Applicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base.

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1 pplicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base. Esercizio. Data la seguente applicazione lineare f : R R : f(x, y, z) = (x z, x + y, y + z), scrivere la matrice B, rappresentativa di f rispetto alla base di R = V = W : B = {,, }. L i-esima colonna di B si determina:. trovando f(b i ) (dove b i B);. scrivendolo sulla base B: f(b i ) = j= α j b j.. Dalla definizione di f ricaviamo, matrice rappresentativa di f rispetto alla base canonica: = al fine di calcolare f(b i ) = b i ;. Detta B la matrice che sulle colonne contiene i b i B, la rappresentazione di f(b i ) sulla base B è data dalla soluzione del sistema: b i = B dove il vettore (α, α, α ) è l i-esima colonna di B. Il procedimento va ripetuto tre volte (per i =,, ); in forma compatta si può anche scrivere: da cui la formula: α α α B = B B,, B = B B =

2 = (con beneficio del dubbio sui calcoli nell ultimo passaggio...) Esercizio. L applicazione lineare f : R R è rappresentata, rispetto alla base B = {(, ), (, )} dalla matrice: [ ] B = Trovare la matrice che rappresenta f rispetto alla base canonica. Come nell esercizio precedente, abbiamo: B = B B, dove B contiene i vettori della base B. Da cui si ha: = B B B [ ] [ = [ ] =. ] [ ] Esercizio. Dato l insieme dei tre vettori in R : V = {v, v, v } = {(,, ), (,, ), (,, )}, (a.) dopo aver verificato che sono una base dello spazio, (b.) scrivere la trasformazione del cambiamento di base, cioè quella da applicare a un vettore scritto in base canonica per esprimerlo rispetto alla base dei v i. a. I tre vettori sono una base se sono l.i., quindi se è non singolare la seguente matrice V : det V = det v v v =.

3 b. Sia w = (x, y, z) in base canonica; questo significa che: w = xe + ye + ze = w = I w, mentre w = (x, y, z ) in base V vuol dire: w = x v + y v + z v = w = V w. Volendo rappresentare il medesimo vettore sulle due basi, deve essere w = w, cioè V w = I w. Quindi, note le componenti di w in base canonica, si ottengono quelle in base V dalla relazione: w = V I w = V w = w. 6 La trasformazione cercata sarà f : R R : f(x, y, z) = ( x y + z, x, x + y z). Esercizio. Sia f : R R l applicazione rappresentata dalla matrice = Determinare nucleo e immagine di f. a. nucleo: ker f = {x R x = }, è dato da tutte e sole le soluzioni del sistema omogeneo associato ad. Tra le colonne di vale la relazione C = C + C ; e[ c è almeno] un minore non nullo di ordine, contenuto in C e C (det, o [ ] anche det ), dunque rg =, e possiamo risolvere il sistema tenendo z come variabile indipendente: x = z y = z z R

4 Dunque ker f = {( z, z, z), z R} = L((,, )), e dim ker f =. immagine: dal teorema di nullità + rango sappiamo che dim Imf = =. Dobbiamo individuare due generatori: l immagine è lo spazio generato dalle colonne di : Imf = {w = x = xc + yc + zc }, dunque basta trovare due colonne l.i.; per esempio, possiamo scegliere le prime due: Imf = {x + y } = L(, ). Esercizio. Sia f : R R rappresentata da k = k 6 con k R. k 9 a. Determinare le dimensioni di nucleo e immagine di f al variare del parametro k. b. Determinare una base di Imf al variare del parametro k. a. Dal teorema di nullità + rango sappiamo che dim Imf + dim ker f = = rg + dim ker f. Studiamo il variare di rg: poiché il minore k R, sarà certamente rg. Inoltre rg : sarà pari a se almeno uno dei due orlati del minore non nullo è non singolare: oppure Si ha: det B = det det B = det k k k 6 k 9 det B se k k = k( k), = (k )(k + 6). det B se k 6 k.

5 Se k, almeno uno dei due orlati è non singolare, dunque: dim Imf = rg =, dim ker f = = ; se k =, si annullano entrambi i minori di ordine : dim Imf = rg =, dim ker f = =. b. Sia k =. llora dim Imf = ; una base è data dalle prime due colonne (quelle contenenti il minore non nullo di ordine ): B = {(,, ), (,, )}. Sia k. llora dim Imf = ; una base è data da tre colonne l.i. Distinguiamo i casi: k = : si annulla det B, possiamo usare come base le colonne di B : B = {(,, ), (,, ), (, 6, 9)}. k = 6 : si annulla det B, una base è data dalle colonne di B : B = {(,, ), (,, 6), (, 6, )}. In tutti gli altri casi, si può scegliere indifferentemente B o B : B = {(,, ), (,, k), (, k, )}, o anche B = {(,, ), (,, k), (k, 6, 9)}. Esercizio. Sia f : R R 6 tale che f(a, b) = (a, b, a, a, b, a). a. f è iniettiva ma non suriettiva? b. f è suriettiva ma non iniettiva? c. f è biunivoca? d. Imf = V = L((,,,,, ), (,,,,, ), (,,,,, ))? e. Imf = V = L((,,,,, ), (,,,,, ), (,,,,, ))? 5

6 a. b. c. Per il teorema nullità + rango, la dimensione dell immagine di una trasformazione lineare non può mai superare quella dello spazio di partenza: in questo caso abbiamo dim Imf, mentre dim W = dim R 6 = 6, pertanto la trasformazione è certamente non suriettiva (e conseguentemente non biunivoca). Per quanto riguarda l iniettività, si verifica facilmente che l unico elemento trasformato nello zero di R 6 è il vettore nullo di R : dunque f è iniettiva. d. e. Lo spazio immagine di f è: Imf = {a + b } = L(, ). Verifichiamo se V e/o V coincidono con questo spazio: V = {a + b + c } = { a b c a b c } Imf; mentre V = {a + b + c } = { b + c b + c } = { B B } = Imf (basta porre = e B = b + c.) Esercizio. Data la trasformazione f : R R f(x, y, z) = x + ( + k)y + z x + ( k)y + z x + ( + k)y + z, con k R, per quali valori di k non è iniettiva? Determinare ker f per tali valori. 6

7 Scriviamo la matrice rappresentativa: = + k k + k Perché f non sia iniettiva, si deve avere dim ker f = rg rg rg det =.. Calcoliamo: det = (k + 5) = k = 5. Per questo valore del parametro, la matrice diventa: = 7 Il rango può essere al più pari a ; poiché però ci sono minori di ordine che non si annullano, indipendentemente da k, il rango sarà esattamente : dunque dim ker f = e gli elementi del nucleo sono le soluzioni del sistema omogeneo associato ad, che dipendono da un parametro libero; ad esempio, si ottiene: x R y = x ker f = L( z = 7 x 7 ).. 7