1 y=x 11 y= 3 x+13 y= x 11 x 11= 3 x+13 y= x 11 x=3 y=4 C(3:4) y 1=(x 4) y= 3 x+ y= x 19 y= 3 x+ x 19= 3 x+ y= 3 x+ x=3 y= 4 B(3;-4) Infine, siccome le due retta iniziali sono la giacitura di due lati consecutivi,per calcolare il punto D risolviamo il sistema y= 3 x y= x 11 x 11= 3 x y= x 11 x= y= 1 D(;-1) L'altezza del parallelogramma è la distanza del punto A dalla retta x y 11=0 h= = = la misura della base è CD= 1+= 6 e quindi A ABCD = =8

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8 Conoscendo i due vertici A (; 1), B (4;3 ) di un triangolo isoscele di base AB e il suo circocentro D ( 1 3 ; 7, determinare il terzo vertice C. 3) sappiamo che il triangolo ABC ha gli assi che si incontrano in D. Calcoliamo l'equazione della retta per AB y+1 x = = y+1= x 4 y= x il cui coefficiente angolare è il cui antireciproco è 1 l'equazione dell'asse di AB é. Il punto medio di AB è M(3;1), quindi y 1= 1 (x 3) y=1 1 x+ 3 = 1 x+ Per costruzione, DB è congruente a DC e quindi DC= ( 1 3 ) +( ) = = 1 9 = 3 a questo punto, imponiamo che CD= 3 e che C appartenga alla retta y= 1 x+. Di conseguenza, le cooordinate di C sono date da una delle soluzioni di questo sistema ( 1 3 ) x y= x +( 7 3 y ) = 1 9 che risolto dà (-3;4) e ( 11 3 ; 3)

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10 Siano dati i punti A(-;1) B(1;-1) D(;7) e la retta r di equazione x y 7=0 a) verifica che il triangolo ABD è rettangolo in A b) trova un punto C su r in modo che il quadrilatero ABCD sia un trapezio avente BC e AD come basi c) calcola l'area del trapezio trovato. a) calcoliamo m AB = = 3 m AD = 1 7 = 6 4 = 3 i coefficienti angolari delle rette per AB e AD sono antireciproci. Di conseguenza, le giaciture di AB e AD sono perpendicolari e il triangolo ABD è rettangolo in A. b) in base alla figura si deduce che il punto C è l'intersezione della parallela ad AD passante per B con la retta r.

11 m AD = = 3 l'equazione della retta per B parallela ad AD è y+1= 3 (x 1) y+=3 x 3 3 x y =0 Il punto C è l' intersezione della retta r con questa retta. Le sue coordinate sono quindi le soluzioni del sistema 3 x y =0 x y 7=0 3 x y =0 y= x 7 3 x ( x 7) =0 y=x 7 3 x 4 x+14 =0 y= x 7 x+9=0 y= x 7 e quindi C(9;11). Da cui BC= ( 9 1) +(11+1) = = 08=4 13 Analogamente AD= (+) +(7 1) = 16+36= = 13 AB= (1+) +( 1 1) = 9+ 4= 13 e quindi

12 S ABCD = (BC+ AD) AB = =39

13 Un rombo ha centro nell'origine degli assi cartesiani e i vertici su di essi. Si sa che un lato appartiene alla retta 4 x +3 y 1=0. Verifica che il raggio della circonferenza inscritta nel 1 rombo misura. Determina la misura delle diagonali e le equazioni delle rette sulle quali giacciono gli altri lati del rombo. Il raggio della circonferenza inscritta nel rombo coincide con l'altezza del triangolo OAB che si calcola con la formula della distanza dell'origine dalla retta 4 x +3 y 1=0 OH = 1 = 1 Per determinare la misura delle diagonali, calcoliamo le coordinate di A e B 4 x+3 y 1=0 y=0 4 x+3 y 1=0 x=0 y=4 x=0 4 x 1=0 y=0 B(0;4) x=3 y=0 e A(3;0) quindi le misure delle diagonali sono 6 e 8. Le rette dei lati sono simmetriche a quella data, che riscriviamo in forma esplicita y= 4 3 x+ 4 e quindi y= 4 3 x+ 4 y= 4 3 x 4 y= 4 3 x 4

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15 Esercizio pagina 97 numero 336 Dati i punti A(0;4), B(0;-) e C(;0) considera un punto generico P(h; k) dove h, k R. Siano A',B' e C' le proiezioni di P rispettivamente sulle rette BC, AC e AB a) calcola l'equazione della circonferenza γ b) Verifica che il punto P appartiene a γ se e solo se i tre punti A' B' E C' sono allineati c) Determina l'aera del triangolo ABP quando P appartiene al minore degli archi ^AB ; trova la posizione di P affinché detta area sia massima. Calcoliamo le equazioni delle rette BC,AC e AB. x=0 È la retta per AB y 4 + x =1 è la retta per AC y + x =1 è la retta per BC che si riscrivono x=0 4 x+ y 0=0 x y 10=0 Per il calcolo della circonferenza per A,B e C, risolviamo il sistema 16+ 4b+c=0 4 b+c=0 + a+c= b+b 4=0 c= b 4 + a+b 4=0 1+6 b=0 c= b 4 1+ a+b=0 b= c= 8 1+ a+b=0

16 b= c= 8 1+ a 4=0 b= c= a= 17 e quindi l'equazione della circonferenza γ è x + y 17 x 10 y 40=0 Per calcolare le coordinate delle proiezioni di P sulle rette AB,BC e AC, riscriviamole in forma esplicita 4 x+ y 0=0 si riscrive y= 4 x+ 4 x y 10=0 si riscrive y= x e quindi i coefficienti angolari delle rette ortogonali sono rispettivamente 4 e y k= (x h) 4 y=k+ 4 x 4 h e y k= (x h) y=k x + h e y=k per il calcolo delle coordinate di A', intersechiamo la retta y=k x+ h con y= x y=k x+ h y= x y=k x+ h y= x

17 che risolto dà x= (h+ k+4) 9 y= quindi A ' ( 9 ( h+k ) 9 (h+k+ 4); 9 (h+k ) ) per il calcolo delle coordinate di B', intersechiamo la retta y=k+ 4 x 4 h con y= 4 x+ 4 y=k+ 4 x 4 h y= 4 x+4 che risolto dà x= (h 4 k+ 16) 41 y= 4 41 (h 4k ) quindi B ' ( 4 (h 4 k+16); (h 4k ) ) per il calcolo delle coordinate di C', intersechiamo la retta y=k con x=0, e quindi C '(0;k). Imponiamo che i tre punti siano allineati. Allora deve essere y A ' y B ' x A ' x B' = y C ' y B' x C ' x B' 9 (h+ k )+ 4 (h 4 k ) 41 9 (h+k+ 4) = 41 (h 4 k+16) k+ 4 (h 4 k ) 41 0 ( h 4 k+16) 41

18 9 (h+k )+ 4 (h 4 k ) 41 9 (h+k+4) = 41 (h 4 k+16) che semplificata equivale a k+ 4 ( h 4 k ) ( h 4k+16) h +k 17 h 10h 40=0 che è l'equazione della circonferenza per A,B e C. Questa proprietà è stata dimostrata da Simpson e in seguito da Wallace, per cui viene detta Teorema di Simpson-Wallace. La retta che unisce i punti A',B' e C' si chiama retta di Simpson

19 L'area del triangolo ABP è data da AB PH = 6 h =3 h Infine, il massimo dell'area del triangolo ABP si ha quando l'ascissa di P è massima, quando il triangolo ABP è isoscele,come si prova facilmente per assurdo. In tal caso deve essere y P = (x A +x B ) = (6 ) =1 e quindi x P sarà soluzione più piccola di x x 10 40=0 x 17 x 49=0 che ha come soluzione 17± 1189 x= x P = e quindi P( 1 ; )

20 Esercizio pagina 97 numero 337 Dati i punti A(0;0), B(;0), C(4;0) considera il punto P(0;t) e indica con D il punto medio del segmento AP, con E il punto di intersezione tra la retta CD e la retta PB. a) calcola le equazioni delle circonferenze passanti per le terne dei punti P,A,B e C,A,D. b) trova il loro ulteriore punto di intersezione Q, e determina il luogo descritto dal punto Q al variare di P sull'asse delle ordinate. c) determina la posizione del punto P, non coincidente con l'origine degli assi, affinché Q appartenga alla bisettrice del I e del III quadrante. Le coordinate di D sono D(0 ;t) e C(4;0); quindi la retta CD ha equazione x 4 + y t =1 P(0;t) e B(;0) quindi la retta PB ha equazione x + y t =1 che riscritte diventano t x+4 y 1=0 e t x+ y 4 t=0 Il punto E avrà quindi come coordinate la soluzione del sistema t x+ 4 y 1=0 t x+ y 4t=0, per riduzione t x+4 y 1=0 4t x 4 y+8t=0 3t x 1+ 8t=0 4t x 4 y+8t=0 e quindi 1+ 8 t=3t x 4t x 4 y+8t=0

21 x= 8t 1 3t 4t x 4 y+8t=0

22 l'equazione della circonferenza si calcola con il sistema di equazioni 4 t + tb+c=0 4+ a+c=0 c=0 4 t +tb=0 4+ a=0 c=0 4 t + tb=0 a= c=0 4 t+b=0 a= c=0 t+b=0 a= c=0 b= t a= c=0 x + y x ty=0

23 l'equazione della circonferenza per C,A,D si calcola con il sistema di equazioni A(0;0), D(0;t), C(4;0) a+c=0 t +tb+c=0 c= a=0 t +t b=0 c= a=0 t +t b=0 c=0 a= 4 t+b=0 c=0 a= 4 b= t c=0 e quindi la circonferenza ha equazione x + y 4 x ty=0 intersechiamo le due circonferenze

24 x + y x t y=0 x + y 4 x t y=0 x + y x t y=0 x+4 x t y +t y=0 x + y x t y=0 x t y=0 x + y x t y=0 x=t y x + y x t y=0 x= t y (t y ) + y t y t y=0 4 x= t y (t y +4 y ) 3t y=0 4 x= t y (t y + 4 y ) 1t y=0 x= t y

25 y (t + 4) 1 t y=0 x= t y scartando la soluzione nulla y(t e quindi + 4) 1t=0 x= t y y(t + 4) 1 t=0 x= t y si ricavano le coordinate del punto Q Q( 6t t + 4 ; 1t t + 4) le cui coordinate cartesiane sono espresse da y(t + 4) 1 t=0 t= x y 4 x y( y + 4) 4 x y =0 t= x y

26 4 x + 4 y ( ) 4 x y y =0 t= x y e quindi x + y 6 x=0 imponiamo che y=x e otteniamo 6t =1t t= e quindi P(0;4)