Pagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI

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1 Pagine di Algebra lineare di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti Parte terza: SISTEMI LINEARI 1. Definizioni Dato un campo K ed m 1 polinomi su K in n indeterminate di grado non superiore al primo, il sistema di equazioni a 11 x a 1n x n + c 1 = 0... a m1 x a mn x n + c m = 0 si dice sistema lineare a coefficienti in K. Le indeterminate x 1,..., x n sono dette incognite del sistema, gli scalari c 1,..., c m termini noti. ( ) di elementi di K che verifichi tutte le equazioni Una n-pla ordinata x 1,..., x n di (1) si dice una soluzione di esso. Un sistema lineare si dice compatibile se possiede qualche soluzione. Altrimenti si dice che (1) è incompatibile. La matrice A = ( a ij ) di tipo [ m, n] si dice prima matrice o matrice incompleta del sistema. Si dice invece matrice completa o seconda matrice del sistema la matrice A' = ( a' ij ), di tipo [ m, n +1], dove è ' = a ij 1 j n c i j = n +1 a ij Indichiamo con a 1, a 2,..., a n, c i vettori numerici colonne della matrice A'. È immediato allora che il sistema di m equazioni scalari (1) equivale all'unica equazione vettoriale che dicesi forma vettoriale del sistema dato. x 1 a x n a n + c = 0 (2) (1)

2 l.2 Sistemi lineari Indicati con a 1, a 2,..., a m i vettori numerici righe della matrice A, e con ( ) il vettore numerico delle incognite, il sistema (1) può scriversi x = x 1, x 2,...,x n nella forma comoda a 1 x + c 1 = 0... a m x + c m = 0 dove il simbolo indica il prodotto scalare usuale tra vettori numerici dello stesso ordine e sullo stesso campo. Se indichiamo infine con X la matrice di tipo n,1 [ ] e con C la matrice di tipo [ m,1] x 1 x 2 X =. x n c 1 c C = 2. dalla forma (3) si passa, tenendo conto della definizione di somma di matrici e di prodotto righe per colonne, alla cosiddetta forma matriciale del sistema (1), che è la seguente AX + C = 0 (4) Quando si considera un sistema lineare ci si può riferire indifferentemente ad una delle precedenti forme; a seconda dei casi può fare comodo l'una o l'altra di esse. Un sistema lineare si dice ridotto se le sue equazioni sono indipendenti, nel senso che tali sono i polinomi a primo membro di esse quali elementi dello spazio vettoriale K 1 x 1,..., x n [ ]. Un sistema lineare si dice normale se è ridotto e compatibile. Due sistemi lineari sullo stesso campo e nello stesso numero di incognite si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In proposito vale il seguente c m (3) Teorema l.1 Due sistemi lineari compatibili e ' sul campo K

3 Sez. 2 Studio della compatibilità di un sistema lineare l.3 nello stesso numero n di incognite sono equivalenti se, e solo se, ogni equazione di ciascuno dei due dipende linearmente da quelle dell'altro. 2. Studio della compatibilità di un sistema lineare Dalla forma vettoriale x 1 a x n a n + c = 0 (2) di un sistema lineare si deduce facilmente il Teorema fondamentale l.2 Un sistema lineare in n incognite su un campo K è compatibile se, e solo se, il vettore colonna c dei termini noti dipende linearmente dal sistema S = a 1, a 2,..., a n { } dei vettori colonna dei coefficienti delle incognite. Dim. (rapida) ( ) K n / y 1 a y n a n + c = 0 ( ) K n / c = y 1 a y n a n c dipende da S (2) compatibile y 1,...,y n y 1,...,y n Viceversa... per esercizio. Osservazione Per un sistema compatibile (2) ogni soluzione fornisce un modo di dipendere di c da S. Dall'osservazione precedente e dal fatto che il modo di dipendere di un vettore da un sistema è unico se, e solo se, il detto sistema è linearmente indipendente, consegue che Teorema di unicità l.3 Un sistema lineare compatibile ha una sola soluzione se, e solo se, il sistema delle colonne dei coefficienti è linearmente indipendente. I teoremi precedenti possono essere messi in termini riguardanti il rango delle matrici associate ad un sistema lineare. Si hanno così i seguenti

4 l.4 Sistemi lineari Teorema di Rouché-Capelli l.4 Un sistema lineare su un campo è compatibile se, e solo se, le matrici A ed A' ad esso associate hanno lo stesso rango. Dim. Siano S ed S' i sistemi di vettori colonna di A ed A' rispettivamente, T un sistema max indipendente di S e T ' un sistema max indipendente di S'. Tenendo presente la definizione di rango di una matrice, il teorema fondamentale ed i risultati noti sulla dipendenza lineare in uno spazio vettoriale, si ha sistema compatibile c dipende da S c dipende da T ogni vettore di S' dipende da T T è un sistema max anche per S' T e T ' hanno lo stesso ordine rg A = rg A' Viceversa, supposto rg A = rg A', lo studente si renderà facilmente conto da solo che la strada di sopra è percorribile al contrario, ossia ogni freccia si inverte, e pertanto si ha che il sistema è compatibile. Il rango comune alle due matrici associate ad un sistema lineare compatibile si dice spesso rango del sistema. Teorema di unicità l.5 Un sistema lineare su un campo in n incognite ha una sola soluzione se, e solo se, il rango delle due matrici ad esso associate coincide con il numero n delle incognite. Supponiamo ora di avere un sistema lineare (2) in n incognite per cui sia rg A = rg A' = h < n. Dai teoremi precedenti segue che esso è compatibile, ma possiede più di una soluzione. Il sistema S delle colonne di A possiede un sistema max indipendente di ordine h. Supponiamo, per fissare le idee e senza ledere le generalità, che le prime h colonne di A costituiscano un sistema Z max indipendente. Fissiamo poi le incognite x h+1,..., x n a valori x h+1,..., x n arbitrariamente scelti nel campo K, e consideriamo il sistema dove si è posto x 1 a x h a h + c' = 0 (5) c' = x h +1 a h x n a n + c Nel sistema (5) il vettore dei termini noti c' dipende dal sistema di vettori T = { a h+1,..., a n, c}. Ogni vettore di T dipende da Z per il significato stesso di Z, e per il fatto che il sistema di partenza (2) è compatibile. Per il teorema fondamentale allora il sistema (5) è compatibile, e per il teorema di unicità ha una sola soluzione ( x 1,..., x h ). A questo punto è immediato verificare che la n-pla

5 Sez. 2 Studio della compatibilità di un sistema lineare l.5 ( x 1,..., x h, x h+1,..., x n ) è una soluzione del sistema di partenza (2). In conclusione il sistema (2) ha tante soluzioni per quanti sono i possibili modi di fissare le incognite x h+1,..., x n a valori arbitrari. Il procedimento si può applicare allo stesso modo se si sceglie un'altra h-pla di colonne linearmente indipendenti, pervenendo alle stesse soluzioni. Quanto precedentemente esposto è noto come secondo teorema di unicità (teorema l.6). Il discorso precedente risulterà più chiaro facendo degli esempi. Facciamone qui uno semplice. Si consideri il sistema sul campo reale 2x y + 2z 1 = 0 y 2z +5 = 0 di due equazioni nelle tre incognite x, y, z. La prima matrice di esso ha rango 2, e così di conseguenza la seconda. Perciò il sistema è compatibile, ma ha più di una soluzione. Un sistema max di colonne indipendenti è, ad esempio, quello costituito dalla prima e seconda colonna. Fissiamo l'incognita z al valore 1. Otteniamo il sistema 2x y +1 = 0 y + 3 = 0 compatibile, di rango 2, la cui unica soluzione è data dalla coppia ( 2, 3). La terna 2, 3, 1 ( ) è soluzione del sistema (6), l'unica soluzione di esso per cui la terza componente sia 1. Se scegliamo, invece, di fissare l'incognita y (e ciò è consentito perché anche la prima e terza colonna costituiscono un sistema indipendente) al valore 3, perveniamo al sistema 2x + 2z + 2 = 0 2z + 2 = 0 compatibile, di rango 2, la cui unica soluzione è data dalla coppia ( 2,1). La terna 2, 3, 1 ( ) è soluzione del sistema (6), l'unica soluzione di esso per (6)

6 l.6 Sistemi lineari cui la seconda componente sia 3. Ritroviamo così la soluzione precedentemente trovata, a conferma del fatto che è indifferente partire da un certo sistema max di colonne linearmente indipendente oppure da un altro. DOMANDA: cosa accade se scegliamo di fissare incognite senza assicurarci che le rimanenti abbiano i coefficienti costituenti un sistema max indipendente? Ad esempio cosa accade nell'esercizio svolto sopra se decidiamo di fissare l'incognita x? 3. Sistemi omogenei Un sistema lineare AX + C = 0 sul campo K si dice omogeneo se C è la matrice nulla, ossia se ha la forma AX = 0 Ovviamente un sistema omogeneo è compatibile perché ammette la soluzione X = 0. A norma del teorema di unicità l.5, essa è l'unica se, e solo se, il rango di A coincide con il numero delle incognite. Proposizione l.7 Le soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite sul campo K costituiscono un sottospazio vettoriale dello spazio numerico V n ( K ). Se h n è il rango del sistema, lo spazio delle soluzioni ha dimensione n h. Dim. La prima parte è un banale esercizio di verifica della stabilità. Per quanto riguarda l'ultima asserzione basta verificare che le n h soluzioni che si ottengono in corrispondenza al fissaggio di n h incognite, scelte a norma del teorema l.6 ai valori ( 1,0,...,0), ( 0,1,...,0),..., ( 0,0,...,1) costituiscono un sistema indipendente di generatori dello spazio delle soluzioni. Dato un sistema lineare il sistema omogeneo o AX + C = 0 AX = 0

7 Sez. 4 Come si procede quando... l.7 si dice sistema omogeneo associato a. Tra un sistema lineare e il sistema omogeneo associato sussiste la seguente importante relazione Proposizione l.8 Tutte e sole le soluzioni di un sistema lineare si ottengono come somma di una soluzione particolare X di con una soluzione del sistema omogeneo o associato. Dim. Sia X una soluzione di. Dunque è A X + C = 0 Sia Y una soluzione di o. Dunque è AY = 0 Sommando membro a membro le due precedenti relazioni, si ha: A( X + Y)+ C = 0 Pertanto X + Y è una soluzione di. In maniera ugualmente facile si prova che la differenza tra una soluzione X di e la fissata soluzione X è una soluzione del sistema omogeneo o associato a. 4. Come si procede quando ci si trova davanti a un sistema di equazioni lineari Anzitutto si vede se il sistema è compatibile o no, calcolando il rango delle due matrici ad esso associate. Se la risposta è no, il procedimento si esaurisce. Se il sistema è compatibile, si vede se è ridotto confrontando il rango con il numero delle equazioni. Se il sistema non è ridotto, si sceglie un sistema massimale di equazioni indipendenti e si cancellano le altre. Si passa così a risolvere un sistema equivalente a quello dato. Si vede se quest'ultimo ha una sola soluzione confrontando il rango con il numero delle incognite. Se il sistema ha più di una soluzione, perché il rango è minore del numero delle incognite, si fissano incognite a valori arbitrari nelle modalità del secondo teorema di unicità e si perviene così ad un sistema normale con un'unica soluzione. Per trovare questa si fa uso delle cosiddetta Regola di Cramer illustrata nella proposizione che segue la cui dimostrazione è una verifica che verrà svolta a lezione.

8 l.8 Sistemi lineari L'unica soluzione del sistema line- Proposizione l.9 (Regola di Cramer) are normale in n incognite di rango n su K è la n-pla ordinata AX + C = 0 A 1 A, A 2 A,..., A n A dove A 1, A 2,..., A n sono le matrici ottenute da A sostituendo il vettore colonna C (opposto della colonna dei termini noti) ordinatamente alle colonne a 1, a 2,..., a n della matrice A. Tutto quanto sopra scritto sarà più comprensibile se si accompagna la lettura allo svolgimento di esercizi chiarificatori. Nel corso delle esercitazioni ne saranno svolti alcuni. Esercizi Studiare la compatibilità e le eventuali soluzioni dei seguenti sistemi lineari sul campo reale, al variare dei parametri reali h e, quando figura, k hx + y + z = 0 x + h 2 y + z = 0 x + hy + z = 0 2x + hy + z = h 2x + ky + z = h x + 2y + 3z = h hxk = 0 y h = 0 hx+ kz + k 2 = 0 x + hy + z = k kx + ( h 1)y z +1 = 0

9 Sez. 5 Rappresentazione di un sottospazio l kx+ y + z =1 hy + z = h hy + kz= h 2x + hk = 0 x + y = 0 ( 4 h)x + 2y = h 5. Rappresentazione di un sottospazio di uno spazio numerico Si è visto (prop. l.7 di pag. l.6) che le soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite sul campo K e di rango h costituiscono un sottospazio vettoriale V ' dello spazio numerico V n ( K) di dimensione n h. Diremo che il sistema lineare rappresenta il sottospazio V '. Vogliamo ora provare che, viceversa, un sottospazio V ' di V n di dimensione r è rappresentato da un sistema lineare omogeneo in n variabili e di rango n r. Sia infatti B = u 1,...,u r ( ) le componenti di u i, si ha che la matrice { } una base di V '. Dette x i1,..., x in x x 1n... M =... x r1... x rn ha rango r. Supponiamo, per fissare le idee, che un suo minore fondamentale sia quello formato dalle prime r colonne. Un vettore v = ( x 1,...,x n ) di V n appartiene a V ' se, e solo se, dipende da B, ovvero se, e solo se, la matrice x 1... x n x x 1n L = x r1... x rn ha rango r (e non r + 1). Sono pertanto nulli tutti i minori orlati di con la prima riga e con ciascuna delle n r colonne diverse dalle prime r. Annullando tali minori si perviene al sistema richiesto. Tutto quanto detto sopra risulterà molto più chiaro con un esercizio di esempio.

10 l.10 Sistemi lineari Esercizio Si voglia rappresentare il sottospazio V ' di V 4 R u 1 = ( 1,2,0,1 ) e u 2 = ( 1,0,1,3). La matrice M = ( ) generato dai vettori ha rango 2. Un suo minore fondamentale è quello formato dalle prime due colonne Un vettore v = ( x 1,x 2,x 3,x 4 ) appartiene a V ' se, e solo se, la matrice x 1 x 2 x 3 x ha rango 2 e non 3. Annulliamo gli orlati di con la prima riga e con la terza e quarta colonna x 1 x 2 x = 2x 1 + x 2 2x 3 e giungiamo al sistema che rappresenta V '. x 1 x 2 x = 6x 1 + 4x 2 2x 4 2x 1 + x 2 2x 3 = 0 6x x 2 2x 4 = 0