Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI

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1 Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori. Con tale ulteriore strutture si possono introdurre i concetti di ortogonalità di vettori e distanza tra punti; così facendo si fornisce a VO 3 la struttura classica usata nella geometria euclidea. In questo capitolo estenderemo ad un R-spazio vettoriale qualunque la struttura di V 3 O pensato come R-spazio vettoriale dotato di prodotto scalare. Vedremo inoltre come in tali spazi si possano definire delle basi speciali (quelle ortonormali). 1. Prodotto scalare, norma, ortogonalità 1.1. Esempio. Il prodotto scalare usuale in V 3 O, tenuto conto dell isomorfismo V3 O = R 3 (e della Proposizione 3.6. Cap II), induce naturalmente un applicazione definita da: : R 3 R 3 R. (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Si verificano le seguenti proprietà: per ogni (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ) R 3 e a, b R si ha i) (x 1, x 2, x 3 ) (y 1, y 2, y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = = y 1 x 1 + y 2 x 2 + y 3 x 3 = (y 1, y 2, y 3 ) (x 1, x 2, x 3 ) ii) (a(x 1, x 2, x 3 ) + b(y 1, y 2, y 3 )) (z 1, z 2, z 3 ) = (ax 1 + by 1 )z 1 + (ax 2 + by 2 )z 2 + (ax 3 + by 3 )z 3 = a(x 1 z 1 + x 2 z 2 + x 3 z 3 ) + b(y 1 z 1 + y 2 z 2 + by 3 z 3 ) = a(x 1, x 2, x 3 ) (z 1, z 2, z 3 ) + b(y 1, y 2, y 3 ) (z 1, z 2, z 3 ) iii) iv) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3 ) = x x x (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3 ) = 0 (x 1, x 2, x 3 ) = (0, 0, 0). Le precedenti proprietà portano alla seguente definizione generale Definizione. Sia V un R-spazio vettoriale di dimensione finita. Diciamo prodotto scalare in V a valori reali un applicazione : V V R denotata da (v, w) v w tale che, per ogni v, w, v 1, v 2 V e per ogni a 1, a 2 R si ha: i) v w = w v; ii) (a 1 v 1 + a 2 v 2 ) w = a 1 (v 1 w) + a 2 (v 2 w); iii) v v 0; iv) v v = 0 v = 0 V. In tal caso utilizzeremo la notazione (V, ), intendendo che V è un R-spazio vettoriale dotato di prodotto scalare (a volte si dice anche che la coppia (V, ) è uno spazio euclideo). Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria,

2 Usando la linearità sul primo argomento e la simmetria (come negli assiomi i) e ii)) si deduce la linearità anche sul secondo argomento. In maniera sintetica si dice anche che un prodotto scalare è una forma bilineare simmetrica Esempio. E ovvio che il prodotto scalare definito in VO 3 è un prodotto scalare nel senso di 1.2. Analogamente l applicazione dell Esempio 1.1 è un prodotto scalare per lo spazio R 3. Tale prodotto scalare in R 3 non è l unico come si vede dall esempio seguente. Sia p : R 3 R 3 R l applicazione definita da p((x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 )) = 2x 1 y 1 + 3x 2 y 2 + x 3 y 3. Poiché p è bilineare simmetrica (come si verifica facilmente), soddisfa le proprietà i) e ii) della Definizione 1.2. Resta da provare che p(v, v) 0 ed che vale l uguaglianza se e solo se v = 0. Ciò è chiaro in quanto p(v, v) = 2v v v 2 3, dove v = (v 1, v 2, v 3 ). Estendiamo ad R n in maniera diretta il prodotto scalare su R 3 dato in Definizione. Si dice prodotto scalare canonico su R n l applicazione definita da : R n R n R (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) = x 1 y x n y n. La coppia (R n, ) si dice spazio euclideo e si denota E n. Per l applicazione precedente, gli assiomi di prodotto scalare sono di facile verifica: i) (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) = x 1 y x n y n = y 1 x y n x n = (y 1,..., y n ) (x 1,..., x n ); ii) è lasciata al lettore; iii) (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n ) = n i=1 x2 i 0; iv) (x 1,..., x n ) (x 1,..., x n ) = 0 n i=1 x2 i = 0 x i = 0, i (x 1,..., x n ) = (0,..., 0) Definizione. Sia (V, ) un R-spazio vettoriale con prodotto scalare. L applicazione : V R, v v = v v si dice norma; il numero reale v si dice norma di v, per ogni v V Esempio. In E n = (R n, ) la norma di un vettore assume la forma: (x 1,..., x n ) = n x 2 i. In particolare in E 3 si ha (x 1, x 2, x 3 ) = x x2 2 + x2 3. Si hanno immediatamente le proprietà: i=1 38 Capitolo IV - Spazi vettoriali euclidei

3 1.5. Proposizione. Sia (V, ) un R-spazio vettoriale con prodotto scalare; allora: i) v 0; ii) v = 0 v = 0 V ; iii) av = a v. Due importanti risultati sulla norma sono i seguenti: 1.6. Proposizione. (Disuguaglianza di Schwarz). Sia (V, ) un R-spazio vettoriale con prodotto scalare e siano v, w V. Allora v w v w. Dimostrazione. Se v = 0 V oppure w = 0 V la tesi è vera. Siano dunque entrambi i vettori 0 V. Con a = w e b = v, per 1.2. iii) si ha 0 av ±bw 2 = (av ±bw) (av ±bw) = a 2 v 2 ± 2ab(v w)+b 2 w 2 = 2ab( v w ± v w). Poiché sia a sia b sono scalari positivi, possiamo semplificarli ottenendo, v w v w da cui la tesi. 1.6.bis Definizione. Angolo tra vettori. La disuguaglianza precedente può essere scritta come: v w v w 1, ovvero 1 v w v w 1. Esiste quindi un angolo α, con 0 α π, tale che v w v w = cos α in analogia al caso dei vettori geometrici in Cap. II, Proposizione. (Disuguaglianza triangolare o di Minkowski). Sia (V, ) un R-spazio vettoriale con prodotto scalare e siano v, w V. Allora v + w v + w. Dimostrazione. Si osservi dapprima che v w v w v w, dove la prima disuguaglianza segue dalla definizione di valore assoluto e la seconda è quella di Schwarz. Pertanto v + w 2 = (v + w) (v + w) = v 2 +2(v w)+ w 2 v 2 +2 v w + w 2 = ( v + w ) 2 da cui la tesi Definizione. Sia (V, ) un R-spazio vettoriale con prodotto scalare e siano v, w V ; v e w si dicono ortogonali se v w = 0. Vediamo ora una serie di proprietà riguardanti l ortogonalità: Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria,

4 1.9. Proposizione. Siano (V, ) un R-spazio vettoriale con prodotto scalare e v, w 1,, w s V ; se v è ortogonale a w i per ogni i, allora v è ortogonale ad ogni combinazione lineare di w 1,, w s. Dimostrazione. Per ipotesi v w i = 0 per ogni i; dunque per la bilinearità del prodotto scalare, per ogni scelta di scalari λ 1,..., λ s, si ha v (λ 1 w λ s w s ) = λ 1 (v w 1 ) λ s (v w s ) = Proposizione. Siano (V, ) un R-spazio vettoriale con prodotto scalare e v 1,, v s vettori non nulli di V tali che v i v j = 0 per ogni i j. Allora v 1,, v s sono linearmente indipendenti. Dimostrazione. Si consideri una combinazione lineare nulla dei vettori dati: λ 1 v λ s v s = 0 V. Sia v i {v 1,, v s }; allora 0 = v i (λ 1 v λ s v s ) = λ 1 (v i v 1 ) λ s (v i v s ) = λ i v i 2 ; poiché v i 0 V, allora λ i = 0. Ripetendo il procedimento per ogni vettore v i, si ottiene che deve essere λ 1 = = λ s = Definizione. Sia (V, ) un R-spazio vettoriale con prodotto scalare e sia W V un sottospazio vettoriale. Si dice ortogonale di W l insieme: W = {v V v w = 0, w W } Proposizione. Sia (V, ) un R-spazio vettoriale con prodotto scalare e sia W V un suo sottospazio vettoriale. Allora: i) W è un sottospazio vettoriale di V. ii) W W = {0 V }, quindi la somma di W e W è diretta. Dimostrazione. i) Siano v 1, v 2 W, cioè v 1 w = 0 e v 2 w = 0 per ogni w W ; dunque, comunque scelti λ 1, λ 2 R, si ha (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) w = λ 1 (v 1 w) + λ 2 (v 2 w) = 0 per ogni w W ; pertanto λ 1 v 1 + λ 2 v 2 W. ii) Sia w W W, allora w w = 0; dunque w = 0 V Osservazione. Sia W = L(w 1,..., w s ) V. Allora W = {v V v w i = 0, i = 1,..., s}. Infatti, l inclusione è ovvia, mentre segue da Esempio. Sia W = L((1, 0, 1)) E 3. Per 1.13 W = {(x, y, z) E 3 (x, y, z) (1, 0, 1) = 0} = {(x, y, z) E 3 x + z = 0} cioè W = L((1, 0, 1), (0, 1, 0)). 40 Capitolo IV - Spazi vettoriali euclidei

5 Esempio. Sia W E 4 definito da Ancora per 1.13 W = W = L((1, 1, 1, 0), (2, 1, 0, 1)). { { } (x, y, z, t) E 4 (x, y, z, t) (1, 1, 1, 0) = 0 (x, y, z, t) (2, 1, 0, 1) = 0 dunque basta calcolare le soluzioni del sistema lineare { x y + z = 0 2x + y + t = 0 che sono, ad esempio, { z = y x t = 2x y, con x, y che non sono fissate dalle equazioni e prendono quindi valori arbitrari. Assegnando a essi i valori più semplici possibili (x, y) = (1, 0) e (x, y) = (0, 1), una possibile espressione per lo spazio ortogonale è data da W = L((1, 0, 1, 2), (0, 1, 1, 1)). 2. Basi ortonormali In uno spazio vettoriale con prodotto scalare, avendo introdotto le nozioni di ortogonalità e di norma, si può richiedere ai vettori di una base di verificare le analoghe proprietà geometriche degli elementi della terna naturale (la base) di VO 3, ovvero essere di norma 1 e mutuamente ortogonali Definizione. Sia I = {v 1,..., v r } con v i V ; I si dice ortonormale se i vettori v i sono a due a due ortogonali ed hanno norma 1, cioè se { 1, se i = j ; v i v j = δ ij = 0, se i j Osservazione. Da 1.10 si ha che ogni insieme ortonormale è libero Definizione. Una base B di (V, ) si dice ortonormale se è un insieme ortonormale. E chiaro che la base (i, j, k) di V 3 O e la base canonica di Rn sono basi ortonormali Osservazione. Sia B = (e 1,..., e n ) una base ortonormale di (V, ) e sia v V ; le componenti di v rispetto ad B assumono una forma particolare: Infatti, se v = (v e 1 )e (v e n )e n. v = a 1 e a n e n basta considerare i prodotti scalari di v con i vettori della base B: v e 1 = a 1,..., v e n = a n. Pertanto le componenti di un vettore rispetto ad una base ortonormale si ottengono moltiplicando scalarmente il vettore per gli elementi della base scelta. Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria,

6 2.5. Definizione. Sia B = (e 1,..., e n ) una base ortonormale di (V, ) e sia v V. I vettori (v e 1 )e 1,..., (v e n )e n in cui si decompone v si dicono proiezioni ortogonali di v lungo e 1,..., e n, rispettivamente. In un spazio vettoriale con prodotto scalare una base ortonormale gioca un ruolo centrale. Infatti con essa il prodotto scalare assume la stessa forma del prodotto scalare canonico in E n Proposizione. Sia B = (e 1,..., e n ) una base ortonormale di (V, ) e siano v, w V. Posti v = (a 1,..., a n ) B e w = (b 1,..., b n ) B, allora v w = a 1 b a n b n. Dimostrazione. Dalla bilinearità del prodotto scalare e dal fatto che e i e j = δ ij. Il seguente metodo non solo permette il calcolo di una base ortonormale negli esempi, ma prova anche, in generale, l esistenza di una tale base. Esso prende il nome di procedimento di ortonormalizzazione di Gram Schmidt Metodo di Gram Schmidt. Sia B = (v 1,..., v n ) una base di (V, ). Posti e 1 = v 1 v 1, e 2 = v 2 (v 2 e 1 )e 1 v 2 (v 2 e 1 )e 1,, e n = v n n 1 i=1 (v n e i )e i v n n 1 i=1 (v n e i )e i vogliamo dimostrare che e 1,..., e n costituiscono una base ortonormale di V. Chiaramente e 1,..., e n hanno norma 1. Verificheremo che e 1,..., e n sono a due a due ortogonali per induzione; cioè supporremo che e 1,..., e h siano a due a due ortogonali e proveremo allora che anche e 1,..., e h+1 lo sono. Per l ipotesi induttiva, basta provare che e h+1 è ortogonale a e 1,..., e h. Sia dunque k un intero tale che 1 k h, allora e h+1 e k = v h+1 h i=1 (v h+1 e i )e i v h+1 h i=1 (v h+1 e i )e i e k = v h h+1 e k i=1 ((v h+1 e i )(e i e k )) v h+1 h i=1 (v = h+1 e i )e i v h+1 e k v h+1 e k = v h+1 h i=1 (v h+1 e i )e i = 0 dove l ultima uguaglianza segue dal fatto che e i e k = 0 per l ipotesi induttiva. Inoltre per 2.2 sono linearmente indipendenti e pertanto costituiscono una base ortonormale di V Esempio. Sia V = L(v 1, v 2 ) E 4, dove v 1 = (1, 1, 0, 0), v 2 = (0, 2, 1, 1); vogliamo determinare una base ortonormale di V con il metodo di Gram Schmidt. e 1 = v ( ) 1 1 v 1 = 1 2,, 0, 0 ; 2 si ponga f 2 = v 2 (v 2 e 1 )e 1 e quindi e 2 = f 2 ( f 2 = (0, 2, 1, 1) (0, 2, 1, 1) f 2. Si ha dunque )) ( 1 1, 0, 0 2, 2 ( 1 2, ) 1, 0, 0 = 2 Quindi = (0, 2, 1, 1) (1, 1, 0, 0) = ( 1, 1, 1, 1). e 2 = ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 ) Capitolo IV - Spazi vettoriali euclidei

7 2.8. Teorema. Sia (V, ) di dimensione finita. Allora V ha una base ortonormale. Dimostrazione. Poiché V ha dimensione finita, ammette una base che basta ortonormalizzare con Gram Schmidt Teorema. Sia (V, ) di dimensione finita e sia {e 1,..., e r } un insieme ortonormale di vettori di V ; allora si può completare tale insieme ad una base ortonormale (e 1,..., e r, e r+1,..., e n ) di V. Dimostrazione. Per il teorema di completamento ad una base (Cap. III, 4.15), si completi l insieme libero {e 1,..., e r } ad una base B = (e 1,..., e r, v r+1,..., v n ) di V. Poi si ortonormalizzi B; si noti che il metodo di Gram Schmidt applicato a B non altera i primi r vettori, che sono già ortonormali Corollario. Sia (V, ) di dimensione n e sia W un sottospazio vettoriale di V. Allora: i) dim(w ) + dim(w ) = n; ii) V = W W ; iii) (W ) = W. Dimostrazione. i) Sia (e 1,..., e r ) una base ortonormale di W ; si completi, per 2.9, ad una base ortonormale (e 1,..., e r, e r+1,..., e n ) di V. Poiché e r+1,..., e n sono ortogonali ai precedenti vettori della base, sono ortogonali ad ogni vettore di W per 1.9; dunque e r+1,..., e n W. Pertanto dim(w ) n r, cioè dim(w ) + dim(w ) n. D altra parte per il punto ii) di la somma di W e W è diretta. quindi da 5.5. Cap III, si ha dim(w ) + dim(w ) = dim(w W ) n e ciò prova la tesi. ii) Per i) si ha dim(w W ) = dim(w ) + dim(w ) = n = dim(v ) e quindi la tesi. iii) Mostriamo dapprima che (W ) W. Per definizione (W ) = {v V v w = 0, w W }. Se v W, allora v w = 0 per ogni w W, dunque W (W ). Si applichi ora la i) al sottospazio W : si ha dim(w ) + dim((w ) ) = n. Confrontando tale uguaglianza con i), si ottiene dim((w ) ) = dim(w ). Quindi W e (W ) sono uno sottospazio dell altro e hanno la stessa dimensione. Pertanto per 1.14 coincidono. Si osservi che, l uguaglianza (W ) = W vale poichè lo spazio ambiente V è finito dimensionale. In generale, vale l inclusione (W ) W Esempio. Nell esempio abbiamo calcolato il sottospazio ortogonale del sottospazio W di E 3, dove W = L((1, 0, 1)), ottenendo che W = L((1, 0, 1), (0, 1, 0)). Chiaramente dim(w ) + dim(w ) = = 3 = dim(e 3 ). Si può fare l analoga verifica per i sottospazi dell esempio Brundu-Landi, Note di Algebra lineare e Geometria,

8 3. Prodotto hermitiano Il prodotto scalare canonico in R n può essere esteso allo spazio vettoriale complesso C n con una semplice variazione Definizione. Si dice prodotto hermitiano canonico su C n l applicazione definita da : C n C n C (z 1,..., z n ) (w 1,..., w n ) = z 1 w z n w n, dove ᾱ denota il complesso coniugato di un numero complesso α (vedi 4.1, Cap. I). La coppia (C n, ) si dice spazio euclideo complesso o spazio hermitiano. L applicazione precedente gode di proprietà simili al caso reale, delle quali omettiamo la dimostrazione. Per denotare i vettori di C n scriveremo z = (z 1,..., z n ) ecc Proposizione. Per ogni z, w, v C n e a, b C, valgono le seguenti proprietà: i) w z = z w; ii) (az + bw) v = āz v + bw v ; mentre v (az + bw) = av z + bv w; iii) z z = n i=1 z i 2 0. iv) z z = 0 z = (0,..., 0) C n. Da notare che l uso del complesso coniugato nella definizione del prodotto hermitiano è dovuto alla necessità che, come al punto iii), il prodotto scalare di un vettore per se stesso sia positivo. Inoltre dal punto ii) il prodotto hermitiano è anti-lineare nel primo argomento mentre continua ad aversi linearità sul secondo argomento. Analogamente al caso reale, in (C n, ) la norma di un vettore è definita come: (z 1,..., z n ) = (z 1,..., z n ) (z 1,..., z n ) = n z i 2. Da notare che anche in questo caso la norma di un vettore è sempre non negativa e si annulla se e solo se il vettore è nullo, ovvero z = 0 C n = (0,..., 0). i=1 44 Capitolo IV - Spazi vettoriali euclidei