ii 1.20 Rango di una matrice Studio dei sistemi lineari Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli......

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1 Indice Prefazione vii 1 Matrici e sistemi lineari Le matrici di numeri reali Nomenclatura in uso per le matrici Matrici ridotte per righe e matrici ridotte per colonne Operazioni sulle matrici Operazione di moltiplicazione riga per colonna tra due matrici Trasformazioni elementari di una matrice Matrice invertibile e matrice inversa di una matrice Permutazioni dell insieme {1,2,...,n} Determinante di una matrice quadrata Calcolo dei determinanti di matrici quadrate di ordine 2 e Proprietà dei determinanti che discendono dalla definizione Complemento algebrico di un elemento di una matrice ed altre rappresentazioni del determinante Un commento sulla struttura delle formule (1.20) e (1.21) Altre proprietà dei determinanti Regole di calcolo dei determinanti Condizione di invertibilità di una matrice e matrice inversa Un procedimento alternativo per il calcolo della matrice inversa Due domande sulla matrice inversa Potenza di una matrice i

2 ii 1.20 Rango di una matrice Studio dei sistemi lineari Teoremi di Cramer e Rouché-Capelli Metodo di Gauss Principio di induzione Uso del principio di induzione nella risoluzione dei problemi 60 2 Teoria dei vettori geometrici dello spazio euclideo Definizione di vettore geometrico dello spazio euclideo Alcune definizioni Operazione di addizione Operazione di moltiplicazione di un numero (scalare) per un vettore Operazione di prodotto scalare Componente ortogonale di un vettore rispetto ad un altro vettore Operazione di prodotto vettoriale Operazione di prodotto misto Spazio vettoriale e spazio euclideo dei vettori geometrici Dipendenza ed indipendenza lineare tra vettori di V Dimensioni e basi dello spazio vettoriale V Come varia la terna di coordinate di un vettore v V al variare della base scelta in V Spazio vettoriale orientato Relazioni tra le coordinate dei vettori: u, v, u+v, λu Concetto di sottospazio Esistenza di sottospazi e costruzione di essi a partire da vettori di V Dimensione dei sottospazi e relazione tra sistema di generatori e basi del sottospazio Rette vettoriali e piani vettoriali Sottospazi intersezione e sottospazi somma Relazione di Grassmann Sottospazi supplementari Riassunto dei concetti definiti nello spazio vettoriale V. 113

3 2.23 Concetti tipici dello spazio vettoriale euclideo E Sottospazi ortogonali e supplementare ortogonale di un sottospazio di E Vettore simmetrico di un vettore v E rispetto ad un sottospazio di E Procedimento di Gram-Schmidt Espressione analitica del prodotto scalare Commenti alla matrice di Gram Relazione tra le coordinate dei vettori u, v, u v Espressione analitica del prodotto misto Le operazioni di prodotto vettoriale e di prodotto misto nei sottospazi Spazio vettoriale reale e spazio vettoriale euclideo reale Definizione di legge di composizione interna e di legge di composizione esterna ad un insieme Considerazioni che hanno portato alla definizione astratta di spazio vettoriale Definizioneastrattadispaziovettoriale Riflessione sulla definizione astratta(o assiomatica) di spazio vettoriale Esempi di spazi vettoriali Dimensione e basi di uno spazio vettoriale V Sottospazi di uno spazio vettoriale di dimensione finita V Dimostrazione della relazione di Grassmann Ancora sui sistemi di generatori di sottospazi di V Metodo degli scarti successivi Dimensione e basi dello spazio vettoriale numerico R n e dei suoi sottospazi Un altra lettura delle matrici e del rango di una matrice Comecalcolareilrangodiunamatrice Metodo di riduzione per righe o per colonne AncoraduedomandesuisottospazidiR n Rappresentazione implicita di un sottospazio di R n iii

4 iv 3.17 Tecniche di passaggio tra i due modi di assegnare un sottospazio di R n Risposta alla domanda Sistemi lineari di equazioni vettoriali Come definire l operazione di prodotto scalare tra i vettori di uno spazio vettoriale V Operazione di prodotto scalare e spazio vettoriale euclideo Esempi di spazi vettoriali euclidei Norma di un vettore di uno spazio vettoriale euclideo Dimostrazione della disuguaglianza di Schwartz e definizione di angolo tra due vettori Altre proprietà della norma di un vettore Prodotto scalare tra due vettori e matrice di Gram Applicazioni lineari Concetto di applicazione lineare Nomenclatura in uso Esempi di applicazioni lineari Proprietà delle applicazioni lineari Conseguenze delle relazioni (4.5), (4.6) e dell essere Kerf = { 0 V } Altre proprietà delle applicazioni lineari Isomorfismi e spazi vettoriali isomorfi Un metodo per trovare la dimensione ed una base di uno spazio vettoriale V assegnato Quali sono gli spazi vettoriali isomorfi Lo spazio vettoriale R n come strumento di calcolo Rappresentazione della legge d associazione di una applicazione lineare per mezzo di matrici Riflessioni sopra la matrice A Un metodo per studiare le applicazioni lineari Riflessioni sopra i sistemi lineari Isomorfismo tra gli spazi L(V,W) e R m,n Relazione tra matrici simili Autovalori ed autovettori di un endomorfismo

5 4.18 Definizione di autospazio e relazione tra autovettori appartenenti ad autospazi distinti Come si calcolano gli autovalori e si trovano gli autospazi di un endomorfismo Quando un endomorfismo è diagonalizzabile L applicazione aggiunta di una applicazione lineare Formula di aggiunzione in termini di matrici Endomorfismi autoaggiunti Diagonalizzabilità degli endomorfismi autoaggiunti Relazioni tra i sottospazi (4.87) Isomorfismi ortogonali Caratterizzazione degli isomorfismi ortogonali Proprietà degli isomorfismi ortogonali Automorfismi ortogonali Forme bilineari e forme quadratiche Forme bilineari Spazio vettoriale delle forme bilineari su V e due sottospazi di esso Forme quadratiche Due considerazioni sulle forme quadratiche Forme bilineari simmetriche e prodotti scalari Definizione di vettori coniugati e nucleo di una forma bilineare simmetrica Proprietà dei vettori coniugati; basi di vettori coniugati a due a due Rappresentazione analitica della legge d associazione di una forma bilineare simmetrica Riflessioni sulla matrice A associata ad una forma bilineare simmetrica su V rispetto ad una base B V fissata in V Equazione del nucleo di una forma bilineare simmetrica Studio del segno di una forma quadratica per mezzo di matrici Come studiare una forma bilineare simmetrica v

6 vi 5.13 Studio delle forme bilineari simmetriche su uno spazio vettoriale euclideo

4. Sottospazi vettoriali Piani e rette in E 3 O

4. Sottospazi vettoriali Piani e rette in E 3 O Indice Prefazione i Capitolo 0. Preliminari 1 1. Insiemistica e logica 1 1.1. Insiemi 1 1.2. Insiemi numerici 2 1.3. Logica matematica elementare 5 1.4. Ancora sugli insiemi 7 1.5. Funzioni 10 1.6. Composizione

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