Cinematica grafica C.R P 2

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1 inematica grafica ome già evidenziato in recedenza, in alternativa alla formulazione analitica e limitatamente ai roblemi iani, è ossibile dare del roblema cinematico una formulazione grafica, che in qualche caso risulta iù agevole e sintetica. Poiché ogni sostamento rigido iano è una rotazione intorno al centro di rotazione, la conoscenza del centro istantaneo di rotazione è di fondamentale imortanza. Infatti, la generica configurazione di un sistema di cori rigidi è nota non aena si conoscono le osizioni dei centri e le amiezze degli angoli di rotazione di ogni coro. Dato un coro rigido iano se si considerano due generici unti e di cui sono note le direzioni dei risettivi sostamenti (rette e ), er l iotesi di sostamenti infinitesimi tracciando er la normale alla retta e er la normale alla retta si ottiene il entro di rotazione. nell incontro delle due normali. Tale centro uò aartenere al coro, essere esterno al coro, oure coincidere con il unto imrorio delle due normali. Nell ultimo caso le rette e sono arallele, così come e. Nell ambito degli sostamenti infinitesimi risulta quindi evidente che il. uò essere interretato come il unto attorno al quale una rotazione genera gli sostamenti dei unti e nelle direzioni delle rette ortogonali alle congiungenti i unti stessi con il centro di rotazione. Nel caso in cui il. coincide con il unto imrorio, lo sostamento che si ottiene è una traslazione. Qualsiasi sostamento rigido è quindi riconducibile ad un unica rotazione attorno al centro istantaneo di rotazione. Nel caso di sostamento rototraslatorio, il centro del moto rotatorio non coincide con il centro istantaneo di rotazione., mentre nel caso di rotazione ura tali unti sono coincidenti. 1

2 onoscendo le comonenti s Px e s Py dello sostamento s P di un generico unto P(x P ; y P ) e il centro istantaneo di rotazione.(x R ; y R ), si ossono derivare le comonenti dello sostamento di un unto qualsiasi del coro. Proiettando infatti il. nelle direzioni orizzontale e verticale si determinano i unti Rx e Ry. Essendo le comonenti dello sostamento roorzionali a, i diagrammi delle comonenti dello sostamento di tutti i unti del coro sono individuate dalle rette inclinate dell angolo risetto agli assi x e y. D s P*x s P*y s Dx y s P* P* s P*x R R y s Py P s Px s P s Px Diagramma sostamenti orizzontali (secondo asse x) B + s Bx + s y s y R x s P*y s Py x Diagramma sostamenti verticali (secondo asse y) R è il centro istantaneo di rotazione del coro;, B,, D sono i unti estremi del contorno del coro. s Px = (y R y P ) s Py = (x R x P ) e rette risultano determinate dal unto di nullo definito dai unti R x e R y e dai valore s Px e s Py corrisondenti alle comonenti dello sostamento del unto P secondo gli assi x e y. Dai diagrammi si evince che: 1. Gli sostamenti verticali sono uguali er tutti i unti che hanno la stessa ascissa. 2. Gli sostamenti orizzontali sono gli stessi er tutti i unti che hanno uguale ordinata. irca la determinazione dei centri di rotazione di sistemi articolati di cori rigidi è di grande utilità la nozione di centro di rotazione relativa ij tra due cori. Per il centro relativo tra due cori vale la seguente rorietà: il centro relativo ij ed i due centri assoluti di rotazione, i e j, di due cori rigidi sono allineati. Il centro relativo è determinato unicamente dai vincoli che collegano i due cori in esame e non da quelli che collegano i due cori ad altri cori o al suolo. osì il centro relativo è univocamente determinato se i due cori sono collegati da una cerniera o da un glifo e deve aartenere ad una retta se i due cori sono collegati da una biella. ij ij ij r r 2

3 Riguardo le informazioni che i vincoli esterni danno sul centro di rotazione assoluto del coro (o dei cori) cui sono alicati vale quanto osservato in recedenza er i vincoli interni ove uno dei due cori venga riguardato come il suolo. osì il centro assoluto è determinato se il coro è collegato al suolo da una cerniera (coincide con la cerniera) o da un glifo (si trova sul unto imrorio dell asse del glifo), mentre deve aartenere ad una retta (asse del carrello o della biella) se è collegato al suolo da un carrello (o biella). r r Se il cinematismo ossiede un solo grado di libertà, la classe di configurazioni cinematicamente ammissibili è una sola e tale cinematismo rende comunemente il nome di catena cinematica. a configurazione variata uò essere trovata sfruttando le rorietà dei centri di rotazione. Esemio: Si consideri il seguente sistema articolato di cori rigidi soggetto ad un cedimento vincolare nel unto ari a. I centri di rotazione sono tre, uno del coro BD (coro 1), uno del coro DEF (coro 2) ed un centro relativo tra i due cori. Il centro relativo corrisonde alla cerniera interna (unto D). Il centro di rotazione assoluto del coro DEF si trova in F, essendo questo una cerniera fissa. Per determinare il centro di rotazione del coro BD (coro 1) si farà ricorso alle rorietà cinematiche del carrello in e alla relazione esistente tra centri di rotazione assoluta e centro di rotazione relativa tra due cori. Il carrello in, avendo subito un cedimento non fronsice nessuna informazione sulla osizione del centro di rotazione assoluta del coro 1. Innanzitutto si uò affermare che il centro di rotazione assoluta del coro 1 si troverà sull asse del carrello in, ovvero sulla retta erendicolare alla direzione di sostamento consentito dal carrello stesso, in accordo all iotesi di sostamenti infinitesimi. B D E /2 F 1 2 /2 3

4 Inoltre i centri di rotazione assoluta dei due cori ed il centro di rotazione relativo dovranno essere allineati. Per cui il centro di rotazione del coro 1 dovrà trovarsi sulla retta assante er 2 F e D (centro relativo). Dovendo inoltre trovarsi sull asse del carrello in, il centro di rotazione del coro 1 ( 1 ) si collocherà nel unto F. e comonenti dello sostamento di un generico unto P i di coordinate (x i, y i ) nel riferimento xy sono fornite dalle seguenti esressioni: s ix = - ϑy i s iy = ϑx i dalle quali è ossibile individuare l angolo ϑ in funzione degli sostamenti noti del sistema. In questo caso è noto lo sostamento orizzontale in, er cui so ottiene dalla rima delle due relazioni: ϑ1 = == ϑ2 2 Noto l angolo ϑ 1 = ϑ 2 è ossibile determinare gli sostamenti di tutti i unti del sistema. Valori assoluti degli sostamenti s x = s y = s = 2 s Bx = s By =/2 s B = 2 5 s x = s y =0 s = s Dx =/2 s Dy =/2 s D = 2 2 s Ex =/2 s Ey =0 s E =/2 Si noti che lo sostamento orizzontale del unto, del unto B e del unto sono uguali in quanto hanno la stessa ordinata, analogamente tutti i unti con uguale ascissa subiscono lo stesso sostamento verticale. Noti le comonenti orizzontali e verticali degli sostamenti dei unti e, e la osizione dei centri di rotazione è ossibile tracciare il diagramma delle comonenti di sostamento di tutti i unti ricordando che gli sostamenti verticali devono variare linearmente con l ascissa x e che gli sostamenti orizzontali devono variare linearmente con l ordinata y (s ix = - ϑy i e s iy = ϑx i ). Proiettando il centro di rotazione e lo sostamento orizzontale del unto su una retta verticale si ottengono le comonenti orizzontali di sostamento indicati in figura. Si uò così ricavare immediatamente l angolo di rotazione. nalogamente roiettando il centro di rotazione e lo sostamento verticale del unto su una retta orizzontale si ottiene il diagramma degli sostamenti verticali indicato in figura. Una volta noti gli sostamenti dei cori si uò determinare la configurazione variata del sistema articolato di cori rigidi. Si noti che gli angoli formati dall asta B e l asta BD, e dall asta DE e l asta DF devono rimanere retti. 4

5 ESERIZIO 1 on riferimento alla Fig. 1, assegnata la rotazione antioraria : a) determinare la osizione dei centri istantanei di rotazione; b) determinare i diagrammi delle comonenti orizzontali e verticali degli sostamenti; c) calcolare la rotazione di ciascun coro; d) determinare gli sostamenti dei unti, B,, D, E e) disegnare la nuova configurazione del sistema. E B D Fig. 1 Soluzione E 1 2 B D 2 5