Parabola ************************* La curva chiamata PARABOLA si rappresenta con la seguente funzione matematica (1)

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Renato Chiari
7 anni fa
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1 ttività di recupero conoscenze di ase) araola Oiettivi Saper riconoscere la funzione che esprime la conica. Saper tracciare il grafico di una paraola. Saper determinare gli elementi caratterizzanti una paraola. Saper individuare la posizione di una retta rispetto ad una paraola. Sapere individuare l equazione della retta tangente ad una paraola. rerequisiti Risoluzione di sistemi. Risoluzione di equazione di secondo grado. Simmetria rispetto ad una retta. Elementi di ase del piano cartesiano punti e rette ). Formula dell equazione della retta passante per un punto. ************************* La curva chiamata ROL si rappresenta con la seguente funzione matematica y + 1) Osserva a) l equazione è di primo grado rispetto a y ) l equazione è di secondo grado rispetto a a non DEE mai annullarsi, altrimenti la funzione esprime una retta) Ricavare y e riconoscere le equazioni di una paraola: y y + = y + + y + ) y = + 4 y

2 Il grafico di una paraola ha questo andamento Concavità verso l alto a>0 è il vertice Concavità verso il asso a<0 è il vertice Un punto particolarmente importante è il vertice che divide la paraola in due parti simmetriche ed è il punto con ordinata minore minimo) per la prima paraola e con ordinata maggiore massimo) per la seconda paraola. er trovare le coordinate del vertice si può utilizzare la seguente formula: = a y si ottiene sostituendo nell equazione 1) Completare lo schema a c y y = 3 y = + 3 y = Il vertice è un solo elemento e non è sufficiente per poter tracciare la curva, infatti ci sono infinite paraole aventi uno stesso vertice. Ci servono altri punti che possono essere calcolati intersecando la paraola con gli assi cartesiani:

3 con l asse y + c è sempre un punto soluzione 0,c) e con l asse y + da cui a + che come è noto con > 0 ha due soluzioni due punti su asse con ha una soluzione un punto su asse con < 0 non ha soluzione non ha punti su asse Trovare il vertice e le intersezioni con asse y ed asse e tracciare il grafico delle seguenti paraole y = 1 4 y = 6 +1 vertice intersezioni con asse y intersezioni con asse + + y y y = TTENZIONE Il metodo visto non è sufficiente per tracciare la paraola di equazione y = + 4 perché fornisce un solo punto il vertice), occorre quindi individuare altri punti: assegnare un valore a scelta alla, per esempio =, e cercare la corrispondente ordinata sostituendo tale valore nell equazione della paraola) e ripetere l operazione con un ulteriore valore di a scelta per esempio = -3. In questo modo si troveranno tre punti della paraola e la si potrà tracciare. Esistono altri elementi importanti e fondamentali che concorrono a definire in modo univoco una paraola, questi elementi sono un punto chiamato FUOCO ed una retta chiamata DIRETTRICE. La paraola NON passa per il fuoco e NON tocca la direttrice, ma è costituita da punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice: l espressione matematica di questa proprietà ci permette di pervenire alla forma canonica inizialmente indicata con 1).

4 Le coordinate del fuoco sono F = e a N.. il fuoco ha la stessa ascissa del vertice. 1 y F = L equazione della direttrice è y 1+ = retta parallela all asse ) N.. la direttrice è perpendicolare alla retta F di equazione all asse y) che è l asse della paraola. a = retta parallela Delle paraole sopra riportate individuare il fuoco, la direttrice e l asse e riportare tali elementi sui grafici corrispondenti. Se scamio con y la paraola camia orientamento e diventa ad asse orizzontale a>0 concavità verso destra, con a<0 concavità verso sinistra) L equazione è: = ay + y. Le coordinate del vertice sono ) y y = a, : è ottenuto sostituendo nell equazione della paraola y. L equazione dell asse è y a = retta parallela all asse ). Le coordinate del fuoco sono F, y F ) con 1 F = e y F =. a L equazione della direttrice è 1+ = retta parallela all asse y). Individuare vertice, asse, fuoco, direttrice e grafico delle seguenti paraole. = y 9 = y + 5y 6 = y 8 6 = y + 4y

5 osizioni reciproche tra retta e paraola: > 0 due soluzioni retta sec ante paraola eq. di secondo grado: retta una soluzione retta tan gente < 0 zero soluzioni retta esterna Stailire con i calcoli la posizione della retta rispetto alla paraola sotto indicata: 1) y = + ; ) y = y = + 3 y 3 ; 3) ; 4) y = = y y + 3 y = y = + 4 Il caso più significativo è quello del, cioè della tangenza, perché permette di determinare l equazione di una retta tangente ad una paraola. ESEMIO Determinare l equazione della retta passante per l origine tangente alla paraola di equazione y = = y = m m = m + ) + ) 4 = m m + 4m m 0 m = 4 1 = e si ottengono le due rette y y = 4

6 Determinare le rette se esistono) passanti per i punti indicati e tangenti alle paraole associate : 0, y ) y y = m ) formula da ricordare) ,1) retta per 1 = m 0) y da cui y = m paraola y = +,0) y = + 4 3, y = Determinazione dell equazione della paraola Finora l equazione della paraola era nota, talvolta è da determinare, cioè occorre individuare i valori di a,,c dell equazione. Sono necessarie tre condizioni perché tre sono le incognite. ediamo due casi in particolare: a) la paraola, con asse parallelo all asse y, passa per tre punti dati, y ),, y ), C C, y ) per esempio 1,1), -,0), C0,1)) : C si determinano tre equazioni in a,,c sostituendo le coordinate dei vari punti nell equazione generica della paraola y + y y C C cioè 1 = a 0 = a 1 = a ) + ) + ) + ) 0) + 0) c 1 1 y e la corrispondente paraola è = + 1 la soluzione è 1 a = 6 1 = 6 c = 1 : Determinare le equazioni delle paraole con asse parallelo all asse y passanti per i punti : 1) 1,0) 4,3) C0,3); ) 0,-1) 1,) C-,5); 3) 1,0) 3,10) C0,-).

7 ) la paraola, con asse parallelo all asse y, ha vertice noto, y ) e passa per un altro punto dato, y ) per esempio 1/3,/3) e 0,1)) : si considera la formula dell ascissa del vertice -/a) e si ottiene un equazione, le altre due si ricavano sostituendo le coordinate di e di come già visto al punto a). y y = a + + cioè 1 = 3 a 1 = a = a 0) + 0) la soluzione è a = 3 = c = 1 e la corrispondente paraola è = 3 y. : Determinare le equazioni delle paraole con asse parallelo all asse y di vertice e passanti per : 7 1) 1, 8 1 ) 3, ), 4 0,3) ; 0,) ; 1, 1).

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