Applicazioni Lineari. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

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1 Politecnico di Torino. Applicazioni Lineari. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Basi e coordinate. Applicazioni lineari. Matrici come applicazioni lineari. Nucleo immagine e controimmagine. La matrice di f rispetto a basi in V e V. La matrice di un endomorfismo. Cambiamento di base. Altra dimostrazione del Teorema del rango. Aquila non captat muscas Esercizi: lineari Basi e coordinate Una base B di uno spazio vettoriale V e un insieme ordinato B = ( v v v n di generatori linearmente independenti (L.I di V cioe per dare una base bisogna indicare: i i vettori L.I. v v v n che generano Vcioe V = L( v v v n ; ii l ordine tra questi vettori cioe quale e il primo vettore della base quale e il secondo e cosi via. Il numero n di vettori di una base di V e la dimensione di V e si indica dim(v = n. Esempio.. Sia V = R lo spazio vettoriale delle matrici. Le sei matrici : ( ( ( ( ( ( sono un sistema di generatori L.I. di V. Con queste 6 matrici si possono formare 6! = 7 basi diversi di V poiche ci sono 7 modi diversi di ordinare sei oggetti. Ecco Applicazioni Lineari Geometria

2 Politecnico di Torino. tre di queste 7 basi: ( C = ( ( A = ( ( B = ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Data la base B = ( v v v n di V ogni vettore v V si associa con la sua colonna di coordinate: c B[ c v ] =. dove i c c c n sono i coefficienti della combinazione lineare v = c v + c v + + c n v n. Si dice che la colonna B [ v ] rappresenta il vettore v rispetto alla base B o che B [ v ] e la colonna delle componenti o coordinate di v rispetto alla base B. Esempio.. Sia ( v = e siano A B e C le tre basi dello esempio precedente. Allora A[ v ] = B[ v ] = C[ v ] = Esempio.. Come fa vedere l esempio precendente normalmente la colonna che rappresenta un vettore cambia quando si cambia la base. Ma il vettore nullo e sempre rappresentato dalla colonna nulla rispetto a qualsiasi base. Ad esempio se dim(v = 4 allora B[ ] = c n Applicazioni Lineari Geometria

3 Politecnico di Torino. per qualsiasi base B. Il vettore nullo e l unico vettore di uno spazio vettoriale la cui colonna B [ ] e sempre la stessa rispetto a qualsiasi base. Infatti un vettore v non nullo appartiene sempre a un sistema di generatori linearmente independenti. Dunque esiste una base A = ( v v v n dove v e il primo vettore e dunque la sua colonna A [ v ] =.. Invece rispetto alla base B = (v v v n la colonna B [ v ] = poiche. v e il secondo vettore della base B. Esercizio.4. Sia C = (e e e la base canonica di R e sia B = ( v v v la base di R dove v = ( ; v = ( ; v = ( Calcolare le seguenti colonne: (a B [ v ] B [ v ] e B [ v ]. (b C [ v ] C [ v ] e C [ v ]. (c C [e ] C [e ] e C [e ]. (d B [e ] B [e ] e B [e ]. (e Sia w = e + v v. Calcolare le colonne B [ w ] e C [ w ] ( Esercizio.5. Sia m =. Calcolare le tre colonne 4 8 π A [m] B [m] e C [m] dove A B C sono le tre basi del Esempio.. Applicazioni lineari Una funzione f : V V tra due spazi vettoriali e una applicazione lineare se: Applicazioni Lineari Geometria

4 Politecnico di Torino. f( v + w = f( v + f( w f(r v = rf( v per ogni vettori v w V e qualsiasi numero r. Questo e equivalente ad dire che f rispetta combinazioni lineari cioe f(c v + c v + + c n v n = c f( v + c f( v + + c n f( v n Nota: Una funzione lineare f applica o trasforma il vettore zero nel vettore zero cioe f( =. Dizionario: Una applicazione lineare si dice anche funzione lineare od operatore lineare o transformazione lineare. Esempio.. Una base B di V si puo pensare come una applicazione lineare da V allo spazio vettoriale delle colonne. Infatti se n = dim(v e B = ( v v v n allora e una applicazione lineare. f( v = B [v] Esempio.. Sia f : V V la funzione costante uguale a zero cioe f( v = per qualsiasi v V. Allora f e una applicazione lineare chiamata applicazione nulla zero o banale. Esempio.. La derivata f(x f (x e una applicazione lineare dello spazio V delle funzioni che ammetono derivate nello spazio V delle funzioni. Dizionario: A volte si usano queste parole: morfismo = omomorfismo= applicazione lineare. endomorfismo= applicazione lineare di V in se stesso. epimorfismo = applicazione lineare suriettiva. monomorfismo = applicazione lineare iniettiva. isomorfismo= monomorfismo + epimorfismo. automorfismo = isomorfismo + endomorfismo. Esempio.4. La applicazione identica o identita id : V V definita da id( v = v e un automorfismo di V. Esempio.5. Sia f : R R la funzione f(x y = (x + y x + 4y 5x + 6y. Allora f e una applicazione lineare. Applicazioni Lineari 4 Geometria

5 . Matrici come applicazioni lineari Politecnico di Torino. Se f : R n R m e la funzione f(x x n = (f (x x n f m (x x n allora f e una applicazione lineare se e soltanto se tutte le f i : R n R sono lineari cioe del tipo: ax + bx + + cx n. dove Ad esempio la f : R R del esempio precedente e f(x y = (f (x y f (x y f (x y f (x y = x + y f (x y = x + 4y f (x y = 5x + 6y Esempio.6. Sia f : R R la funzione f(x y = (x y non e applicazione lineare poiche compare y. Esempio.7. Sia f : R R la funzione f(x y z = (x + y + z 7x + 8z + 9y + non e applicazione lineare poiche c e la costante e dunque f( = ( non e il vettore zero. Esercizio.8. Quale delle seguenti funzioni f : R R e una applicazione lineare? i f(x = x ii f(x = 5x + iii f(x = log(x + iv f(x = e x. Esercizio.9. Sia f : V V una applicazione lineare. Per che f( =?. Matrici come applicazioni lineari Una matrice A R mn determina una applicazione lineare f A : R n R m tramite la moltiplicazione matrice per colonna. Le n-uple X = (x x n si pensano come x colonne.. Il prodotto A. x n x x n e una colonna di m elementi che da il risultato Molte persone quando parlano degli elementi di R n come vettori li pensano sempre come colonne anziche come n-uple. Applicazioni Lineari 5 Geometria

6 . Matrici come applicazioni lineari Politecnico di Torino. f A (X cioe f A (X = AX dove X e la colonna x. x n. Se A = (a ij allora f A in formule e : Esempio.. Se A = f A (x x n = ( n a k x k k= ( n a k x k k= allora f A e n a mk x k k= f A (x x x = (x + x + x 4x + 5x + 6x ( ( Infatti x x x + x = + x. 4x x + 5x + 6x ( Esercizio.. Sia A = e sia X =. Calcolare la colonna AX. 7 5 Calcolare f A ( 5. Trovare le formule f A (x x x. Esercizio.. Sia f A (x x x = ( x + x x + x + 7x. Trovare la matrice A. Trovare la matrice Jacobiana di f A. Esercizio.. Sia f A (x y z = ( x+z z +y+7z. Trovare la matrice A. Trovare la matrice Jacobiana di f A. Esercizio.4. Sia f A (u v w = (u+w. Trovare la matrice A. Trovare la matrice Jacobiana di f A. Esercizio.5. Sia A =. Trovare le formule f A (x x e calcolare f A (. Ecco due esempi da ricordare: ( cos(θ sin(θ Esempio.6. La matrice sin(θ cos(θ senzo antiorario nel piano R. determina una rotazione di angolo θ in Applicazioni Lineari 6 Geometria

7 . Nucleo immagine e controimmagini di f Politecnico di Torino. Esempio.7. Le matrice cos(θ sin(θ cos(θ sin(θ cos(θ sin(θ sin(θ cos(θ sin(θ cos(θ sin(θ cos(θ determinano rispettivamente rotazioni di angolo θ rispetto agli assi x y e z nello spazio R. Esercizio.8. Calcolare le matrici che ruotano 45 6 e 9 gradi in senzo orario R. ( In realta una matrice come A : si puo usare anche per definire una applicazione 4 lineare L A dello spazio R in se stesso cioe L A : R R. Eccola qui: L A (X = AX dove X R. ( Esercizio.9. Sia A : e sia L A : R R come spiegato precedentemente. Calcolare L A (. ( 6 5. Nucleo immagine e controimmagini di f Data una applicazione lineare f : V V ci sono due sottospazi importanti: il nucleo ker(f e l immagine im(f. L immagine e semplicemente l immagine di f cioe l insieme im(f = f(v = {f( v : v V }. Ecco il nucleo ker(f = { v V : f( v = } dunque il nucleo e il sottoinsieme di vettori che dove f fa zero. Osservare che ker(f e un sottospazio del dominio V di f invece im(f del codominio V. Il nucleo di f serve per determinare se f e iniettiva: dim(ker(f = se e soltanto se f e iniettiva. L immagine f serve per determinare se f e suriettiva: dim(im(f = dim(v se e soltanto se f e suriettiva. Applicazioni Lineari 7 Geometria

8 . Nucleo immagine e controimmagini di f Politecnico di Torino. Esempio.. Sia V uno spazio vettoriale di dimension 4 e sia V uno spazio vettoriale di dimension. Esiste una applicazione lineare f : V V iniettiva?. Risposta: No poiche dim(im(f non puo essere maggiore di. Esempio.. Sia V uno spazio vettoriale di dimension 5 e sia V uno spazio vettoriale di dimension. Esiste una applicazione lineare f : V V suriettiva?. Risposta: No poiche = dim(v > 5 = dim(v dim(im(f. Esempio.. Sia f A l applicazione lineare associata alla matrice A. Allora ker(f A e l insieme delle soluzioni del sistema omogeneo A.X =. Dunque dim(ker(f A = p dove p e il numero di parametri liberi della soluzione generale di A.X =. Invece im(f A e il sottospazio generato dalle colonne della A cioe im(f A = C A. Dunque r = rango(a = dim(im(f A = dim(c A. Quindi A ha n = r + p colonne. El esempio precedente e un caso particolare dell equazione : dim(v = dim(ker(f + dim(im(f Esempio.. Sia V uno spazio vettoriale di dimension 8. Esiste una applicazione lineare f : V V tale che dim(ker(f = 4 e dim(im(f = 5?. Risposta: No poiche Esempio.4. Sia V uno spazio vettoriale di dimension 7 e sia V uno spazio vettoriale di dimension. Esiste una applicazione lineare f : V V suriettiva e dim(ker(f = 6?. Risposta: No poiche Se f : V V e una applicazione lineare e b V la controimmagine f (b e il sottoinsieme di vettori di V che f applica su b simbolicamente f (b = {x V : f(x = b} Esempio.5. Sia f A : R R la applicazione lineare definita dalla matrice ( A =. 4 6 La controimmagine f (b e l insieme delle soluzioni del sistema non homogeneo A AX = b. In wikipedia questo e chiamato Teorema del rango : del_rango Applicazioni Lineari 8 Geometria

9 . La matrice di f rispetto a basi in V e V. Politecnico di Torino. ( Ad esempio f A ( = l insieme vuoto poiche il sistema AX = e incompat- + L( cioe un piano passante per il ( 6 ibile. Invece f A ( = punto (. ( Dizionario Il rango della applicazione lineare f e la dimensione di im(f. C e gente che usa la parola rango per indicare anche il sottospazio im(f.. La matrice di f rispetto a basi in V e V. Sia A = ( v v n una base di V e B una base di V e sia f : V V una applicazione lineare. La matrice B[f( v ] B[f( v ] B[f( v n ] e la matrice di f rispetto della base A in partenza (o del dominio e B in arrivo (o del codominio. Questa matrice se indica con il simbolo B[f] A. A volte si dice che B [f] A rappresenta f rispetto alle basi A e B. Osservare che B [f] A ha n = dim(v colonne e m = dim(v righe. Esempio.6. Sia V dim(v ( = e V dim(v =. La applicazione lineare nulla da V in V ha matrice rispetto a qualsiasi basi. Invece la applicazione lineare nulla da V in V ha come matrice rispetto a qualsiasi basi. L utilita della notazione B [f] A e che permette calcolare il valore di f( v tramite un prodotto matrice per colonna. Ecco la formula: B[f( v ] = B [f] A A [ v ] Una altra utilita della notazione si vede nella formula che collega composizione di applicazioni lineari con il prodotto tra le loro matrici. Siano f : V V e Applicazioni Lineari 9 Geometria

10 . La matrice di f rispetto a basi in V e V. Politecnico di Torino. g : V V due applicazioni lineari e sia h = g f : V V la loro composizione. Siano A B e C basi di V V e V rispettivamente. Allora C[h] A = C [g] B B [f] A In parole povere la composizione corresponde alla moltiplicazione delle matrici. Infatti se A B sono matrici allora f A f B = f AB dove f A (X = AX e f B (X = BX. Nota: Precedentemente sezione. ho spiegato che una matrice A R mn si puo pensare come una applicazione lineare f A da R n in R m. Usando i simboli di questa sezione la matrice A e in realta la matrice di f A rispetto alle basi canoniche di R n e R m cioe A = C [f A ] C Esempio.7. Sia f : R R la funzione lineare f(x y = (x+y x+4y 5x+6y. Ecco la sua matrice rispetto alle basi canoniche C[f] C = Esercizio.8. Sia f : R R la applicazione lineare definita da f(x y z = ( x + z z + y + 7z. Trovare la matrice di f rispetto alle basi canoniche. Trovare la matrice Jacobiana di f. Esercizio.9. Sia f la applicazione lineare del esempio precedente. matrice C [f] B dove B = (( (. Calcolare la Esempio.. Esiste una applicazione lineare f : R R tale che ker(f = L(( e im(f = L( 8?. Si ecco perche. Consideriamo A = (( ( una base di R in cui il nucleo di f e generato dal primo vettore. Dunque la matrice 8 considerata come matrice C [f] A determina una applicazione lineare f : R R tale che ker(f = L(( e im(f = L( 8. A volte e facile trovare la f esplicitamente ecco un esempio. Applicazioni Lineari Geometria

11 .4 La matrice d un endomorfismo f Politecnico di Torino. Esempio.. Esiste una applicazione lineare f : R R tale che ker(f = L(( e im(f = L(4?. Si ecco perche. La matrice A di f rispetto alle basi canoniche ha due colonne e tre righe. Che il vettore ( sia in ker(f ci dice che le due colonne dia A sono uguali cioe A e una matrice del tipo a a b b. c c Per fare che im(f = L(4 basta prendere a = 4 b = c = cioe f(x y = (4x + 4y x + y x y..4 La matrice d un endomorfismo f Quando f e un endomorfismo cioe una applicazione lineare d uno spazio vettoriale V in se stesso allora una base A puo essere usata tanto in partenza come in arrivo. In questa situazione la matrice A [f] A se chiama matrice di f rispetto alla base A. La notazione A [f] A si puo abreviare con [f] A e dunque A[f( v ] = [f] A A[ v ] Esempio.. La matrice [id] della applicazione identica id : V V e sempre la A matrice identica cioe non dipende dalla base A. Ad esempio = e la matrice della applicazione lineare identica id se dim(v = rispetto a qualsiasi base di V. In generale la matrice d un endomorfismo f cambia quando la base cambia. ( ρ Esercizio.. Sia f : R R e sia la sua matrice rispetto la base ρ canonica. Sia A = (( (. Calcolare le seguenti tre matrici: C[f] A A [f] C A [f] A Applicazioni Lineari Geometria

12 Politecnico di Torino. Esempio.4. ( Sia L A : R R la applicazione lineare che si ottiene moltiplicando a sinistra per. Ecco la sua matrice rispetto alla base C in Esempio.: 4 [L A ] C = Esercizio.5. Sia L A la applicazione lineare del esempio precedente. Scrivere le due matrici [L A ] [L A ] A B dove A B sono le basi del esempio.. Cambiamento di base Siano A e B due basi dello spazio vettoriale V. La matrice P di cambiamento di base dalla base A alla B e una matrice che permette ottenere la colonna che rappresenta un vettore nella base B cioe B [ v ] conoscendo la colonna che rappresenta v nella base A. Il cambiamento di base si fa moltiplicando la colonna per la matrice P cioe B[ v ] = P A [ v ]. La matrice P si indica con il simbolo B C A e dunque l identita precedente e B[ v ] = B C A A [ v ]. Come calcolare B C A?. Osservare che B C A e semplicemente la matrice della applicazione identica id : V V rispetto alla base A in partenza e B in arrivo. Simbolicamente BC A = B [id] A Dunque le colonne di B C A sono le colonne che rappresentano i vettori della base A rispetto della base B. Simbolicamente se A = (v v v n allora Anche detta matrice di passaggio dalla base A alla base B. Applicazioni Lineari Geometria

13 Politecnico di Torino. BC A = B[v ] B[v ] B[v n ] Osservare che le matrici B C A e A C B sono una l inversa dell altra. Infatti BC A A C B = B C B = B [id] B = Dunque a volte e piu facile calcolare B C A e dopo calcorare l inversa A C B : Esempio.. Ecco la matrice C C A dalla base A = (( ( di R alla base canonica C = (e e : ( CC A = Esempio.. Ecco la matrice A C C di R : AC C = C C A = dalla base canonica alla base A = (( ( ( = ( Esercizio.. Sia A = (( (. Calcolare le matrici di cambiamento di base AC C e C C A. Sia v = (x y R tale che A [ ( v ] =. Calcolare x y. 5 Esercizio.4. Sia A = (( (. Calcolare le matrici di cambiamento di base AC C e C C A. Sia v R tale che C [ ( v ] =. Calcolare A [ v ]. Se A e B sono due basi di R n ci sono due metodi per calcolare la matrice di cambiamento di base B C A. Entrambi metodi usano la base canonica C di R n. Metodo. Passando tramite la base canonica C : Si calcola B C C calcolando l inversa di CC B e dopo si fa il prodotto BC A = B C C C C A Metodo. Si applica il metodo di Gauss-Jordan alla matrice : (CC B CC A per ottenere la matrice ( BC A Applicazioni Lineari Geometria

14 . La matrice di f in diverse basi Politecnico di Torino. Esempio.5. Calcolare B C A dove A = (( ( e B = (( ( sono due basi di R. ( Metodo. B C C e l inversa di cioe BC C = ( dunque BC A = B C C C C A = ( ( Metodo. Si fa Gauss-Jordan alla matrice ( ( = e si ottiene ( dunque BC A = ( Esercizio.6. Siano A = (( ( e B = (( ( 6. Calcolare le matrici di cambiamento di base: AC B B C A. La matrice di f in diverse basi Sia f : V V una applicazione lineare. Siano A A due basi di V e B B due basi di V. Conoscendo B [f] A si puo calcolare B [f] A usando le matrici di cambiamento di base: B [f] A = B C B B[f] A A C A ( Se invece f e un endomorfismo la matrice [f] si puo calcolare conoscendo [f] A A : [f] A = A C A [f] A AC A ( Applicazioni Lineari 4 Geometria

15 . Rotazioni in R rispetto ad un asse. Politecnico di Torino. Sia f : R n R n una applicazione lineare. Sia x la colonna di coordinate rispetto alla base V (vecchie coordinate e sia u le nuove coordinate rispetto alla base N. Usando: la lettera F per la matrice di f rispetto alla base V ; la lettera F per la matrice di f rispetto alla base N ; la lettera P per la matrice di cambiamento dalla base N alla base V cioe P = V C N la formula precedente si scrive: F = P FP Questa formula sara usata quando si parlera di diagonalizzazione di una matrice o d un endomorfismo. Si dice che le matrici F e F sono matrici simili se esiste una matrice P tale che F = P FP e la matrice P si dice che e la similarita. Esercizio.7. Sia f : R R la applicazione lineare al cui matrice rispetto alla base canonica e ( ρ F = ρ Sia A = (( ( una base di R. Calcolare la matrice F = [f] A. Esercizio.8. Trovare la matrice C [f] C dove f e la applicazione lineare del esempio.. Dopodiche trovare le formule f(x y = (f (x y f (x y f (x y. ( ( a b Esercizio.9. Dimostrare che e sono matrici simili indipendemente dei valori numerici a b. Esercizio.. Quale sono i valori di x percui le matrici matrici simili?.. Rotazioni in R rispetto ad un asse. ( ( x x e sono x x Supponiamo che ci serve la rotazione R d angolo θ intorno ad un asse determinato dal vettore a. Siccome una rotazione e una applicazione lineare bisogna trovare la sua matrice. Normalmente si ha bisogno della matrice di R rispetto alla base canonica di R cioe ci serve la matrice [R] C Ecco un modo per trovare questa matrice: Applicazioni Lineari 5 Geometria

16 . Rotazioni in R rispetto ad un asse. Politecnico di Torino. Si trovano due versori a a tale che a a e il vettore a siano tutti perpendicolare tra di loro e define base A = ( a a a dove a = a cioe l asse della a rotazione R e l asse determinato dal terzo vettore della base A. Si calcolano le matrici di cambiamento di base C C A e la sua inversa A C C E importante osservare che la matrice di R rispetto alla base A e cos(θ sin(θ [R] = sin(θ cos(θ A Dopodiche la matrice che ci serve e il risultato di moltiplicare tre matrici: [R] C = C C A [R] A AC C cioe [R] C cos(θ sin(θ = C C A sin(θ cos(θ A C C Nota: Siccome il senzo dell angolo di rotazione θ puo essere il contrario forse ci serve R cioe la rotazione di θ intorno all asse. Ma la matrice di R e la sua trasposta cioe [R ] C = [R] C Esempio.. Ecco come calcolare la rotazione R d angolo θ rispetto all asse determinato dal vettore a = (. Passo. Prendiamo a = ( a = ( e a = (. Passo. Ecco la matrice CC A = Applicazioni Lineari 6 Geometria

17 Politecnico di Torino. ed ecco la sua inversa AC C = Passo. La matrice di R rispetto alla base canonica di R e il prodotto ed eccola qui: cos(θ sin(θ sin(θ cos(θ ( + cos(θ ( ( cos(θ sin(θ ( cos(θ + sin(θ cos(θ + sin(θ ( + cos(θ ( ( ( cos(θ sin(θ cos(θ sin(θ cos(θ + sin(θ ( + cos(θ Se l angolo θ = 6 la rotazione e Esercizio.. Trovare la matrice della rotazione di 6 intorno all asse determinato dal vettore (. 4 Altra dimostrazione del Teorema del rango Sia A una matrice m n. Sia R A il sottospazio generato dalle righe di A e sia C A il sottospazio generato dalle colonne di A. Il rango righe di A e ρ R (A = dim(r A e il rango colonne di A e ρ C (A = dim(r A. Ricordo che il Teorema del rango dice ρ R (A = ρ C (A Ecco una dimostrazione in tre passi. Prima di leggere la dimostrazione e conveniente leggere ancora l esempio.. Applicazioni Lineari 7 Geometria

18 Politecnico di Torino. Passo Dimostriamo che ρ C (A = ρ C (à se A e à sono equivalenti per righe. Per dimostrare questo consideriamo le applicazioni lineari f A fã : R n R m. Siccome i sistemi omogenei A.X = e Ã.X = sono equivalenti risulta ker(f A = ker(fã ergo Quindi usando le due formule dim(ker(f A = dim(ker(fã. n = dim(ker(f A + ρ C (A n = dim(ker(fã + ρ C (à risulta ρ C (A = ρ C (Ã. Passo Dimostriamo che ρ C (E = ρ R (E per tutte le matrici Echelon E. Il rango righe ρ R (E = r e il numero di righe non nulle di E. Osservare che il sottospazio generato dalle colonne di E e contenuto nel sottospazio generato dalle prime r colonne canoniche di R m (poiche tutte le righe nulle della matrice E si trovano al disotto la r-esima riga per definizione di matrice Echelon. Quindi ρ C (E r. Ma le r colonne che contengono gli r elementi speciali sono propio le prime r colonne canoniche di R m. Dunque ρ C (E = r = ρ R (E Passo Finalmente dimostriamo il teorema del rango cioe ρ R (A = ρ C (A per qualsiasi matrice A. Sia E la matrice Echelon ottenuta da A via il metodo di Gauss-Jordan. La matrice E e equivalente per righe ad A e dunque del Passo Usando il Passo risulta ρ C (A = ρ C (E. ρ C (A = ρ C (E = ρ R (E. Siccome ρ R (A = ρ R (E risulta quello che vogliamo dimostrare ρ C (A = ρ R (A. QED Applicazioni Lineari 8 Geometria