Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)"

Transcript

1 Geometria analitica del piano II (M.S. Bernabei & H. Thaler)

2 Equazione della retta in forma esplicita Sia data una retta r ax + by + c = 0 con b 0. Svolgendo questa equazione per y otteniamo e ponendo y = a b x c b m = a, q = c b b si ha y = mx + q (*) (equazione della retta in forma esplicita).

3 y = mx + q

4 Al variare di m, q R otteniamo tutte le rette del piano tranne quelle parallele all asse y. Queste ultime sono della forma x = k, k R. Il numero m è detto coefficiente angolare della retta. Ponendo x = t si ottiene subito la seguente equazione parametrica di (*) x = t y = q + mt x y = 0 q + t 1 m (**) Da quest ultima equazione vediamo che la retta r passa Per il punto (0, q) ed è parallela al vettore v = i + mj.

5 Se θ indica l angolo che la retta e il vettore v formano con l asse delle x, si ha m = tan θ. Se P 0 = (x 0, y 0 ) è un punto sulla retta r, allora l equazione cartesiana corrispondente all equazione (*) della retta si trova come: y y 0 = m x x 0. (Δ) Al variare di m otteniamo tutte le rette del piano passanti per P 0 tranne quella parallela all asse delle y.

6 Esempio. Trovare l equazione della retta che passa per il punto P 0 = ( 1, 2) e che forma un angolo di π/3 con l asse x. Dato che m = tan θ = 3, otteniamo dall equazione (Δ) Siano date due rette y 2 = 3 x + 1. r : y = mx + q e r 1 : y = m 1 x + q 1.

7 Ovviamente le due rette sono parallele se e solo se lo sono i due vettori v = i + mj e v 1 = i + m 1 j, quindi se e solo se m = m 1. D altra parte le due rette sono perpendicolari se e solo se lo sono i due vettori v e v 1, quindi solo se 1 + mm 1 = 0. Esempio. Trovare l equazione della retta r passante per il punto P 0 = (2, 3) e parallela alla retta r 1 : 2x 5y + 3 = 0.

8 Siccome le due rette sono parallele vale m = m 1 = 2, per cui troviamo secondo (Δ) 5 l equazione r y + 3 = 2 5 (x 2). Esempio. Trovare l equazione della retta r passante per il punto P 0 = ( 1, 4) e perpendicolare alla retta r 1 : 2y 3x + 4 = 0. Il fatto che le due rette sono perpendicolari consegue

9 che 1 + mm 1 = 0, per cui m = 1 m 1 = 2/3. Quindi r y 4 = 2 3 (x + 1). L angolo fra le due rette r e r 1, con direzioni v e v 1, è dato da cos θ = ± v v mm 1 = ± v v m m 1

10 Distanza di un punto da una retta Siano dati una retta r : ax + by + c = 0 e un punto P 0 = (x 0, y 0 ). Sia H il piede della perpendicolare alla retta r condotta da P 0. La distanza δ del punto P 0 dalla retta è uguale alla lunghezza del segmento P 0 H, quindi δ = P 0 H. Sia H = (x, y). Essendo H r, vale ax + by + c = 0. I vettori P 0 H e v = ai + bj sono paralleli.

11 δ = P 0 H

12 Dalla formula per il prodotto scalare otteniamo P 0 H v = P 0 H v, cioè δ = P 0 H = P 0 H v. v Sostituendo nella formula precedente le componenti dei vettori P 0 H e v, si ottiene δ = x 0 x a + y 0 y b a 2 + b 2

13 oppure, usando il fatto che ax by = c δ = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 Esempio. Trovare la distanza δ del punto P 0 = (4, 1) dalla retta r : 6x + 8y 3 = 0. Applicando la formula sopra, si ha: δ = =

14 La distanza fra due rette parallele r e r 1 di equazioni rispettivamente ax + by + c = 0 e ax + by + c 1 = 0 si ottiene misurando la distanza fra un punto generico P 0 = (x 0, y 0 ) r 1 e la retta r. Notando che P 0 r 1, si ha δ = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 = c 1 + c a 2 + b 2 Esempio. La distanza fra le rette parallele 4x 3y + 1 = 0 e 4x 3y + 5 = 0 è δ = = 4 5

15 Distanza δ fra le rette r e r 1

16 Esercizi 1. Trovare il coefficiente angolare delle seguenti rette: 4x-5y+20=0, 2x+3y-12=0. [4/5, -2/3] 2. Trovare l equazione della retta di coefficiente angolare 3 e che stacca sull asse y un segmento di misura 2 e disegnarla. [3x-y+2=0] 3. Per quale valore del parametro a il punto M=(a,3) giace sulla retta che congiunge i punti Q=(1,-6), P=(0,-3)? [a=-2] 4. Trovare l equazione della retta i cui punti sono equidistanti dai punti A=(2,-2) e M=(-4,2) e disegnarla. [3x-2y+3=0]

17 1. Trovare il coefficiente angolare delle seguenti rette: 4x-5y+20=0, 2x+3y-12=0. [4/5, -2/3] 4x 5y + 20 = 0 5y = 4x 20 y = 4 5 x + 4 m = x + 3y 12 = 0 3y = 2x + 12 y = 2 3 x + 4 m = 2 3.

18 2. Trovare l equazione della retta di coefficiente angolare 3 e che stacca sull asse y un segmento di misura 2 e disegnarla. [3x-y+2=0] Soluzione: Usando la forma esplicita della retta y = mx + q troviamo y = 3x + 2 3x + y 2 = Per quale valore del parametro a il punto M = (a, 3) giace sulla retta che congiunge i punti Q = (1, 6), P = (0, 3)? Soluzione: Primo passo: trovare l equazione della retta

19 x 1 1 = y+6 3 3x 3 = y 6 3x + y + 3 = 0 r ; Secondo passo: per quale a vale M = (a, 3) r? Deve valere 3a = 3a + 6 = 0 a = 2.

20 4. Trovare l equazione della retta i cui punti sono equidistanti dai punti A = (2,-2) e M = ( 4,2) e disegnarla. Soluzione: Sia r la rette cercata. Sia P 0 il punto medio del segmento AM, cioè P 0 = 1 2 A + M = = Come direzione della retta scegliamo un vettore v 6 che è perpendicolare al vettore AM = 4. =

21 che è perpendicolare al vettore AM = Per esempio v = L equazione parametrica della retta cercata è: P = P 0 + t 4 6, t R. Quindi x r: y = t 4 6 (forma parametrica). Per trovare la forma cartesiana della retta r, bisogna risolvere le due equazione di sopra rispetto a t:

22 t = x+1 4 ; t = y 6 ; x+1 4 = y 6, oppure 6x + 6 = 4y 6x 4y + 6 = 0 3x 2y + 3 = 0.

23 5. Dato il triangolo di vertici A=(7,9), B=(-5,7), C=(12,-3): trovare l equazione dell altezza passante per B. Disegnare il triangolo e l altezza. [5x-12y+109=0] 6. Trovare l equazione della retta equidistante dalle rette parallele 2x-3y+14=0 e 2x-3y-6=0. [2x-3y+4=0] 7. Trovare la distanza d tra le rette parallele 5x+12y+4=0 e 10x+24y+5=0. Disegnarle. [d=3/26] 8. Data la retta di equazione 2x+3y+4=0, scrivere l equazione della retta passante per il punto (2,1) e perpendicolare alla retta data. Disegnarle. [3x- 2y-4=0]

24 5. Dato il triangolo di vertici A=(7,9), B=(-5,7), C=(12,-3): trovare l equazione dell altezza passante per B. Disegnare il triangolo e l altezza. 5 Soluzione: Il vettore AC = 12 è perpendicolare alla retta cercata r. Qunidi r 5x 12y + c = 0. Inoltre sappiamo che B r c = 0 c = = 109. La retta cercata è data da r 5x 12y = 0.

25 6. Trovare l equazione della retta equidistante dalle rette parallele r 1 : 2x-3y+14=0 e r 2 : 2x-3y-6=0. Soluzione: Sia r: 2x 3y + c = 0 la retta cercata. Dalla formula per la distanza fra le rette otteniamo δ = c 1 + c a 2 + b 2 Di conseguenza = c 2 + c a 2 + b 2 c 1 + c = c 2 + c. (*)

26 Elevando entrambi i lati di (*) alla seconda troviamo c 1 + c c 14 2 = c 2 + c 2 2 = c c 2 28c = c c c = 160 c = 4. Abbiamo dimostrato che r: 2x 3y + 4 = 0.

27 Modo alternativo usando la forma esplicita delle rette: y 1 = 2 3 x ; y 2 = 2 3 x 2; Scegliendo q della retta cercata come q = q 1+q 2 2 q = = 4 3 r: y = 2 3 x + 4 3

28 7. Trovare la distanza δ tra le rette parallele 5x+12y+4=0 e 10x+24y+5=0. Disegnarle. Soluzione: Usando la formula δ = c 1+c a 2 +b 2, troviamo subito δ = 4+5/ = 3/ = 3 26.

29 8. Data la retta di equazione 2x+3y+4 = 0, scrivere l equazione della retta passante per il punto (2,1) e perpendicolare alla retta data. Disegnarle. Soluzione: Sia r: ax + by + c = 0 la retta cercata. I vettori a b e 2 3 sono perpendicolari, per cui a b = 3 2 è una possibile scelta. P r c = 0 c = 4.

30 9. Siano date le equazioni di due lati di un rettangolo x-2y=0, x-2y+15=0 e l equazione di una sua diagonale y=15-7x. Determinare le coordinate dei vertici del rettangolo. Fare il disegno. [(2,1), (4,2), (-1,7), (1,8)] 10. Dati i punti A=(1,4), B=(5,2), C=(8,7), determinare la distanza di A dalla retta passante per i punti B e C e l area del triangolo ABC. Fare il disegno. [ , 13] 11. Trovare la distanza del punto P=(2,-3) dalla retta di equazione y=2x-3. Fare il disegno. [ ]

31 9. Siano date le equazioni di due lati di un rettangolo x-2y=0, x-2y+15=0 e l equazione di una sua diagonale y=15-7x. Determinare le coordinate dei vertici del rettangolo. Fare il disegno. [(2,1), (4,2), (-1,7), (1,8)] Soluzione: r 1 : x 2y = 0; r 2 : x 2y + 15 = 0; d: y = 15 7x; Sia P 1 il punto di intersezione di r 1 con d. La soluzione del sistema r 1 d da il vertice P 1.

32 (i) x 2y = 0 (ii) y = 15 7x Inserendo ii in i x 2(15 7x) = 0 x x = 0 x = 2. ii y = = 1. P 1 = 2,1. r 2 d (i) x 2y + 15 = 0 (ii) y = 15 7x

33 Inserendo ii in i x x + 15 = 0 x x + 15 = 0 15x 15 = 0 x = 1. ii y = = 8. P 2 = 1,8. Troviamo la retta r 3 perpendicolare a r 1 passante per P 1. r 3 : 2x + y + c = 0; P 1 r c = 0 c = 5; r 3 : 2x + y 5 = 0; Mettendo a sistema r 3 e r 2 troviamo il vertice P 3 :

34 i) 2x + y 5 = 0 ii) x 2y + 15 = 0 i) y = 2x + 5 Sostituendo y nella seconda x 2 2x = 0 5x = 5 x = 1; y = 7; P 3 = 1,7 ; Il punto P 4 si trova in maniera analoga.

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Se proviamo a disporre, sul piano cartesiano, una retta vediamo che le sue possibili posizioni sono sei: a) Coincidente con l asse delle y; b) Coincidente con l asse delle

Dettagli

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni

Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni Corso di Geometria 2010-11 BIAR, BSIR Esercizi 10: soluzioni 1 Geometria dello spazio Esercizio 1. Dato il punto P 0 = ( 1, 0, 1) e il piano π : x + y + z 2 = 0, determinare: a) Le equazioni parametriche

Dettagli

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo

(x B x A, y B y A ) = (4, 2) ha modulo GEOMETRIA PIANA 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(0, 4), e B(4, ) trovarne la distanza e trovare poi i punti C allineati con A e con B che verificano: (1) AC = CB (punto medio del segmento AB); ()

Dettagli

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse:

Ricordiamo. 1. Tra le equazioni delle seguenti rette individua e disegna quelle parallele all asse delle ascisse: La retta Retta e le sue equazioni Equazioni di rette come luogo geometrico y = h h R equazione di una retta parallela all asse delle ascisse x = 0 equazione dell asse delle ordinate y = h h R equazione

Dettagli

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB);

GEOMETRIA PIANA. 1) sia verificata l uguaglianza di segmenti AC = CB (ossia C è punto medio del segmento AB); VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 GEOMETRIA PIANA Segmenti e distanza tra punti. Rette in forma cartesiana e parametrica. Posizioni reciproche di due rette, parallelismo e perpendicolarità. Angoli e distanze.

Dettagli

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

Dettagli

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?

Calcolo letterale. 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? Calcolo letterale 1. Quale delle seguenti affermazioni è vera? (a) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (b) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 98a 3 b 3 c (XX) (c) m.c.m.(49a b 3 c, 4a 3 bc ) = 49a bc

Dettagli

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2

Distanza tra punti e punto medio di un segmento. x1 + x 2 Distanza tra punti e punto medio di un segmento Siano P = (x 1, y 1 ) e Q = (x 2, y 2 ) due punti del piano cartesiano. La distanza di P da Q vale: P Q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 (si utilizza il Teorema

Dettagli

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9

Geometria BATR-BCVR Esercizi 9 Geometria BATR-BCVR 2015-16 Esercizi 9 Esercizio 1. Per ognuna delle matrici A i si trovi una matrice ortogonale M i tale che Mi ta im sia diagonale. ( ) 1 1 2 3 2 A 1 = A 2 1 2 = 1 1 0 2 0 1 Esercizio

Dettagli

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1.

Stabilire se il punto di coordinate (1,1) appartiene alla circonferenza centrata nell origine e di raggio 1. Definizione di circonferenza e cerchio. Equazione della circonferenza centrata in O e di raggio R. Esercizi. La circonferenza e il cerchio Definizioni: dato un punto C nel piano cartesiano e dato un numero

Dettagli

Appunti: il piano cartesiano. Distanza tra due punti

Appunti: il piano cartesiano. Distanza tra due punti ppunti: il piano cartesiano Distanza tra due punti Come determinare la distanza tra i punti ( ; ) e ( ; ): Se i due punti e hanno la stessa ascissa = allora (-3;1) (-3; 5) d()= d()= 1 5 4 4 Se i due punti

Dettagli

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza

Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 1 ottobre 011 Svolgimento degli esercizi sulla circonferenza Esercizio 1. La circonferenza ha centro in C 4 ), 7, 7 ) e raggio + 7 57

Dettagli

Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia

Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia Esercizi di Elementi di Matematica Corso di laurea in Farmacia dott.ssa Marilena Ligabò November 24, 2015 1 Esercizi sulla notazione scientifica Esercizio 1.1. Eseguire il seguente calcolo utilizzando

Dettagli

Rappresenta nel piano cartesiano l insieme dei punti P(x; y) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni:

Rappresenta nel piano cartesiano l insieme dei punti P(x; y) le cui coordinate soddisfano le seguenti condizioni: ultima modifica /0/0 ESERCIZI PROPOSTI IL PIANO CARTESIANO LE COORDINATE DI UN PUNTO NEL PIANO CARTESIANO A Quali sono le coordinate dei punti indicati in figura? B Quali sono le coordinate dei punti indicati

Dettagli

Circonferenze del piano

Circonferenze del piano Circonferenze del piano 1 novembre 1 Circonferenze del piano 1.1 Definizione Una circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, detto centro. La distanza di un qualunque punto della

Dettagli

1 Nozioni utili sul piano cartesiano

1 Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Nozioni utili sul piano cartesiano Il piano cartesiano è un sistema di riferimento costituito da due rette perpendicolari (una orizzontale detta asse delle ascisse x

Dettagli

GEOMETRIA /2009 II

GEOMETRIA /2009 II Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile e Edile-Architettura - a.a. 008/009 II Emisemestre - Settimana - Foglio 0 Docente: Prof. F. Flamini - Tutore:

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA 1 IL PIANO CARTESIANO

GEOMETRIA ANALITICA 1 IL PIANO CARTESIANO GEOMETRI NLITIC 1 IL PINO CRTESINO Il piano cartesiano è costituito da due rette orientate e tra loro perpendicolari chiamate assi cartesiani, generalmente una orizzontale e l altra verticale, sulle quali

Dettagli

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole.

Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Le coniche: circonferenza, parabola, ellisse e iperbole. Teoria in sintesi Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono

Dettagli

La circonferenza nel piano cartesiano

La circonferenza nel piano cartesiano La circonferenza nel piano cartesiano 1. Definizione ed equazione. Si chiama circonferenza C, di centro C( α, β ) e raggio r, l insieme di tutti e soli i punti del piano che hanno distanza r da C. L equazione

Dettagli

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani

Esercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;

Dettagli

EQUAZIONE DELLA RETTA

EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DELLA RETTA EQUAZIONE DEGLI ASSI L equazione dell asse x è 0. L equazione dell asse y è 0. EQUAZIONE DELLE RETTE PARALLELE AGLI ASSI L equazione di una retta r parallela all asse x è cioè è uguale

Dettagli

C I R C O N F E R E N Z A...

C I R C O N F E R E N Z A... C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della

Dettagli

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni

Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare

Dettagli

I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica

I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica I FACOLTÀ DI INGEGNERIA - POLITECNICO DI BARI Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (corso A) A.A. 2009-2010, Esercizi di Geometria analitica Negli esercizi che seguono si suppone fissato nello spazio

Dettagli

Trapani. Dispensa di Geometria, x 1 x 2.x n. (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2.

Trapani. Dispensa di Geometria, x 1 x 2.x n. (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 2006 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Distanze Siano P e Q punti di R n con P di coordinate allora la distanza tra P e Q e P Q = x 1 x 2 x n (x 1 y 1 ) 2 + (x n y n ) 2 e Q di coordinate Siano Σ 1 e Σ

Dettagli

Note di geometria analitica nel piano

Note di geometria analitica nel piano Note di geometria analitica nel piano e-mail: maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Novembre 2015. 1 Indice 1 Punti e vettori spiccati dall origine 3 1.1 Coordinate......................................

Dettagli

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI

15 luglio Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... ISTRUZIONI 15 luglio 01 - Soluzione esame di geometria - Ing. gestionale - a.a. 01-01 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono

Dettagli

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.

ax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0. . Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione

Dettagli

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO

RETTE E PIANI NELLO SPAZIO VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 RETTE E PIANI NELLO SPAZIO Rette e piani in forma cartesiana e parametrica. Parallelismo e perpendicolarità, posizioni reciproche tra rette e piani, distanze. Esercizio

Dettagli

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte

Politecnico di Torino Facoltà di Architettura. Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte Politecnico di Torino Facoltà di Architettura Raccolta di esercizi proposti nelle prove scritte relativi a: algebra lineare, vettori e geometria analitica Esercizio. Determinare, al variare del parametro

Dettagli

1 SIGNIFICATO DEL DETERMINANTE

1 SIGNIFICATO DEL DETERMINANTE UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA - Facoltà di Farmacia e Medicina - Corso di Laurea in CTF 1 SIGNIFICATO DEL DETERMINANTE Consideriamo il seguente problema: trovare l area del parallelogramma

Dettagli

C6. Quadrilateri - Esercizi

C6. Quadrilateri - Esercizi C6. Quadrilateri - Esercizi DEFINIZIONI E COSTRUZIONI 1) Dato il seguente quadrilatero completa al posto dei puntini. I lati AB e BC sono I lati AB e CD sono I lati AD e sono consecutivi I lati AD e sono

Dettagli

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE Prof. Giovanni Ianne CHE COS È LA PARABOLA DEFINIZIONE Parabola Scegliamo sul piano un punto F e una retta d. Possiamo tracciare sul piano i punti equidistanti da F e da

Dettagli

Geometria Analitica Domande e Risposte

Geometria Analitica Domande e Risposte Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano

Dettagli

LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO G. Pascoli di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 4a P-FILA A 04/11/2010- Tempo 100

LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO G. Pascoli di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 4a P-FILA A 04/11/2010- Tempo 100 LICEO PEDAGOGICO-ARTISTICO G. Pascoli di Bolzano VERIFICA SCRITTA DI MATEMATICA CLASSE 4a P-FILA A 4//- Tempo Ogni risposta ai quesiti va opportunamente motivata (con calcoli, grafici, ecc.) pena la sua

Dettagli

Esercizi svolti sulla parabola

Esercizi svolti sulla parabola Liceo Classico Galilei Pisa - Classe a A - Prof. Francesco Daddi - 19 dicembre 011 Esercizi svolti sulla parabola Esercizio 1. Determinare l equazione della parabola avente fuoco in F(1, 1) e per direttrice

Dettagli

Piano cartesiano e retta

Piano cartesiano e retta Piano cartesiano e retta Il punto, la retta e il piano sono concetti primitivi di cui non si da una definizione rigorosa, essi sono i tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Osservazione

Dettagli

Francesco Zumbo

Francesco Zumbo La retta - Teorema di Talete - Equazione della retta: passante per due punti, implicita, esplicita - Parallele e Perpendicolari - Fascio Propio e improprio - Intersezione tra rette Francesco Zumbo www.francescozumbo.it

Dettagli

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani

Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani Mutue posizioni della parabola con gli assi cartesiani L equazione di una parabola generica è data da: Consideriamo l equazione che definisce i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse

Dettagli

La retta nel piano cartesiano

La retta nel piano cartesiano La retta nel piano cartesiano Abbiamo visto come, fissato un sistema di riferimento, a ciascun punto sia possibile associare una coppia ordinata di numeri reali (le sue coordinate). Se adesso consideriamo

Dettagli

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE

LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA E LA SUA EQUAZIONE LA CIRCONFERENZA COME LUOGO GEOMETRICO DEFINIZIONE Assegnato nel piano un punto C, detto centro, si chiama circonferenza la curva piana luogo geometrico dei punti equidistanti

Dettagli

Esercizi di Geometria Analitica

Esercizi di Geometria Analitica Esercizi di Geometria Analitica Lucia Perissinotto I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave Beatrice Hitthaler I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave 10 settembre 2012 Capitolo 1 Esercizi di geometria analitica

Dettagli

2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0.

2. Determina l equazione della circonferenza passante per i punti A ( 2; 4), B ( 1; 3) ed avente centro sulla retta di equazione 2x 3y + 2 = 0. CLASSE 3^ C LICEO SCIENTIFICO Novembre 01 La circonferenza 1. Ricava l equazione di ciascuna delle circonferenze rappresentate, spiegando in maniera esauriente il procedimento che seguirai, prima di svolgere

Dettagli

CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI)

CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI) CORREZIONE FORMATIVA 2 ( RETTA IN FORMA PARAMETRICA E FASCI) D1 E' dato il fascio 2x+4y +k(8x+5y 6)=0 trovare le coordinate del centro... Risposta. Le rette base del fascio sono r1 : 2x+4y-=0 r2 : 8x+5y-6=0

Dettagli

D4. Circonferenza - Esercizi

D4. Circonferenza - Esercizi D4. Circonferenza - Esercizi Trasformare l equazione della circonferenza nell altra forma e rappresentare graficamente la circonferenza trovandone prima centro e raggio. 1) + --=0 [(-1) +(-1) =, C(1;1),

Dettagli

x 1 Fig.1 Il punto P = P =

x 1 Fig.1 Il punto P = P = Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi

Dettagli

Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM )

Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM ) Esercizi sulla retta. Gruppo 1 (4A TSS SER, 4B TSS SER, 4A AM ) 1. Scrivere l'equazione della retta passante per i punti P1(-3,1), P2(2,-2). Dobbiamo applicare l'equazione di una retta passante per due

Dettagli

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro.

LA CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto C, detto centro. Geometria Analitica Le coniche Queste curve si chiamano coniche perché sono ottenute tramite l'intersezione di una superficie conica con un piano. Si possono definire tutte come luoghi geometrici e, di

Dettagli

Geometria analitica. coppia di numeri equazione di 2 grado. delle equazioni

Geometria analitica. coppia di numeri equazione di 2 grado. delle equazioni 1 Geometria analitica La geometria analitica stabilisce una corrispondenza tra il mondo della geometria e il mondo dell'algebra. Ciò significa che gli enti geometrici hanno degli enti corrispondenti nel

Dettagli

La parabola. Giovanni Torrero Aprile La poarabola come luogo geometrico

La parabola. Giovanni Torrero Aprile La poarabola come luogo geometrico La parabola Giovanni Torrero Aprile 2006 1 La poarabola come luogo geometrico Definizione 1 (La parabola come luogo geometrico) La parabola è il luogo geometrico formato da tutti e soli i punti del piano

Dettagli

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1948 Luglio, matematicamente.it Luglio 1948, primo problema

Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1948 Luglio, matematicamente.it Luglio 1948, primo problema Luglio 1948, primo problema In un cerchio di raggio r è condotta una corda AB la cui distanza dal centro è r/. Inscrivere nel segmento circolare che non contiene il centro, un triangolo ABC in modo che

Dettagli

Esercizi e problemi sulla parabola

Esercizi e problemi sulla parabola Esercizi e problemi sulla parabola Esercizio 1. Si consideri l'insieme di parabole: con k R, k 1. Γ k : y = (k + 1)x x + k 4 (a) Determinare, per quali k, la parabola passa per l'origine. (b) Determinare,

Dettagli

e) A10, ( 1;B6,2 ) ( ) f) A3,42;B12,2

e) A10, ( 1;B6,2 ) ( ) f) A3,42;B12,2 7. ESERCIZI SULLA DISTANZA FRA DUE PUNTI ) Calcola le distanze fra le seguenti coppie di punti: a) A;B6 ( ) ( ) A( 8 ); B( 7 5) c) A ( ;B ) ( 7) d) A( ); B e) A ( ;B6 ) ( ) f) A4;B ( ) ( ) g) A ; B 6 h)

Dettagli

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato

Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato Problemi sulla circonferenza verso l esame di stato * * * n. 0 pag. 06 a) Scrivi l equazione della circonferenza γ 1 di centro P ; ) e passante per il punto A0; 1). b) Scrivi l equazione della circonferenza

Dettagli

a) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni

a) Parallela a y = x + 2 b) Perpendicolare a y = x +2. Soluzioni Svolgimento Esercizi Esercizi: 1) Una particella arriva nel punto (-2,2) dopo che le sue coordinate hanno subito gli incrementi x=-5, y=1. Da dove è partita? 2) Disegnare il grafico di C = 5/9 (F -32)

Dettagli

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere

il discriminante uguale a zero; sviluppando i calcoli si ottiene che deve essere Macerata maggio 0 classe M COMPITO DI MATEMATICA RECUPERO ASSENTI QUESITO Considera il fascio di curve di equazione: x y (.) = k + k 6 a) Trova per quali valori di k si hanno delle ellissi. Deve essere

Dettagli

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ

= (cioè le due terne di numeri direttori ( devono essere ) proporzionali). Tale uguaglianza non è verificata, poiché risulta ρ Alcuni esercizi sullo spazio euclideo R Nel seguito R indicherà lo spazio euclideo tridimensionale standard, dotato del riferimento cartesiano naturale (pag 56-57 del libro Nota: gli esercizi proposti

Dettagli

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L.

Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L. Esercizi per il corso di Algebra e Geometria L AA 2006/2007 1 Foglio 1 In tutti gli esercizi che seguiranno lo spazio ambiente sarà il piano cartesiano a valori nel campo dei numeri reali, dove supporremo

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k,

ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE. 2. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, ESERCIZI SVOLTI SU: GEOMETRIA TRIDIMENSIONALE 1. Fissato un sistema di riferimento cartesiano dello spazio euclideo O, i, j, k, determinare un equazione omogenea del piano parallelo al vettore v = i+j,

Dettagli

la funzione assume valore per qualsiasi valore di x, quindi il suo dominio è R.

la funzione assume valore per qualsiasi valore di x, quindi il suo dominio è R. Data la funzione f (x)=a x 3 +b, trova per quali valori di a e di b il grafico di f (x) passa per i punti (; 1) e ( ; 4). Rappresenta f (x), indicandone il dominio e il codominio. Troca i punti di intersezione

Dettagli

1 Rette e piani nello spazio

1 Rette e piani nello spazio 1 Rette e piani nello spazio Esercizio 1.1 È assegnato un riferimento cartesiano 0xyz. Sono assegnati la retta x = t, r : y = t, z = t, il piano π : x + y + z = 0 ed il punto P = (1, 1, 1). Scrivere le

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE

GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 ESERCIZI DI GEOMETRIA ANALITICA: LE CONICHE Esercizio 1: Fissato su un piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale

Dettagli

( ) e B( x 2. ( ) 2 + ( y 2. ( ), B( x 2

( ) e B( x 2. ( ) 2 + ( y 2. ( ), B( x 2 1 Il punto in R 3 La geometria analitica nello spazio: punti, vettori, rette e piani sintesi e integrazione prof D Benetti Un punto P nello spazio è associato a una terna ordinata di numeri reali numero

Dettagli

Problemi sull ellisse

Problemi sull ellisse 1 equazione dell ellisse Determina l equazione di un ellisse che ha i fuochi sull asse delle ascisse, semiasse maggiore lungo 6 e distanza focale uguale a 6 + yy Scrivi l equazione dell ellisse con i fuochi

Dettagli

1. LA GEOMETRIA ANALITICA

1. LA GEOMETRIA ANALITICA LA GEOMETRIA ANALITICA IL PIANO CARTESIANO Coordinate cartesiane Due rette orientate nel piano perpendicolari tra loro, aventi come punto d intersezione il punto O, costituiscono un sistema di riferimento

Dettagli

Punti nel piano cartesiano

Punti nel piano cartesiano Punti nel piano cartesiano In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo x e. Solitamente, disegniamo la retta x (ascisse) orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta e

Dettagli

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto

Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto La parabola Esercizi Esercizio 368.395 Una circonferenza e una parabola sono disegnate nel piano cartesiano. La circonferenza ha centro nel punto 0 ;5 e raggio, e la parabola ha il suo vertice in 0 ;0.

Dettagli

GEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta.

GEOMETRIA ANALITICA. (*) ax+by+c=0 con a,b,c numeri reali che è detta equazione generale della retta. EQUAZIONE DELLA RETTA Teoria in sintesi GEOMETRIA ANALITICA Dati due punti A e B nel piano, essi individuano (univocamente) una retta. La retta è rappresentata da un equazione di primo grado in due variabili:

Dettagli

7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza

7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza 7 Geometria analitica piana: retta, parabola, iperbole equilatera, circonferenza Il metodo della geometria analitica consiste nell applicare gli strumenti dell algebra allo studio della geometria. Il legame

Dettagli

Piano cartesiano e Retta

Piano cartesiano e Retta Piano cartesiano e Retta 1 Piano cartesiano e Retta 1. Richiami sul piano cartesiano 2. Richiami sulla distanza tra due punti 3. Richiami punto medio di un segmento 4. La Retta (funzione lineare) 5. L

Dettagli

Geometria Analitica nello Spazio

Geometria Analitica nello Spazio Geometria Analitica nello Spazio Andrea Damiani 4 marzo 2015 Equazione della retta - forma parametrica Se sono dati il punto A(x 0, y 0, z 0 ) e il vettore v (v x, v y, v z ), il generico punto P (x, y,

Dettagli

Condizione di allineamento di tre punti

Condizione di allineamento di tre punti LA RETTA L equazione lineare in x e y L equazione: 0 con,,, e non contemporaneamente nulli, si dice equazione lineare nelle due variabili e. Ogni coppia ; tale che: 0 si dice soluzione dell equazione.

Dettagli

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO

SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE PRECORSO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 013-014 ESERCIZI RELATIVI A SISTEMI DI RIFERIMENTO SU UNA RETTA E SU UN PIANO Esercizio 1: Fissato su una retta un sistema di riferimento

Dettagli

Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 2009/2010 ESERCITAZIONE 4.4

Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 2009/2010 ESERCITAZIONE 4.4 Ingegneria Gestionale - Corso di Algebra lineare e Analisi II anno accademico 9/ ESERCITAZIONE. (Cognome) (Nome) (Numero di matricola) Proposizione Vera Falsa Per due punti distinti di R passa un unica

Dettagli

Compito A

Compito A Compito A 1. Data l iperbole Γ di equazione y = (2x-1)/(3x+6), individua i punti A e B di intersezione della bisettrice del secondo e quarto quadrante con Γ (risolvi il problema sia graficamente che analiticamente).

Dettagli

Coordiante omogenee e proiezioni

Coordiante omogenee e proiezioni CAPITOLO 15 Coordiante omogenee e proiezioni Esercizio 15.1. Utilizzando le coordinate omogenee, determinare l equazione della retta r passante per i punti A(2,) e B( 1,0) e della retta s passante per

Dettagli

Una rappresentazione grafica indicativa della parabola nel piano cartesiano è data dalla figura seguente.

Una rappresentazione grafica indicativa della parabola nel piano cartesiano è data dalla figura seguente. La paraola Definizione: si definisce paraola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Una rappresentazione grafica indicativa

Dettagli

LAVORO ESTIVO di MATEMATICA Classi Terze Scientifico Moderno N.B. DA CONSEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE DI MATEMATICA DI SETTEMBRE

LAVORO ESTIVO di MATEMATICA Classi Terze Scientifico Moderno N.B. DA CONSEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE DI MATEMATICA DI SETTEMBRE LAVORO ETIVO di MATEMATICA Classi Terze cientifico Moderno N.B. A CONEGNARE ALLA PRIMA LEZIONE I MATEMATICA I ETTEMBRE PROBLEMI I ALGEBRA APPLICATA ALLA GEOMETRIA ) In un cerchio di raggio r si determini

Dettagli

PALESTRA PER IL RECUPERO

PALESTRA PER IL RECUPERO PIAN CARTESIAN E RETTA PALESTRA PER IL RECUPER SVLTI Determinare l equazione della retta passante per ð 3; Þ e per il punto P d intersezione della retta r di equazione 0 e della retta s di equazione 0.

Dettagli

Appunti sulla circonferenza

Appunti sulla circonferenza 1 Liceo Falchi Montopoli in Val d Arno - Classe 3 a I - Francesco Daddi - 16 aprile 010 Appunti sulla circonferenza In queste pagine sono trattati gli argomenti riguardanti la circonferenza nel piano cartesiano

Dettagli

Test di Matematica di base

Test di Matematica di base Test di Matematica di base Geometria Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo equilatero di eguale lato è a. 4 b. 4 d. [ ] Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione

Dettagli

Parte 11. Geometria dello spazio II

Parte 11. Geometria dello spazio II Parte 11. Geometria dello spazio II A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2010-11 Indice delle sezioni 1 Il prodotto scalare, 1 2 Distanze, angoli, aree, 4 3 Il prodotto vettoriale, 6 4 Condizioni di

Dettagli

Prodotto scalare e ortogonalità

Prodotto scalare e ortogonalità Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano

Dettagli

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Rette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 ette e piani nello spazio Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it ette e piani nello spazio. 9 Gennaio

Dettagli

Liceo Scientifico Cassini Esercizi di matematica, classe 5F, foglio3, soluzioni. normale parallelo a quello direzionale della retta sarà quindi

Liceo Scientifico Cassini Esercizi di matematica, classe 5F, foglio3, soluzioni. normale parallelo a quello direzionale della retta sarà quindi Liceo Scientifico Cassini Esercizi di matematica, classe 5F, foglio3, soluzioni Problema1 x = y Dato il punto P(0,1,2), la retta r: y = z 2 ed il piano α: x 3y + z = 0 a) Trova il piano passante per P

Dettagli

PIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi

PIANO CARTESIANO. NB: attenzione ai punti con una coordinata nulla: si trovano sugli assi PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano è individuato da due rette perpendicolari (ortogonali) che si incontrano in un punto O detto origine del piano cartesiano. Si fissa sulla retta orizzontale il verso

Dettagli

1 Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n

1 Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n 2 Trapani Dispensa di Geometria, Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n Un sottospazio affine Σ di R n e il traslato di un sottospazio vettoriale. Cioe esiste un sottospazio vettoriale

Dettagli

LE COORDINATE CARTESIANE

LE COORDINATE CARTESIANE CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni GEOMETRIA ANALITICA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it LE COORDINATE CARTESIANE Quando si vuole fissare un sistema di coordinate

Dettagli

Equazione della circonferenza di centro e raggio assegnati

Equazione della circonferenza di centro e raggio assegnati Distanza fra due punti Dati due punti AHxA ya L e BHxB yb L la distanza fra di essi è uguale alla lunghezza del segmento AB che è a sua volta uguale al modulo del vettore vhxb - xa yb - ya L ed è dato

Dettagli

ESERCITAZIONE SULLE RETTE CON DERIVE

ESERCITAZIONE SULLE RETTE CON DERIVE ESERCITAZIONE SULLE RETTE CON DERIVE Dati i punti : A (,) B (6,-) C (-3,-3) determinare:. il perimetro del triangolo avente come vertici i punti A,B,C. l area del triangolo avente come vertici i punti

Dettagli

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

10 dicembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 10 dicembre 003 - Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a. 003-004 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI

Dettagli

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette

Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano

Dettagli

Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo

Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione per la prova di recupero del debito formativo 24 febbraio 2010 1 Per altri materiali didattici o per contattarmi: Blog personale:

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Conoscenze (tutti)

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA Conoscenze (tutti) ELEMENTI DI GEMETRIA ANALITICA Conoscenze (tutti) 1. Completa. a. La formula matematica che mette in relazione il valore della x con il corrispondente valore della y si chiama... b. Le equazioni di primo

Dettagli

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009

Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 Testi verifiche 3 C 3 I a. s. 2008/2009 1) Sono assegnati i punti A(- 1; 3) C(3; 0) M ;1 a) Ricavare le coordinate del simmetrico di A rispetto a M e indicarlo con B. Verificare che il segmento congiungente

Dettagli

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010

PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 PIANO CARTESIANO e RETTE classi 2 A/D 2009/2010 1) PIANO CARTESIANO serve per indicare, identificare, chiamare... ogni PUNTO del piano (ente geometrico) con una coppia di valori numerici (detti COORDINATE).

Dettagli

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x

misura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x 4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto

Dettagli

Soluzione. a) Per la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare, b) Si sfruttano la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare.

Soluzione. a) Per la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare, b) Si sfruttano la bilinearità e la simmetria del prodotto scalare. Esercizi svolti 4 Problemi guida 117 IL PRODOTTO SCALARE Problema 41 a) Dimostra che (v + w) (v w) = v 2 w 2 b) Dimostra che v w = 1 4 [ v + w 2 v w 2 ] Soluzione a) Per la bilinearità e la simmetria del

Dettagli

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;

RETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato; RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z

Dettagli