Soluzioni foglio 6. Pietro Mercuri. 24 ottobre 2018

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Elisabetta Mosca
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1 Soluzioni foglio 6 Pietro Mercuri 4 ottobre 018 Esercizio 1 Dati i punti A, B e P nel piano cartesiano (indicato anche con R ) si determini l equazione della retta r passante per i punti A e B, si verifichi se P r oppure no, si trovino le equazioni delle rette s e t passanti per P tali che s sia parallela ad r e t sia perpendicolare a r Infine disegnare sul piano cartesiano i punti dati e le rette trovate 1 A = (1, 1), B = ( 1, ), P = (0, 0); A = (0, ), B = (, 5), P = (1, 1); A = (, ), B = ( 1, ), P = ( 1, ); 4 A = (1, ), B = (5, ), P = ( 1, 0) Soluzione esercizio 1 Si ricordi che l equazione generica della retta nel piano cartesiano (con esclusione delle rette verticali che hanno equazione x = h, con h R) è y = mx + q, con m, q R, dove m è detto coefficiente angolare della retta ed è legato all angolo che la retta forma con l asse delle ascisse (se si indica tale angolo con α la relazione tra m e α è m = tan α, dove tan è la tangente goniometrica), mentre q è detto intercetta ed è l ordinata del punto di intersezione della retta con l asse delle ordinate La precedente equazione è anche detta equazione della retta in forma esplicita e due rette coincidono se e solo se hanno equazioni in forma espicita uguali, cioè se le due rette hanno equazioni y = mx + q e y = m x + q rispettivamente, esse sono uguali se e solo se m = m e q = q Due rette sono parallele se hanno uguali i coefficienti angolari Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei coefficienti angolari è uguale a 1 Si ricordi infine che per due punti passa una e una sola retta 1 Sostituiamo le coordinate dei punti A = (1, 1) e B = ( 1, ) nell equazione generica della retta (che sappiamo non essere verticale in quanto i 1

2 due punti hanno ascissa diversa) ottenendo un sistema di due equazioni e due incognite: m r e q r Risolviamo dunqua il seguente sistema 1 = 1 mr + q r = 1 m r + q r mr = 1 q r = Quindi l equazione della retta r passante per A e B è y = 1 x + Per verificare se P = (0, 0) (l origine degli assi) appartiene a r oppure no è sufficiente sostituire le coordinate di P nell equazione della retta e vedere se l uguaglianza risultante è vera o falsa Poiché 0 = =, si ha che l uguaglianza ottenuta è falsa e quindi P / r Per trovare l equazione della retta s passante per P e parallela a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m s = m r = 1 e ms = 1 Quindi l equazione della retta s è 0 = 0 m s + q s ms = 1 q s = 0 y = 1 x Per trovare l equazione della retta t passante per P e perpendicolare a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m t = 1 m r = e mt = Quindi l equazione della retta t è 0 = 0 m t + q t mt = q t = 0 y = x

3 Sostituiamo le coordinate dei punti A = (0, ) e B = (, 5) nell equazione generica della retta (che sappiamo non essere verticale in quanto i due punti hanno ascissa diversa) ottenendo un sistema di due equazioni e due incognite: m r e q r Risolviamo dunqua il seguente sistema = 0 mr + q r 5 = m r + q r mr = q r = Quindi l equazione della retta r passante per A e B è y = x Per verificare se P = (1, 1) appartiene a r oppure no è sufficiente sostituire le coordinate di P nell equazione della retta e vedere se l uguaglianza risultante è vera o falsa Poiché 1 = 1 1 = 1, si ha che l uguaglianza ottenuta è falsa e quindi P / r Per trovare l equazione della retta s passante per P e parallela a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m s = m r = e ms = Quindi l equazione della retta s è 1 = 1 m s + q s ms = q s = 10 y = x + 10 Per trovare l equazione della retta t passante per P e perpendicolare a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m t = 1 m r = e mt = 1 = 1 m t + q t mt = q t = 4

4 Quindi l equazione della retta t è y = x + 4 Sostituiamo le coordinate dei punti A = ( ) e B = ( 1, ) nell equazione generica della retta (che sappiamo non essere verticale in quanto i due punti hanno ascissa diversa) ottenendo un sistema di due equazioni e due incognite: m r e q r Risolviamo dunqua il seguente sistema = m r + q r = 1 m r + q r m r = 4+ + = q r = 1, Quindi l equazione della retta r passante per A e B è y = ( )x + 1 Per verificare se P = ( 1, ) appartiene a r oppure no è sufficiente sostituire le coordinate di P nell equazione della retta e vedere se l uguaglianza risultante è vera o falsa Poiché = ( ) =, si ha che l uguaglianza ottenuta è vera e quindi P r Per trovare l equazione della retta s passante per P e parallela a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m s = m r = e m s = = 1 m s + q s ms = q s = 1 Quindi l equazione della retta s è Cioè r e s coincidono y = ( )x + 1 4

5 Per trovare l equazione della retta t passante per P e perpendicolare a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m t = 1 m r = + e imporre che la retta passi per P (cioè sostituire le coordinate del punto m t = + = 1 m t + q t m t = + q t = 1+5 Quindi l equazione della retta t è y = + x Sostituiamo le coordinate dei punti A = (1, ) e B = (5, ) nell equazione generica della retta (che sappiamo non essere verticale in quanto i due punti hanno ascissa diversa) ottenendo un sistema di due equazioni e due incognite: m r e q r Risolviamo dunqua il seguente sistema = 1 mr + q r = 5 m r + q r mr = 0 q r = Quindi l equazione della retta r passante per A e B è y = Per verificare se P = ( 1, 0) appartiene a r oppure no è sufficiente sostituire le coordinate di P nell equazione della retta e vedere se l uguaglianza risultante è vera o falsa Poiché 0 =, si ha che l uguaglianza ottenuta è falsa e quindi P / r Per trovare l equazione della retta s passante per P e parallela a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m s = m r = 0 e imporre che la retta passi per P (cioè sostituire le coordinate del punto P nell equazione generica della retta), ottenendo il sistema ms = 0 0 = 1 m s + q s ms = 0 q s = 0 5

6 Quindi l equazione della retta s è y = 0 Cioè s coincide con l asse delle ascisse Per trovare l equazione della retta t passante per P e perpendicolare a r è sufficiente osservare che la retta r è orizzontale, quindi t è verticale (quindi ha equazione x = h) e imporre che la retta passi per P (cioè sostituire le coordinate del punto P nell equazione generica delle rette verticali), ottenendo Quindi l equazione della retta t è 1 = h x = 1 Esercizio Date le seguenti funzioni studiarne il dominio, il segno e le intersezioni con gli assi (se ci sono) 1 f(x) = log(x 1); ( ) f(x) = log x x+1 ; f(x) = e x ; 4 f(x) = ex e x ; 5 f(x) = e x ; 6 f(x) = 1 4 log x ; f(x) = log(log(x)) 1 Soluzione esercizio 1 Il dominio è D f = (, 1) (1, + ), f(x) > 0 per x < x >, f(x) = 0 per x = ± (intersezioni con asse x), f(x) < 0 per < x <, non esiste intersezione con asse y poiché 0 / D f 6

7 Il dominio è D f = ( 1, ), f(x) > 0 per 1 < x < 1, f(x) = 0 per x = 1 (intersezione con asse x), f(x) < 0 per 1 < x <, l intersezione con l asse y è f(0) = log 0, 69 Il dominio è D f = (, ) (, + ), f(x) > 0 per ogni x D f, f(x) = 0 mai (non ci sono intersezioni con asse x), f(x) < 0 mai, l intersezione con l asse y è f(0) = e, 18 4 Il dominio è D f = (, + ), f(x) > 0 mai, f(x) = 0 mai (non ci sono intersezioni con asse x), f(x) < 0 per ogni x D f, l intersezione con l asse y è f(0) =

8 5 Il dominio è D f = (log, + ), f(x) > 0 per ogni x D f, f(x) = 0 mai (non ci sono intersezioni con asse x), f(x) < 0 mai, non esiste intersezione con asse y poiché 0 / D f 6 Il dominio è D f = (0, e 4 ) (e 4, + ), f(x) > 0 per 0 < x < e, f(x) = 0 mai (non ci sono intersezioni con asse x), f(x) < 0 per x > e 4, non esiste intersezione con asse y poiché 0 / D f Il dominio è D f = (1, + ), f(x) > 0 per x > e e, f(x) = 0 per x = e e f(x) < 0 per 1 < x < e e, (intersezioni con asse x), non esiste intersezione con asse y poiché 0 / D f 8

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