Algebra Lineare Corso di Ingegneria Biomedica Compito del

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1 Algebra Lineare Corso di Ingegneria Biomedica Compito del -- - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche il testo del compito e i fogli di brutta. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle. Esercizio. (6 punti) Trovare le soluzioni complesse del sistema z 5 4 = z z i Esercizio. ( punti) (i) Scrivere l equazione cartesiana della retta r R passante per il punto P = e supplementare in R al piano π = {x x + x = }; (ii) determinare se esiste un applicazione lineare L A : R R tale che ker(l A ) = π e Im(L A ) = r e, in caso affermativo, scrivere la matrice A associata rispetto alla base canonica di R. Esercizio. (6 punti) Studiare al variare di k R la dimensione dell intersezione tra i piani di R π = Span, (non va trovata esplicitamente l intersezione) π = { kx x (k + )x = (k ) } Esercizio 4. ( punti) Date le matrici A = B = (i) verificare che siano entrambe diagonalizzabili e trovare le basi di autovettori; (ii) dire, usando gli autovettori trovati al punto (i) e senza calcolare esplicitamente la matrice, se C = AB BA è iniettiva; (iii) determinare, con qualche calcolo in più ma senza calcolare esplicitamente la matrice, il rango di C.

2 Svolgimento Esercizio Trovare le soluzioni complesse del sistema z 5 4 = z z i Le soluzioni della prima equazione sono le radici quinte di 4, quindi { } z e i π 5 k : k =,,,, 4 La seconda condizione del sistema si traduce nella condizione Quindi le soluzioni del sistema sono d(z, ) d(z, + i) Re(z) + Im(z) z = e z = e i π 5 Esercizio (i) Scrivere l equazione cartesiana della retta r R passante per il punto P = e supplementare in R al piano π = {x x + x = }; Troviamo innanzitutto una base di π, ad esempio π = Span, Una retta r supplementare a π deve essere tale che r = Span(v) con v linearmente indipendente dalla base di π. Se inoltre P r allora si deve avere OP = λv per qualche λ R. Dobbiamo quindi trovare una soluzione di v Span, e v = λ Poiché P π, ponendo v = OP si ha una soluzione. Infatti det = 6 Poniamo quindi r = Span e l equazione cartesiana si trova riducendo a scala la matrice x x x x + x x x

3 da cui si ottiene che r = { x = x + x = (ii) determinare se esiste un applicazione lineare L A : R R tale che ker(l A ) = π e Im(L A ) = r e, in caso affermativo, scrivere la matrice A associata rispetto alla base canonica di R. Il Teorema della Dimensione implica che deve essere verificata la condizione dim(ker(l A )) + dim(im(l A )) = quindi le condizioni imposte a L A non contraddicono il teorema. Per trovare esplicitamente una tale applicazione lineare, usiamo come base di R B =,, Per soddisfare le richieste possiamo definire L A =, L A =, L A = Con questa scelta la matrice A, rispetto alla base canonica, è data da A = dove abbiamo usato e = e = 6 + ;, ed e = + Esercizio Studiare al variare di k R la dimensione dell intersezione tra i piani di R π = Span, π = { kx x (k + )x = (k ) } (non va trovata esplicitamente l intersezione) Troviamo innanzitutto l equazione cartesiana del piano π. Dobbiamo ridurre a scala la matrice x x x x x x x + x x

4 da cui si ottiene che π = {x x x = } Dobbiamo ora studiare la dimensione delle soluzioni del sistema { x x x = kx x (k + )x = (k ) al variare di k R. Indichiamo con S k lo spazio delle soluzioni al variare di k. Scriviamo la matrice completa ( ) A = k (k + ) (k ) Per k = è già ridotta a scala e soddisfa la condizione di compatibilità. Quindi il sistema ha soluzioni e dim S = rango(a) = = Per k, riduciamo la matrice a scala, e troviamo ( ) A S k (k + ) (k ) = (k ) k (k ) da cui si ottiene che per k {, } il sistema è compatibile e dim S k = rango(a) = = Per k =, la seconda riga di S è tutta nulla, quindi il sistema è ancora compatibile, ma Esercizio 4 Date le matrici A = dim S = rango(a) = = B = (i) verificare che siano entrambe diagonalizzabili e trovare le basi di autovettori; Iniziamo con A. Dobbiamo cercare gli autovalori e le loro molteplicità algebriche e geometriche. Scriviamo il polinomio caratteristico di A p A (t) = det(a ti) = (t 6t + t 6) = (t )(t )(t ) Quindi troviamo che gli autovalori sono {,, } con molteplicità algebriche m = m = m =. Poiché in generale, per un autovalore λ vale g λ m λ, ricaviamo che g = g = g = e la matrice A è diagonalizzabile (ogni matrice triangolabile con autovalori distinti è diagonalizzabile). La base C A che rende A diagonale avrà un autovettore relativo all autovalore, dato da (A I)v = = v Span un autovettore relativo all autovalore, dato da (A I)v = = v Span 4

5 e un autovettore relativo all autovalore, dato da (A I)v = = v Span Quindi C A =,, Passiamo ora a B. Scriviamo il polinomio caratteristico di B p B (t) = det(b ti) = (t 5t + 8t 4) = (t )(t ) Quindi troviamo che gli autovalori sono {, } con molteplicità algebriche m = e m =. Per l autovalore, ricaviamo come prima g = m =. Per l autovalore, cerchiamo la molteplicità geometrica scrivendo g = dim ker(b I) = dim ker = Quindi g = m =. Ne risulta che B è diagonalizzabile. La base C B che rende B diagonale avrà un autovettore relativo all autovalore, dato da (B I)v = = v Span e due autovettori relativi all autovalore, dati da (B I)v = = v Span, Quindi C B =,, (ii) dire, usando gli autovettori trovati al punto (i) e senza calcolare esplicitamente la matrice, se C = AB BA è iniettiva; Dobbiamo stabilire se ker(c) contiene un vettore non nullo. Usando le notazioni C A = {v, v, v } e C B = {w, w, w } per le basi di autovettori trovate al punto (i), notiamo che v = w e v = w. Quindi C(v ) = A(B(v )) B(A(v )) = A(v ) B(v ) = v v = dove abbiamo usato che v = w è autovettore sia di A che di B con autovalore. Quindi Allo stesso modo si trova che v ker(c) C(v ) = A(B(v )) B(A(v )) = A(v ) B(v ) = 4v 4v = 5

6 dove abbiamo usato che v = w è autovettore sia di A che di B con autovalore. Quindi v ker(c) Quindi il ker(c) contiene almeno un vettore non nullo, e quindi C non è iniettiva. (iii) determinare, con qualche calcolo in più ma senza calcolare esplicitamente la matrice, il rango di C. Al punto (ii) abbiamo determinato che Span(v, v ) ker(c), quindi essendo v e v linearmente indipendenti, si ha dim(ker(c)) rango(c) = dim(ker(c)) Si tratta quindi di determinare se esiste un vettore v tale che C(v). Usiamo il terzo vettore v di C A che è linearmente indipendente da v e v. Calcoliamo C(v ) = A(B(v )) B(A(v )) = A(B(v )) B(v ) = A(B(v )) B(v ) e questo può essere nullo se e solo se B(v ) è autovettore di A con autovalore. Quindi essendo l autospazio di A relativo all autovalore di dimensione e generato da v, si ha che C(v ) = se e solo se B(v ) = λv, per qualche λ R, ossia, facendo i conti, se e solo se = λ che chiaramente non ha soluzioni. Quindi C(v ) e rango(c) =. 6