ESERCIZIO 1: Vincolo di bilancio lineare

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1 Microeconomia rof. Barigozzi ESERCIZIO 1: Vincolo di bilancio lineare Si immagini un individuo che ha a disosizione un budget di 500 euro e deve decidere come allocare tale budget tra un bene, che ha un costo unitario ari a 50 euro, e un bene, che ha un costo unitario aria 10 euro. a) Si raresenti anche graficamente il vincolo di bilancio dell agente; b) Come si modifica il vincolo di bilancio se lo stanziamento viene ridotto a 300 euro? c) E se con un budget di 300 euro il costo del bene si dimezza? d) E se, risetto alla situazione iniziale, il costo del bene e del bene raddoiassero? e) Si raresenti infine il vincolo di bilancio nel caso in cui, risetto alla situazione iniziale, sia i costi dei due beni che il budget a disosizione dell agente fossero dimezzati. Soluzione a) Il vincolo di bilancio è l insieme delle combinazioni di beni tra cui il consumatore uò scegliere dato il reddito a sua disosizione e i rezzi dei beni in oggetto. Nel nostro caso, tale vincolo di bilancio sarà Raresentiamo graficamente la retta di bilancio, che è il luogo dei unti in cui il vincolo di bilancio vale come uguaglianza (ovvero in cui l individuo sende tutto il reddito a sua disosizione): Tale retta di bilancio uò essere riscritta come I unti sulla retta di bilancio raresentano le combinazioni er cui la sesa è uguale al reddito totale a disosizione, mentre i unti al di sotto della retta di bilancio sono quelli er cui la sesa è inferiore al reddito. 1

2 Microeconomia rof. Barigozzi Le intercette con gli assi raresentano i unti in cui l individuo sende tutto il reddito a disosizione o solo in bene (intercetta con l asse delle ordinate) o solo in bene (intercetta con l asse delle ascisse). Si noti che la endenza del vincolo di bilancio raresenta il raorto tra i rezzi dei due beni e quindi del costo oortunità di un bene in termini dell altro: in articolare in questo caso il costo oortunità del bene è ari a cinque unità del bene. b) Se lo stanziamento viene ridotto a 300 euro, la retta di bilancio diventa: ovvero 30 5 Graficamente il vincolo di bilancio si modifica nel modo seguente: Osserviamo quindi che la retta di bilancio si è sostata in modo arallelo, in quanto non vi è stata una variazione nei rezzi relativi dei due beni (e quindi non si è modificato il costo oortunità dei due beni). E erò diminuito il numero dei anieri ammissibili a seguito della diminuzione del reddito. c) Se, artendo dalla situazione del unto b), vi è un dimezzamento del costo di, il nuovo vincolo di bilancio diviene: ovvero Graficamente il vincolo di bilancio si modifica nel modo seguente 2

3 Microeconomia rof. Barigozzi Ciò che si è modificato quindi è la endenza del vincolo di bilancio, ovvero il costo oortunità del bene in termini di bene : ora rinunciando ad una unità di si ossono ottenere 2,5 unità di. Quindi il costo oortunità di si è dimezzato. d) Se risetto alla situazione iniziale con un budget di 500 euro i costi di ed raddoiassero, la nuova retta di bilancio sarebbe ovvero 25 5 Graficamente il vincolo di bilancio si modifica nel modo seguente: Un aumento di entrambi i rezzi ha quindi un effetto simile a quello di una riduzione del reddito disonibile: non si modificano i rezzi relativi dei due beni ma avviene una traslazione della retta di bilancio in modo arallelo verso il basso (diminuiscono i anieri ammissibili). 3

4 Microeconomia rof. Barigozzi e) Una riduzione di rezzi e reddito della stessa misura non ha effetti sul vincolo di bilancio, infatti la nuova retta di bilancio diventa: ovvero 50 5 che è la stessa equazione ottenuta nel caso iniziale. ESERCIZIO 2: scelta del consumatore Siano 20 e 40 i rezzi unitari di mercato di due beni le cui quantità sono indicate con e. Il reddito R di cui disone il consumatore è ari a 5000 a) Si tracci graficamente il vincolo di bilancio del consumatore e si indichi il valore dell intercetta e del coefficiente angolare. Si indichi, inoltre, qual è l insieme delle ossibilità di consumo. b) Si indichi come si modifica il vincolo nel caso in cui 30; c) Cosa succede nel caso in cui i rezzi dei due beni raddoiano? E se il reddito si dimezza? Consideriamo ora un consumatore, soggetto al vincolo di bilancio individuato al unto a), le cui referenza sono raresentate dalla seguente funzione di utilità: U(,) d) si determini analiticamente la scelta ottimale dell individuo; e) si raresenti graficamente il roblema. Soluzione La generica equazione della retta di bilancio è + R nel caso considerato si avrà erciò: Per raresentare graficamente il vincolo è necessario trovare, innanzitutto, i unti di intersezione con gli assi cartesiani, sui quali sono raresentate le quantità dei beni e. Porremo a sistema il vincolo di bilancio, risettivamente, con l equazione 0 e 0 e otterremo le coordinate delle intercette: (0;125) e (250;0). I valori trovati di e ci indicano le quantità di tali beni che verrebbero acquistate nel caso in cui il consumatore decidesse di destinare l intero reddito solo ad uno dei due beni. 4

5 Microeconomia rof. Barigozzi Il coefficiente angolare si evidenzia eslicitando il vincolo risetto ad una delle due variabili, er esemio risetto ad : Si uò vedere come l inclinazione della retta sia uguale a - e sia ari al raorto tra i rezzi dei 2 due beni. Tale raorto ci indica in che misura è ossibile scambiare un bene con l altro, dati i rezzi di mercato. a) Se si modifica il rezzo del bene, assando da 40 a 30, si avrà un nuovo vincolo di bilancio, a cui corrisonderà una nuova intercetta risetto all asse. 500 Nel caso secifico le nuove intercette saranno: (250;0) e (0; ) 3 Si uò quindi osservare che, essendosi modificati i rezzi relativi, è cambiata l inclinazione del vincolo di bilancio, che è ari a Questo comorta che ora è mutata la roorzione con la quale una unità di un bene uò essere scambiata con una certa quantità dell altro bene. c) Se il rezzo di entrambi i beni raddoia avremo il seguente vincolo di bilancio: la cui inclinazione è 2 1 e le cui intercette risultano essere (0;62,5) e (125;0). Si uò quindi notare che la retta di bilancio si è sostata arallelamente risetto alla situazione iniziale, senza che siano stati modificati i rezzi relativi, in quanto entrambi i rezzi sono aumentati nella stessa misura. La roorzione in cui ora i due beni ossono essere sostituiti è la stessa; in questa nuova situazione, di fatto, si è modificato il otere di acquisto del consumatore. Nel caso in cui il reddito si dimezzi avremo: la cui inclinazione è semre e le cui intercette sono (0;62,5) e (125;0). E interessante notare che si ottiene lo stesso risultato che nel caso recedente. Questo avviene erché un raddoiamento dei rezzi dei beni, fermo restando il livello del reddito, rovoca una diminuzione del otere d acquisto che genera gli stessi effetti di una diminuzione del reddito disonibile, che si dimezza risetto al recedente ammontare. 5

6 Microeconomia rof. Barigozzi d) Per determinare la scelta ottimale dell individuo è necessario uguagliare il Saggio Marginale di Sostituzione (SMS) al raorto dei rezzi ed intersecare la soluzione con il vincolo di bilancio. Data una generica funzione di utilità, il saggio marginale di sostituzione tra due beni e raresenta il costo oortunità del bene in termini del bene (costo oortunità che non è determinato dalle condizioni di mercato ma è imlicito nella struttura delle referenze del consumatore). Analiticamente esso indica la disonibilità a sostituire fra loro i due beni ed è uguale, in valore assoluto, al raorto fra le utilità marginali. In questo caso il saggio marginale di sostituzione è SMS, La endenza del vincolo di bilancio è data dal raorto dei rezzi di due beni, in questo caso: La scelta ottimale del consumatore si ha in corrisondenza del unto di tangenza fra il vincolo di bilancio e la curva di indifferenza iù lontana dall origine degli assi (quella corrisondente al livello di utilità iù alta ossibile): in tale unto la endenza della curva di indifferenza (data dal SMS) e la endenza del vincolo di bilancio sono uguali. Analiticamente si richiede che: SMS, Nel caso secifico, dunque, avremo 2 4 Come si uò notare, la condizione di ottimo diende dalle referenze dell individuo e dai rezzi di mercato, ma non individua un aniere secifico. Perché questo avvenga, infatti, è necessario considerare il vincolo di bilancio che abbiamo recedentemente secificato. Tecnicamente, questo significa risolvere il seguente sistema (che ci ermette di considerare contemoraneamente la condizione di ottimo con il vincolo di bilancio): 6

7 Microeconomia rof. Barigozzi Risolviamo il sistema, er esemio, isolando nella rima equazione, 2 1, e sostituendola nella seconda. Si ottiene così ( 2 1 ) 5000, da cui * 125 e, er sostituzione, * 65,5 La figura sottostante dà una raresentazione grafica del roblema. Si osservi che il vincolo di bilancio interseca l asse delle in corrisondenza del valore 125: questo è, infatti, il massimo numero di unità di bene che il consumatore uò acquistare con il rorio reddito. Analogamente, se tutto il reddito (ari a 5000) fosse imiegato er acquistare il bene, il cui costo è ari a 20, il consumatore otrebbe consumarne fino a 250 unità Ciascuna delle curve di indifferenza disegnate corrisonde alle combinazione di due beni cui è associata la medesima utilità: tanto iù elevata è la curva di indifferenza, tanto maggiore il livello di utilità associato. Tra i unti aartenenti al vincolo di bilancio (e erciò accessibili al consumatore) quello di utilità iù elevata corrisonde al unto in cui il vincolo di bilancio è tangente ad una delle curve di indifferenza, U ( 125, 62,5) 7812,5 7

8 Microeconomia rof. Barigozzi ESERCIZIO 3: Confronto tra anieri Un consumatore ha referenze raresentate dalla seguente funzione di utilità: U(,) 3 1. Determinare l'equilibrio se i rezzi dei beni sono 2, 3 ed il reddito monetario del consumatore, R, è Il consumatore referirebbe un reddito maggiorato di un terzo oure che si dimezzasse il rezzo del bene? Soluzione 1) Innanzi tutto è necessario determinare il vincolo di bilancio del consumatore, che ci indica l'insieme dei aniere accessibili all'agente. R Successivamente, er determinare la scelta ottima del consumatore, è necessario uguagliare il saggio marginale di sostituzione ( SMS, 3 ) ed il raorto fra i rezzi dei beni. Avremo quindi SMS, Dalla recedente equazione si ottiene 9 2. Tale relazione riflette l'ottimalità della scelta del consumatore - che deve risettare simultaneamente le rorie referenze e le regole del mercato (raresentate dai rezzi relativi) - e deve essere inserita nel vincolo di bilancio dell'agente. Avremo quindi da cui si ottiene il aniere di equilibrio, E, raresentato da * 2 9 * 1 8

9 Microeconomia rof. Barigozzi 2) Distinguiamo i due scenari e chiamiamo scenario A quello caratterizzato da reddito maggiorato di un terzo e scenario B quello caratterizzato dal rezzo dimezzato di. Il consumatore referirà lo scenario che gli ermetterà, nel unto di ottimo, di ottenere un'utilità maggiore. Consideriamo A e cerchiamo la scelta ottima associata al nuovo reddito R' R+ 3 1 R 16 Poichè nello scenario A non cambiano nè referenze nè rezzi, ossiamo rifarci al caso recedente, 2 in cui SMS, era uguale a 3, ed inserire tale relazione nel nuovo vincolo di bilancio Il nuovo aniere ottimale E A è caratterizzato da A 6 4 A 3 al quale è associata un'utilità ari a U( A, A) 288 Nel caso B la scelta del consumatore dovrà aggiornarsi relativamente al nuovo rezzo di : ' 1 2 Questa volta la variazione modificherà anche la condizione di ottimo (in quanto il raorto fra i rezzi si modifica), che diventerà Procedendo semre nello stesso modo si ottiene il nuovo equilibrio E B a cui è associata un'utilità ari a U( B, B ) 729 B 9 B 1 Poichè il secondo aniere ottimo dà un'utilità maggiore di quello dato da A, il consumatore sceglierà la diminuzione del rezzo. 9

10 Microeconomia rof. Barigozzi ESERCIZIO 4: Scelte di consumo Un consumatore ha a disosizione un reddito ari a R 320 e le sue referenze sono descritte dalla funzione di utilità U (, ). a) Determinare l equazione delle curve di indifferenza b) Determinare il aniere di consumo ottimale in corrisondenza dei rezzi 2 e 5. c) Si suonga che il rezzo diminuisca, così che ora rezzo? 4. A quanto ammonta l effetto Soluzione a) La curva di indifferenza raresenta l insieme delle combinazioni di e che danno al consumatore lo stesso livello di utilità u. Essendo la funzione di utilità in oggetto U (, ) ossiamo determinare l equazione della generica curva di indifferenza in questo modo: u b) Per determinare l ottimo del consumatore occorre risolvere il sistema al interno del quale sono resenti la condizione di ottimo del consumatore (SMS, Innanzi tutto calcoliamo il valore del SMS, SMS ' U, ' U ) ed il suo vincolo di bilancio. Il vincolo di bilancio è uguale a Possiamo ora imostare il sistema che ci ermette di ricavare l ottimo del consumatore

11 Microeconomia rof. Barigozzi Dalla rima equazione otteniamo 2 che, sostituito nel vincolo di bilancio, ci ermette di 5 ottenere il valore ottimo del bene, cioè * 80. Sostituendo tale valore nella rima equazione otteniamo * 32 Quindi il aniere ottimo del consumatore (unto E) è dato da (80,32) Osserviamo che la funzione di utilità è di tio Cobb-Douglas, cioè U (, ) α β Tale funzione gode di alcune rorietà, in articolare il saggio marginale di sostituzione è dato da U α SMS, U β dove α e β raresentano i esi relativi che il consumatore attribuisce a ciascuno dei due beni (iù alto α, maggiore è il eso attribuito al bene ). Si noti inoltre che il saggio marginale di sostituzione è funzione delle quantità dei due beni, quindi non è in generale costante. c) Se il rezzo del bene assa da 5 a 4, il nuovo ottimo del consumatore si ricava dalla soluzione del sistema U 2 U Dal quale si ricava che è il nuovo unto di equilibrio E. * 80 * 40 L effetto rezzo, cioè l effetto totale della variazione del rezzo di sulla quantità domandata dei due beni è risettivamente: Δ Δ Δ Δ * * 0 * * 8 < 0 11

12 Microeconomia rof. Barigozzi Quindi l effetto rezzo è nullo er il bene : al variare del rezzo di il consumo di non cambia (BENI INDIPENDENTI). Questa è un altra rorietà che discende dal fatto che la funzione di utilità è di tio Cobb-Douglas. Per il bene invece l effetto è negativo: al diminuire del rezzo, la quantità domandata di aumenta. Tale bene risetta quindi la legge di domanda. Si noti la relazione esistente: 1) tra la variazione del rezzo di sulla variazione della quantità domandata del bene e l elasticità incrociata della domanda del bene risetto al rezzo del bene : E Δ Δ 2) tra la variazione del rezzo di sulla variazione della quantità domandata del bene e l elasticità della domanda del bene risetto al suo rezzo: Δ E Δ 12