Schede di e-tutoring sulla geometria analitica

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1 Schede di e-tutoring sulla geometria analitica 9 aprile 2012 Una retta ha equazione esplicita y = mx + n e in questo caso dalla fisica sappiamo che m fornisce il grado di pendenza della retta e si chiama coefficiente angolare e n é l ordinata del punto in cui la retta passa per l asse y e si chiama intercetta. Consideriamo una retta r del piano : l insieme delle rette parallele ad r si chiama fascio impoprio di rette parallele ad r Esempio 1 L equazione y = 3x + q rappresenta l insieme delle rette del piano che hanno coefficiente angolare -3, ovvero l equazione del fascio imporprio di rette. Se q = 0 si ha la retta del fascio passante per l origine y = 3x Per ottenere le altre rette basta attribuire del valori a q e sostituirli di volta in volta nell equazione del fascio. 1

2 1 Il fascio proprio Sia P un punto del piano. L insieme di tutte le rette del piano che passano per P si chiama fascio proprio di centro P. Esempio 2 Determinare l equazione del fascio di rette di centro A(2; 4) Se una retta generica y = mx + q deve passare per A, occorre che le coordinate di A sono soluzioni dell equazione della retta, ossia da cui 4 = m 2 + q q = 4 4 m 2 e sostituendo q nell equazione generica, otteniamo é y = mx + 4 2m In generale,léquazione del fascio passante per un punto di coordinate (x 0, y 0 ). La riscriviamo nella forma y y 0 = m(x x 0 ) y 4 = m(x 2) che é l equazione della retta generica che passa per P. Osserviamo che l equazione della retta parallela all asse y é x = 2 ma non esiste alcun valore di m che fornisce tale equazione. Pertando, l equazione completa del fascio proprio per A é y 4 = m(x 2) x = 2 In generale, dato un puntp A(x 1, y 1 ), il fascio di rette di centro A ha equazione y y 1 = m(x x 1 ) x = x 1 2

3 2 retta passante per due punti Siano A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ) due punti. Léquazione della retta per A e B si ottiene a partire dalla formula generale y y 0 = m(x x 0 ) siccome la retta passa per A deve essere y y 1 = m(x x 1 ) e siccome passa anche per B deve essere y 1 y 2 = m(x 1 x 2 ) da cui, mettendo a confronto m nelle due espressioni y y 1 x x 1 = y 1 y 2 x 1 x 2 che é l equazione generale di una retta che passa per due punti 3

4 Esempio 3 Siano A(1,2) e B(3,4). L equazione della retta per A e B é ovvero e infine y 2 x 1 = = 1 y 2 = x 1 y = x + 1 notiamo che non é necessario considerare nell ordine i punti A e B. Si possono anche scambiare senza cambiare il coefficiente angolare. 3 rette parallele e rette perpendicolari siano y = mx + n e y = m x + n due rette distinte. Se cerchiamo la loro intersezioni, mettiamo a sistema le due equazioni e otteniamo mx + n = m x + n che non ha soluzioni solo se m = m. Ma se il sistema non ha soluzioni allora le due rette non hanno punti in comune e quindi sono parallele. Ne deduciamo che due rette distinte sono parallele se hanno lo stesso coefficiente angolare Esempio 4 Siano y = x e y = x + 1 due rette. I due coefficienti angolari sono uguali a 1 e quindi le rette sono parallelele. La loro rappresnetazione grafica é la 4

5 seguente. Veniamo al caso di due rette ortogonali. Siano r ed r due rette di equazione y = mx + n ed y = m x + n rispettivamente. Siccome gli angoli sono invarianti per traslazione, possiamo considerarle come passanti per l origine e porre n = n = 0. in tal caso si ha la figura seguente. 5

6 Per il secondo teorema di Euclide applicato al triangolo AOB OH 2 = AH BH da cui, essendo OH = 1 B(1, m ) e A(1, m) da cui HA = m = m e HB = m = m siccome m < 0. Allora e quindi 1 = m m m m = 1 che é la condizione che cercavamo. Pertanto due rette sono ortogonali se il prodotto dei coefficienti angolari é -1. Esempio 5 Sia la retta di equazione 3x y + 1 = 0. Determiniamo la retta ortogonale ad r passante per l origine. in forma esplicita, y = 3x + 1 il coefficiente angolare é -3 quindi il coefficiente angolare di una retta ortogonale ad r é frac13. A questo punto la retta passante per l origine ortogonale ad r ha equazione y = 1 3 x 6

7 4 Intersezione di due rette L intersezione di due rette si determina mettendo a sistema le equazioni corrispondenti. La soluzione é la coppia di coordinate del punto di intersezione delle rette. Se il sistema non ha soluzione, le due rette sono parallele. Esempio 6 Siano 3x y + 2 = 0 e x + y 2 = 0 le equazioni di due rette. Si determini il loro punto di intersezione. Si ha il seguente sistema { 3x y + 2 = 0 x + y 2 = 0 { y = 3x + 2 x + y 2 = 0 { y = 3x + 2 x + 3x = 0 { y = 3x + 2 4x = 0 { y = 2 x = 0 E quindi il punto di intersezione delle due rette ha coordinate (0,2) Graficamente 7

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