Trapani. Dispensa di Geometria, x 1 x 2.x n. (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2.

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1 2006 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Distanze Siano P e Q punti di R n con P di coordinate allora la distanza tra P e Q e P Q = x 1 x 2 x n (x 1 y 1 ) 2 + (x n y n ) 2 e Q di coordinate Siano Σ 1 e Σ 2 sottospazi affine di R n definiamo distanza tra Σ 1 e Σ 2 il numero d(σ 1, Σ 2 ) = inf P Σ1, Q Σ 2 P Q Si puo dimostrare che questo inf e sempre un minimo, cioe esistono coppie di punti, uno su Σ 1, l altro su Σ 2 che hanno distanza tra loro minore o uguale alla distanza di una qualunque altra coppia di punti di cui uno su Σ 1 e l altro su Σ 2 Distanza punto iperpiano sia P R n e sia Σ un sottospazio affine di R n di dimensione n 1 (iperpiano), sia r la retta di R n passante per P e perpendicolare a Σ 1 Sia S il punto di intersezione di r con Σ Per il teorema di Pitagora d(p, Σ) = P S Determiniamo r ed S Se Σ ha equazione cartesiana a 1 x 1 + a n x n + b = 0 con a 1, a n non tutti nulli, possiamo allora introdurre il vettore a = 0 e scrivere l equazione a n di Σ nella forma < a, X > +b = 0, dove < > e il prodotto scalare canonico in R n In particolare, poiche l equazione cartesiana del sottospazio affine passante per l origine e parallelo a Σ e < a, X >= 0 risulta che il vettore a e perpendicolare a Σ L equazione parametrica di r e percio X = ta + P Potremo allora scrivere il punto S di intersezione di r e Σ nella forma S = t 0 a + P per un opportuno valore t 0 del parametro Deve essere quindi valida l equazione < a, t 0 a + P > +b = 0 Cioe a 1 a 2 y 1 y 2 y n t 0 = Percio S = a + P 1

2 2 e In fine P S = d(p, Σ) = S P = a = 2 In conclusione d(p, Σ) = Notiamo che nel caso n = 2 otteniamo la distanza di un punto da una retta, mentre nel caso n = 3 otteniamo la distanza di un punto da un piano Distanza retta retta in R 2 Date due rette r 1 ed r 2 in R 2, se esse coincidono hanno distanza zero, se si incontrano in un punto hanno ancora distanza zero, se sono parallele e distinte, fissato a caso un punto p r 1 abbiamo d(r 1, r 2 ) = d(p, r 2 ) Distanza Piano piano in R 3 Dati due piani Π 1 ed Π 2 in in R 3, se essi coincidono hanno distanza zero, se si incontrano in una retta hanno ancora distanza zero, se sono paralleli e distinti, fissato a caso un punto P Π 1 abbiamo d(π 1, Π 2 ) = d(p, Π 2 ) Distanza retta piano in R 3 Dati ora un piani Π ed una retta r in in R 3, se r e contenuto in Π la retta e il piano hanno distanza zero, se si incontrano in un punto hanno ancora distanza zero, se r e parallela a Π e non contenuta in Π, fissato a caso un punto p r abbiamo d(π, r) = d(p, Π) Distanza punto retta in R 3 Lemma 11 Dati due vettori v e w in R 3 vale la formula v w 2 = ( v 2 w 2 < v, w > 2) Dimostrazione Se v = 0 oppure w = 0 la formula e ovvia Se v e w sono non nulli, sia θ l angolo tra 0 e π compreso tra v e w, allora abbiamo < v, w >= v w cos(θ) percio ( v 2 w 2 < v, w > 2) = v 2 w 2 (1 cos(θ) 2 ) = v 2 w 2 sin(θ) 2 ) = v w 2

3 Dispensa Geometria 3 Sia P e un punto di R 3 ed r una retta in R 3 di equazione parametrica X = tv + Q Sia Π il piano passante per P e perpendicolare ad r, e sia S il punto di intersezione di r con Π, per il teorema di Pitagora abbiamo d(p, r) = P S Essendo il vettore v perpendicolare a Π, l equazione cartesiana di Π e della forma < v, X > +b, poiche Π passa per P deve essere < v, P > +b = 0 e l equazione di Π e quindi < v, X > < v, P >= 0 Percio se S = t 0 v + Q deve valere l equazione < v, t 0 v + Q > < v, P >= 0 Cioe e percio t 0 = < v, P Q > < v, v > S = < v, P Q > < v, v > v + Q In Fine d(p, r) 2 = S P 2 <v,p Q> = v (P <v,v> Q) 2 d(p, r) 2 v 4 (< v, P Q > v (P Q) v 2 ) 2 Sviluppando e usando la bilinearita del prodotto scalare troviamo d(p, r) 2 v 4 ( (< v, P Q > 2 v 2 + (P Q) 2 v 4 2(< v, P Q >) 2 v 2) v 4 ( ( (P Q) 2 v 4 (< v, P Q >) 2 v 2) ( (P Q) 2 v 2 (< v, P Q >) 2) E per il Lemma 11 applicato ai vettori v e w = P Q abbiamo In conclusione otteniamo la formula 1 (P Q) 2 v 2 (< v, P Q >) 2) v (P Q) 2 ) d(p, r) = (P Q) v v Distanza retta retta in R 3 Date due rette r 1 ed r 2 in R 3, se esse coincidono hanno distanza zero, se si incontrano in un punto hanno ancora distanza zero, se sono parallele e distinte, fissato a caso un punto P r 2 abbiamo d(r 1, r 2 ) = d(p, r 2 ) Resta da studiare il caso in cui r 1 ed r 2 siano sghembe Siano allora r 1 ed r 2 rette sghembe in R 3, e siano X = tv 1 + P ed X = sv 2 + Q loro equazioni parametriche Lemma 12 Date due rette sghembe r 1 ed r 2 in R 3 esiste una ed una sola retta r 3 che interseca entrambe le rette r 1 ed r 2 perpendicolarmente

4 4 Dimostrazione Poiche r 1 ed r 2 sono sghembe i vettori v 1 e v 2 sono linearmente indipendenti percio il vettore v 3 = v 1 v 2 e non nullo Se una retta r 3 come nell enunciato del lemma esiste allora e possibile scegliere come suo vettore direttore il vettore v 3, per avere l equazione parametrica di r 3 resta da determinare un punto di passaggio Sia Σ il piano di equazioni parametriche X = tv 1 + τv 3 + P, questo piano contiene la retta r 1 Poiche la retta r 3 se esiste deve avere vettore direttore v 3 e deve intersecare r 1 si puo scegliere come punto di passaggio l intersezione tra r 1 ed r 3 Ne segue che r 3 deve essere contenuto in Σ Vediamo che i vettori v 1, v 2, v 3 sono linearmente indipendenti Se λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 = 0 facendo il prodotto scalare con v 3 otteniamo λ 1 < v 1, v 3 > +λ 2 < v 2, v 3 > +λ 3 < v 3, v 3 >= 0 Ma < v 1, v 3 >=< v 2, v 3 >= 0 e < v 3, v 3 >> 0, percio λ 3 = 0 ed essendo v 1, v 2 linearmente indipendenti sara λ 1 = λ 2 = 0 Dalla indipendenza lineare dei vettori v 1, v 2, v 3 segue che la retta r 2 non e contenuta in Σ e non e parallela a Σ, percio l intersezione tra Σ ed r 2 e un punto S Poiche r 3 e contenuta in Σ e interseca r 2, la retta r 3 deve passare per il punto S Se ne deduce che una equazione parametrica per r 3 e X = τv 3 + S La retta r 3 e perpendicolare ad r 1 e sono entrambe contenute nel piano Π, quindi l intersezione tra r 1 ed r 3 e un punto R Sia Π 1 il piano ortogonale alla retta r 3 che passa per P e sia Π 2 il piano ortogonale ad r 3 passante per Q Essendo ortogonali alla medesima retta i piani Π 1 e Π 2 sono paralleli, inoltre la retta r 1 e contenuta in Π 1 e la retta r 2 e contenuta in Π 2 Poiche le rette r 1 ed r 2 sono sghembe i piani Π 1 e Π 2 sono distinti Se R = r 1 r 3 ed S = r 2 r 3 Essendo la retta r 3 ortogonale ad entrambi i piani Π 1 e Π 2, la discussione fatta sopra circa la distanza tra piani paralleli ci dice che d(π 1, Π 2 ) = S R In particolare essendo r 1 Π 1 ed r 2 Π 2, se prendiamo arbitrariamente un punto Q 1 r 1 ed un punto Q 2 r 2 deve essere Q 1 Q 2 R S, e visto che R r 1 ed S r 2 risulta d(r 1, r 2 ) = d(π 1, Π 2 ) = R S Sempre da cio che sappiamo sulla distanza tra piani paralleli possiamo dedurre che S R = d(r 1, r 2 ) = d(π 1, Π 2 ) = d(p, Π 2 ) Il piano Π 2 passa per Q ed e ortogonale al vettore v 3 quindi come abbiamo visto una equazione cartesiana di Π 2 e < X, v 3 > < X, Q >= 0 Dalla formula per la distanza di un punto da un piano si ricava d(p, Π 2 ) = < P, v 3 > < Q, v 3 > v 3 = < P Q, v 3 > v 3 = < P Q, v 1 v 2 > v 1 v 2 D altra parte sappiamo che dati tre vettori X, Y, Z R 3, se indichiamo con (X, Y, Z) la matrice che ha per colonna questi vettori, vale la formula det(x, Y, Z) =< X, Y Z > Percio < P Q, v 1 v 2 >= det(v 1, v 2, P Q) ed in fine d(r 1, r 2 ) = det(p Q, v 1, v 2 ) v 1 v 2 Calcoliamoci ora a partire dalle equazioni parametriche di r 1 ed r 2 una equazione parametrica della retta r 3 e calcoliamo poi i punti R = r 1 r 3 ed S = r 2 r 3 Sappiamo che il piano Σ ha equazioni parametriche X = tv 1 + τv 3 + P mentre r 2 ha equazioni parametriche X = sv 2 + Q Per trovare Il punto S di intersezione tra Σ ed r 2 dobbiamo risolvere l equazione tv 1 + τv 3 + P = sv 2 + Q che equivale

5 Dispensa Geometria 5 all equazione tv 1 sv 2 + τv 3 = Q P Ponendo quindi A = (v 1, v 2, v 3 ), b = Q P, X = siamo ridotti a risolvere il sistema lineare AX = b Essendo i vettori v 1 v 2 v 3 linearmente indipendenti sappiamo che det(a) 0 e possiamo risolvere questo sistema usando il metodo di Cramer Ricaviamo percio s = det(v 1,Q P,v 3 ) det(v 1,v 2,v 3 = det(v 1,P Q,v 3 ) ) det(v 1,v 2,v 3 e ) quindi S = det(v 1, P Q, v 3 ) v 2 + Q Una equazione parametrica di r 3 e allora t s τ X = τv 3 + det(v 1, P Q, v 3 ) v 2 + Q Ora ricaviamo R = r 1 r 3 Dobbiamo risolvere l equazione cioe tv 1 + P = τv 3 + S = τv 3 + det(v 1, P Q, v 3 ) v 2 + Q e risolvendo ancora con Cramer troviamo tv 1 det(v 1, P Q, v 3 ) v 2 τv 3 = Q P t = det(q P, v 2, v 3 ) = det(p Q, v 2, v 3 ) = det(v 2, P Q, v 3 ) e quindi S = det(v 1, P Q, v 3 ) v 2 + Q R = det(v 2, P Q, v 3 ) v 1 + P

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