A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare

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1 A.A. 2014/2015 Corso di Algebra Lineare Stampato integrale delle lezioni Massimo Gobbino

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3 Indice Lezione 01: Vettori geometrici nel piano cartesiano. Operazioni tra vettori: somma, prodotto per un numero, prodotto scalare, norma, distanza Lezione 02: Coordinate polari nel piano. Interpretazione geometrica del prodotto scalare (usando le coordinate polari o il teorema di Carnot). Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Lezione 03: Rette nel piano: equazione cartesiana vs equazione parametrica. Significato dei coefficienti nei vari tipi di rappresentazione Lezione 04: Introduzione ai sistemi lineari. Esempi con soluzione unica, nessuna soluzione, infinite soluzioni. Algoritmo di Gauss Lezione 05: Matrici a scala e pivot. Interpretazione dei risultati dell algoritmo di Gauss. Esempi di applicazione. Variante alla Jordan dell algoritmo di Gauss.. 24 Lezione 06: Geometria analitica nello spazio. Equazione parametrica della retta nello spazio. Mutua posizione di due rette nello spazio Lezione 07: Piani nello spazio: equazione cartesiana e parametrica. Significato geometrico dei coefficienti nell equazione cartesiana. Passaggio dalla parametrica alla cartesiana Lezione 08: Intersezione di due rette nel piano (date in varia forma) e nello spazio, intersezione di due piani nello spazio, intersezione di una retta ed un piano nello spazio Lezione 09: Matrici e operazioni tra matrici: somma, prodotto per un numero, prodotto tra matrici. Trasposta di una matrice. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di matrici Lezione 10: Esercizi di geometria analitica nello spazio: area di un triangolo, volume di un tetraedro, piede dell altezza di un triangolo. Sistemi lineari n*n Lezione 11: Definizione di campo di numeri, di spazio vettoriale e sottospazio vettoriale. Esempi classici di campo e spazio vettoriale. Primi esempi di sottospazi vettoriali Lezione 12: Definizioni: combinazione lineare, Span, sistema di generatori, vettori linearmente indipendenti e dipendenti, base, dimensione. Basi canoniche e dimensione degli spazi vettoriali classici. Esempio di spazio di dimensione infinita. 55 Lezione 13: Componenti di un vettore rispetto ad una base. Esempi di basi e calcolo di componenti. Interpretazione dei sistemi lineari in termini di combinazioni lineari di colonne Lezione 14: Teorema di esistenza della base. Tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi. Come ottenere basi per eliminazione da un sistema di generatori o aggiungendo elementi ad un insieme di vettori linearmente indipendenti Lezione 15: Intersezione e somma di sottospazi vettoriali. Formula di Grassmann. 70 3

4 4 INDICE Lezione 16: Presentazione cartesiana e parametrica di un sottospazio vettoriale. Esempi di sottospazi vettoriali descritti in vario modo e relative basi e dimensione. 75 Lezione 17: Applicazioni lineari. Teorema di struttura. Matrice associata ad un applicazione lineare dopo aver scelto basi in partenza ed arrivo Lezione 18: Esempi di costruzione della matrice associata ad un applicazione lineare. Costruzione di una matrice di cambio di base Lezione 19: Ker e immagine di un applicazione lineare. Teorema rank-nullity (relazione tra le dimensioni di ker, immagine e spazio di partenza). Conseguenze in termini di iniettività e surgettività Lezione 20: Interpretazione dei sistemi lineari in termini di ker e immagine. Struttura dell insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo (soluzione qualunque più soluzione generica dell omogeneo) Lezione 21: Matrice inversa: quando esiste e come si calcola con l algoritmo alla Gauss-Jordan. Giustificazione dell algoritmo. Uso delle matrici inverse nei cambi di base Lezione 22: Dimostrazione del teorema di sostituzione (punto di partenza per i teoremi su basi e dimensione di spazi vettoriali). Esercizi sulla matrice associata ad un applicazione lineare Lezione 23: Proprietà della matrice trasposta ed inversa. Esercizi misti su sottospazi vettoriali e cambi di base Lezione 24: Introduzione ai determinanti: obiettivi, definizione assiomatica, prime proprietà (alternanza e annullamento nel caso di vettori linearmente dipendenti). Enunciato del teorema di esistenza ed unicità. Caso 2*2 con interpretazione geometrica Lezione 25: Determinante nel caso 3*3: regola di Sarrus e interpretazione geometrica. Determinante e algoritmo di Gauss. Determinante di matrici diagonali e triangolari superiori. Unicità del determinante via algoritmo di Gauss Lezione 26: Sottomatrici e minori. Sviluppi di Laplace (ricorsivi) per colonne e per righe. Enunciato dell esistenza del determinante via sviluppi per colonne. Dimostrazione che gli sviluppi per righe coincidono con quelli per colonne. Determinante della matrice trasposta Lezione 27: Descrizione dello sviluppo di Leibnitz (con le permutazioni) del determinante. Teorema di Binet (enunciato e parte della dimostrazione). Regola di Cramer per i sistemi lineari Lezione 28: Dimostrazione del teorema di Binet e della formula di Cramer. Formula per la matrice inversa con i determinanti. Formula per i vettori perpendicolari e sua interpretazione con i determinanti. Formule per il volume del tetraedro Lezione 29: Rango di una matrice. Dimostrazione completa dell equivalenza tra R-rango, C-rango, D-rango. Rango ed algoritmo di Gauss. Pivot e rango delle matrici a scala Lezione 30: Rango e sistemi lineari: teorema di Rouché-Capelli. Esempi di utilizzo del rango nella risoluzione di esercizi Lezione 31: Basi ortogonali e ortonormali. Componenti di un vettore rispetto a tali basi. Procedimento di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt Lezione 32: Ortogonale di un sottospazio e sue proprietà. Esempi di calcolo di basi ortogonali e di ortogonali di sottospazi

5 INDICE 5 Lezione 33: Matrici ortogonali e loro proprietà. Proiezione ortogonale su un sottospazio Lezione 34: Struttura delle matrici ortogonali 2*2. Esercizi su matrici ortogonali, basi ortogonali e ortonormali, applicazioni lineari e matrici di cambio di base Lezione 35: Forma canonica di un applicazione lineare potendo scegliere basi a piacere in partenza ed arrivo (dipende solo dal rango) Lezione 36: Introduzione motivazionale alle forme canoniche per applicazioni da uno spazio in sé (stessa base in partenza ed arrivo): matrici simili, autovalori, autovettori, autospazio, esempio di diagonalizzazione 2* Lezione 37: Prime proprietà delle matrici simili. Polinomio caratteristico ed autovalori. Molteplicità algebrica e geometrica. Disuguaglianza tra le molteplicità. 174 Lezione 38: Richiami su coefficienti di un polinomio vs somma e prodotto delle radici. Coefficienti del polinomio caratteristico di una matrice. Autovalori relativi ad autovettori distinti sono linearmente indipendenti Lezione 39: Condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità sui reali o sui complessi. Condizione solo necessaria. Descrizione dei blocchi di Jordan e della forma canonica di Jordan sui reali e sui complessi Lezione 40: Applicazioni lineari simmetriche vs matrici simmetriche. Enunciato del teorema spettrale in termini di applicazioni ed in termini di matrici. Autovettori relativi ad autovalori distinti (di applicazioni simmetriche) sono ortogonali Lezione 41: Dimostrazione del teorema spettrale (via esistenza di almeno un autovalore reale ed invarianza dell ortogonale di un sottospazio invariante). Riassunto su diagonalizzazione/jordanizzazione Lezione 42: Esempi ed esercizi sulle forme canoniche Lezione 43: Introduzione alle forme quadratiche: definizione, matrice associata, forme (semi)definite positive/negative, segnatura come terna di numeri Lezione 44: Descrizione dei metodi per trovare la segnatura di una forma quadratica: segno degli autovalori, completamento dei quadrati, minori orlati di Sylvester (in vario ordine), Cartesio Lezione 45: Ricerca di sottospazi di dimensione opportuna su cui una forma quadratica è definita positiva/negativa (via completamento dei quadrati). Dimostrazione del legame tra segnatura e segno degli autovalori della matrice associata.210 Lezione 46: Dimostrazione dell esistenza di un polinomio che annulla una matrice. Polinomio minimo di una matrice. Enunciato del teorema di Hamilton-Cayley. Proprietà del polinomio minimo e suoi legami con i blocchi di Jordan Lezione 47: Forma di Jordan reale vs forma di Jordan complessa: come ottenere la prima dalla seconda e come ottenere la matrice di cambio di base che porta nella prima da quella che porta nella seconda Lezione 48: Definizione astratta di prodotto scalare. Matrice associata ad un prodotto scalare. Forma quadratica associata ad un prodotto scalare. Come varia la matrice associata ad un prodotto scalare quando si cambia base: matrici congruenti Lezione 49: Algoritmo di Gram-Schmidt per un prodotto scalare qualunque definito positivo. Teorema di Sylvester (Sylvester s law of inertia). Esempio di passaggio alla forma alla Sylvester per un prodotto scalare non definito positivo

6 6 INDICE Lezione 50: Esempio di funzioni ortogonali rispetto ad un prodotto scalare definito tramite integrale. Applicazioni simmetriche rispetto ad un prodotto scalare generale e relativo teorema spettrale. Esempio di calcolo dell ortogonale di un sottospazio Lezione 51: Introduzione alla geometria affine. Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini. Trasformazioni affini e loro composizioni. Traslazioni e omotetie, rispetto all origine e rispetto ad un punto generico Lezione 52: Teorema di struttura delle isometrie nello spazio n-dimensionale. Rotazioni nel piano. Interpretazione dei blocchi di Jordan reali come composizione di una rotazione ed un omotetia Lezione 53: Classificazione delle isometrie del piano sulla base del luogo dei punti fissi. Esempi di calcolo dell immagine e della controimmagine di punti e rette rispetto ad un isometria del piano Lezione 54: Esercizi sulle isometrie del piano Lezione 55: Introduzione alle isometrie dello spazio. Classificazione delle matrici 3*3 ortogonali. Simmetria rispetto ad un piano passante per l origine Lezione 56: Matrici ortogonali che rappresentano (nello spazio) la simmetria rispetto ad un piano o la rotazione rispetto ad una retta (entrambi passanti per l origine).262 Lezione 57: Matrici che rappresentano una rotazione rispetto ad una retta seguita dalla simmetria rispetto al piano ortogonale alla retta stessa. Classificazione delle isometrie dello spazio sulla base del luogo dei punti fissi Lezione 58: Esercizi sulle isometrie dello spazio. Rette sghembe nello spazio: come trovare la distanza, i punti di minima distanza, ed un piano che contiene la prima e non interseca la seconda Lezione 59: Semplici esempi di studio di ellissi ed iperboli nel piano (non in forma canonica). Esponenziali e funzioni trascendenti di matrici Lezione 60: Cambi di basi ed algoritmo jpeg (o mp3)

7 Stampato integrale delle lezioni 7 Lezione 01

8 8 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 01

9 Stampato integrale delle lezioni 9 Lezione 01

10 10 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 01

11 Stampato integrale delle lezioni 11 Lezione 02

12 12 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 02

13 Stampato integrale delle lezioni 13 Lezione 02

14 14 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 02

15 Stampato integrale delle lezioni 15 Lezione 03

16 16 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 03

17 Stampato integrale delle lezioni 17 Lezione 03

18 18 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 03

19 Stampato integrale delle lezioni 19 Lezione 03

20 20 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 04

21 Stampato integrale delle lezioni 21 Lezione 04

22 22 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 04

23 Stampato integrale delle lezioni 23 Lezione 04

24 24 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 05

25 Stampato integrale delle lezioni 25 Lezione 05

26 26 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 05

27 Stampato integrale delle lezioni 27 Lezione 05

28 28 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 06

29 Stampato integrale delle lezioni 29 Lezione 06

30 30 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 06

31 Stampato integrale delle lezioni 31 Lezione 06

32 32 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 06

33 Stampato integrale delle lezioni 33 Lezione 07

34 34 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 07

35 Stampato integrale delle lezioni 35 Lezione 07

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37 Stampato integrale delle lezioni 37 Lezione 07

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39 Stampato integrale delle lezioni 39 Lezione 08

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41 Stampato integrale delle lezioni 41 Lezione 08

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43 Stampato integrale delle lezioni 43 Lezione 09

44 44 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 09

45 Stampato integrale delle lezioni 45 Lezione 09

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49 Stampato integrale delle lezioni 49 Lezione 10

50 50 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 10

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53 Stampato integrale delle lezioni 53 Lezione 11

54 54 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 11

55 Stampato integrale delle lezioni 55 Lezione 12

56 56 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 12

57 Stampato integrale delle lezioni 57 Lezione 12

58 58 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 12

59 Stampato integrale delle lezioni 59 Lezione 12

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61 Stampato integrale delle lezioni 61 Lezione 13

62 62 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 13

63 Stampato integrale delle lezioni 63 Lezione 13

64 64 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 13

65 Stampato integrale delle lezioni 65 Lezione 14

66 66 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 14

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68 68 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 14

69 Stampato integrale delle lezioni 69 Lezione 14

70 70 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 15

71 Stampato integrale delle lezioni 71 Lezione 15

72 72 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 15

73 Stampato integrale delle lezioni 73 Lezione 15

74 74 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 15

75 Stampato integrale delle lezioni 75 Lezione 16

76 76 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 16

77 Stampato integrale delle lezioni 77 Lezione 16

78 78 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 16

79 Stampato integrale delle lezioni 79 Lezione 16

80 80 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 17

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82 82 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 17

83 Stampato integrale delle lezioni 83 Lezione 17

84 84 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 17

85 Stampato integrale delle lezioni 85 Lezione 18

86 86 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 18

87 Stampato integrale delle lezioni 87 Lezione 18

88 88 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 18

89 Stampato integrale delle lezioni 89 Lezione 18

90 90 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 19

91 Stampato integrale delle lezioni 91 Lezione 19

92 92 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 19

93 Stampato integrale delle lezioni 93 Lezione 19

94 94 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 20

95 Stampato integrale delle lezioni 95 Lezione 20

96 96 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 20

97 Stampato integrale delle lezioni 97 Lezione 20

98 98 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 21

99 Stampato integrale delle lezioni 99 Lezione 21

100 100 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 21

101 Stampato integrale delle lezioni 101 Lezione 21

102 102 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 22

103 Stampato integrale delle lezioni 103 Lezione 22

104 104 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 22

105 Stampato integrale delle lezioni 105 Lezione 22

106 106 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 22

107 Stampato integrale delle lezioni 107 Lezione 23

108 108 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 23

109 Stampato integrale delle lezioni 109 Lezione 23

110 110 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 23

111 Stampato integrale delle lezioni 111 Lezione 24

112 112 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 24

113 Stampato integrale delle lezioni 113 Lezione 24

114 114 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 24

115 Stampato integrale delle lezioni 115 Lezione 24

116 116 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 25

117 Stampato integrale delle lezioni 117 Lezione 25

118 118 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 25

119 Stampato integrale delle lezioni 119 Lezione 25

120 120 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 25

121 Stampato integrale delle lezioni 121 Lezione 26

122 122 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 26

123 Stampato integrale delle lezioni 123 Lezione 26

124 124 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 26

125 Stampato integrale delle lezioni 125 Lezione 26

126 126 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 27

127 Stampato integrale delle lezioni 127 Lezione 27

128 128 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 27

129 Stampato integrale delle lezioni 129 Lezione 28

130 130 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 28

131 Stampato integrale delle lezioni 131 Lezione 28

132 132 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 28

133 Stampato integrale delle lezioni 133 Lezione 28

134 134 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 28

135 Stampato integrale delle lezioni 135 Lezione 29

136 136 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 29

137 Stampato integrale delle lezioni 137 Lezione 29

138 138 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 29

139 Stampato integrale delle lezioni 139 Lezione 29

140 140 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 30

141 Stampato integrale delle lezioni 141 Lezione 30

142 142 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 30

143 Stampato integrale delle lezioni 143 Lezione 30

144 144 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 31

145 Stampato integrale delle lezioni 145 Lezione 31

146 146 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 31

147 Stampato integrale delle lezioni 147 Lezione 31

148 148 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 31

149 Stampato integrale delle lezioni 149 Lezione 32

150 150 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 32

151 Stampato integrale delle lezioni 151 Lezione 32

152 152 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 32

153 Stampato integrale delle lezioni 153 Lezione 32

154 154 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 33

155 Stampato integrale delle lezioni 155 Lezione 33

156 156 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 33

157 Stampato integrale delle lezioni 157 Lezione 33

158 158 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 33

159 Stampato integrale delle lezioni 159 Lezione 34

160 160 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 34

161 Stampato integrale delle lezioni 161 Lezione 34

162 162 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 34

163 Stampato integrale delle lezioni 163 Lezione 34

164 164 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 35

165 Stampato integrale delle lezioni 165 Lezione 35

166 166 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 35

167 Stampato integrale delle lezioni 167 Lezione 35

168 168 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 35

169 Stampato integrale delle lezioni 169 Lezione 36

170 170 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 36

171 Stampato integrale delle lezioni 171 Lezione 36

172 172 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 36

173 Stampato integrale delle lezioni 173 Lezione 36

174 174 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 37

175 Stampato integrale delle lezioni 175 Lezione 37

176 176 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 37

177 Stampato integrale delle lezioni 177 Lezione 37

178 178 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 37

179 Stampato integrale delle lezioni 179 Lezione 38

180 180 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 38

181 Stampato integrale delle lezioni 181 Lezione 38

182 182 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 38

183 Stampato integrale delle lezioni 183 Lezione 38

184 184 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 39

185 Stampato integrale delle lezioni 185 Lezione 39

186 186 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 39

187 Stampato integrale delle lezioni 187 Lezione 39

188 188 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 40

189 Stampato integrale delle lezioni 189 Lezione 40

190 190 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 40

191 Stampato integrale delle lezioni 191 Lezione 40

192 192 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 41

193 Stampato integrale delle lezioni 193 Lezione 41

194 194 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 41

195 Stampato integrale delle lezioni 195 Lezione 41

196 196 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 41

197 Stampato integrale delle lezioni 197 Lezione 42

198 198 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 42

199 Stampato integrale delle lezioni 199 Lezione 42

200 200 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 42

201 Stampato integrale delle lezioni 201 Lezione 43

202 202 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 43

203 Stampato integrale delle lezioni 203 Lezione 43

204 204 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 43

205 Stampato integrale delle lezioni 205 Lezione 44

206 206 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 44

207 Stampato integrale delle lezioni 207 Lezione 44

208 208 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 44

209 Stampato integrale delle lezioni 209 Lezione 44

210 210 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 45

211 Stampato integrale delle lezioni 211 Lezione 45

212 212 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 45

213 Stampato integrale delle lezioni 213 Lezione 45

214 214 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 45

215 Stampato integrale delle lezioni 215 Lezione 46

216 216 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 46

217 Stampato integrale delle lezioni 217 Lezione 46

218 218 Corso di Algebra Lineare by Massimo Gobbino A.A. 2014/2015 Lezione 46

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221 Stampato integrale delle lezioni 221 Lezione 47

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223 Stampato integrale delle lezioni 223 Lezione 47

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